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湖北省2012-2013学年度高二上学期期末考试数学理科试题


湖北省部分重点中学 2013-2014 学年度上学期期末考试

高二理科数学试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

★祝同学们考试顺利★
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一 项是符合题目要求

的 .) 1. “红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思. ”这是唐代诗人王维的《相思》 诗,在这 4 句诗中,哪句可作为命题( ) A. 红豆生南国 B. 春来发几枝 C. 愿君多采撷 D. 此物 最相思 2. 若命题 p:?x∈R,2x2-1>0,则该命题的否定是( ) A. ?x∈R,2x2-1<0 B. ?x∈ R,2x2-1≤0 C. ?x∈R,2x2-1≤0 D. ?x∈R,2x2-1>0 3. 在一个盒子里有 10 个大小一样的球,其中 5 个红球,5 个白球,则第 1 个人摸出一个红 球,紧接着第 2 个人摸出一个白球的概率为( ) 5 7 5 7 A. B. C. D. 9 18 18 9 4. 等轴双曲线 A. 2
x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e 的值是( 2 2

) D.
2 2

B.

2

C. 2 2

x2 y 2 4 ? ? 1 ”是“双曲线的渐近线方 程为 y ? ? x ”的( 9 16 3 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. “双曲线的方程为



[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

6. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x2 ? y 2 ? 6 的左、右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是 ( ) B.

? 15 15 ? A. ? ? ?? 3 , 3 ? ? ?

? ?1,1?

? 15 ? C. ? ? ? 3 ,0 ? ? ? ?

? 15 ? D. ? ? ? ? 3 , ?1 ? ? ?

1 7. 抛物线 y=2x2 上两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2=- ,则 m 等于 2 ( )

A.

3 2

B. 2

C.

5 2

D. 3

8. 过双曲线 x2 ?

y2 ? 1 的右焦点作直线与双曲线交 A 、 B 于两点,若 AB ? 16 ,这样的直线 8

有( ) A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条 9. 已知 P 是正四面体 S ? ABC 的面 SBC 上一点, P 到面 ABC 的距离与到点 S 的距离相等, 则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 10. 定点 N(1,0) ,动点 A、B 分别在图中抛物线 y2=4x 及椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的实线 4 3

部分上运动,且 AB∥x 轴,则△ NAB 的周长 l 的取值范围是( ) ?2 ? ? 10 ? ? 51 ? A. ? , 2 ? B. ? , 4 ? C. ? , 4 ? D. ? 2, 4 ? 3 3 ? ? ? ? ? 16 ?

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置上.) 11. 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N(0 , 1) , 已 知 P(X<-2)=0.025 , 则 P( X <2)= _. 12. 设随机变量 ? ~ B(2, P) ,若 P(? ? 1) ?
5 ,则 p = 9

_.

13. 与 双 曲 线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 有 共 同 的 渐 近 线 , 并 且 经 过 点 2, 5 的 双 曲 线 方 程 是 _. 14. 已知椭圆 C1 的中心在原点、 焦点在 x 轴上, 抛物线 C2 的顶点在原点、 焦点在 x 轴上. 小 明从曲线 C1,C2 上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x,y) .由于 记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆 C1 上,也不在抛物线 C2 上.小明的记录如下:

?

?

据此,可推断椭圆 C1 的方程为

_.

x2 y 2 15. 已知双曲线 C:2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别 F1、F2,O 为双曲线的中心,P a b

是双曲线右支上异于顶点的任一点, △PF1F2 的内切圆的圆心为 I, 且⊙I 与 x 轴相切于点 A, 过 F2 作直线 PI 的垂线,垂足为 B,若 e 为双曲线的离心率,下面八个命题: ① ?PF1 F2 的内切圆的圆心在直线 x ? b 上; ③ ?PF1 F2 的内切圆的圆心在直线 OP 上; ⑤|OB|=e| OA|; 确定. ⑥|OB|=|OA|; ② ?PF1 F2 的内切圆的圆心在直线 x ? a 上; ④ ?PF1 F2 的内切圆必通过点 (a,0) ; ⑦|OA|=e| OB|; ⑧|OA|与|OB|关系不

其中正确的命题的代号是

_.

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写 出文字说明,证明 过程或演算步骤.) 16. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 p : 方 程 x2 ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 等 的 负 根 , q : 方 程 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 4 x 2 ? 4 (m ? 2 ) x ? 1? 无实根,若 0 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4b2 , a, b ? R . (Ⅰ)若 a 从集合 ?0,1, 2, 3 ? 中任取一个元素, b 从集合 ?0,1, 2? 中任取一个元素,求方程
f ( x) ? 0 有两个不相等实根的概率;

(Ⅱ)若 a 从区间 ? 0, 2? 中任取一个数, b 从区间 ? 0,3? 中任取一个数,求方程 f ( x) ? 0 没有 实根的概率. 18.(本小题满分12分)若一个椭圆 与双曲线 x2 ?
y2 ? 1 焦点相同,且过点 (? 3,1) . 3

(Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)求这个椭圆的所有斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程. 19.(本小题满分 13 分)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下 简称活动) .该校合唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (Ⅰ)求合唱团学生参加活动的人均次数; (Ⅱ)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率. (Ⅲ)从合唱团中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 参加人数 50 40 30 20
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

10 1 2 3

活动次数

20.(本小题满分 12 分)如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F .过点 P ? 2,0 ? 的直线交抛物 线于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点,直线 AF , BF 分别与抛物线交于点 M、N .

(Ⅰ)求 y1 y2 的值; (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k 2 . 证明:
k1 为定 值. k2

21.(本小题满分 14 分)如图,设抛物线 C1 :y 2 ? 4mx (m ? 0) 的准线与 x 轴交于 F1 ,焦点 为 F2 ;以 F1 、 F2 为焦点,离心率 e ?
1 的椭圆 C2 与抛物线 C1 在 x 轴上方的一个交点为 P . 2

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求椭圆的方程及其右准线的方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2 ,与抛物线 C1 交于 A1 、 A2 ,如果 以线段 A1 A2 为直径作圆,试判断点 P 与圆的位置关系,并说明理由; (Ⅲ) 是否存在实数 m , 使得△ PF1 F2 的边长是连续的自然数, 若存在, 求出这样的实数 m ; 若不存在,请说明理由. y

l
A1 P

F1 F1

o
A2

F2

x


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