当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

向量方法在数学竞赛中的应用


第 11 期                              高中数学教与学

向量方法在数学竞赛中的应用
李建明  蒋健敏
(浙江省台州市第一中学 , 318000 )

  向量知识和方法以其特有的优势为人们 所青睐 , 巧妙地加以运用可使很多数学竞赛 问题的解决无论从思维上还是计算难度上都 变得简洁明快

. 本文从知识和方法的角度探 讨如何运用向量知识和方法 , 简捷有效地解 决竞赛数学中的一些问题 . 一、 向量模的应用 向量的模即为向量的长度 . 应用向量模 以及模的性质“| a | = | b | Ζ a = b ” 可解决
2 2

所以四边形 AB CD 为矩形 . 二、 向量基本定理及共线向量定理的应 用 向量基本定理与共线向量定理是向量的 两条重要性质 , 巧妙而恰当地运用这两个性 质在很多数学问题的解决中能起到事半功倍 的作用 . 例 2   ( 2005 年全国数学联赛一试 15 题 ) 过抛物线 y = x 上的一点 A ( 1, 1 ) 作抛物线的 切线 , 分别交 x轴于 D, 交 y轴于 B. 点 C在抛物 线上 , 点 E在线段 AC上 , 满足 线段 B C上 , 满足
AE =λ 1 ; 点 F在 EC
2

与线段长度相关的问题 . 例 1   ( 2004 年全国高中数学联赛山东赛 区预赛 16 题 ( 1 ) ) 在平面四边形 AB CD 中 , AB
= a , B C = b, CD = c, DA = d, 且 a ?b = b?c = m , c ?d = d ?a = n. 当 m = n 时 , 四边形 AB CD 是什么四边形 ? 证明你的结论 .

BF λ2 = 1, 线段 =λ 2 , 且λ 1 + FC

CD 与 EF 交于点 P. 当点 C 在抛物线上移动

分析  当 m = n 时 ,
a ?b = b ?c = c ?d = d ?a ,

时 , 求点 P 的轨迹方程 .

由 a + b + c + d = 0, 得 b + d = - ( a + c ) . ∵a ?b + d ?a = b ?c + c ?d, ∴a ? ( b + d ) = c ? ( b + d ) , ∴a ? ( a + c ) = c ? ( a + c ) , 即    a + a ?c = a ?c + c , ∴ | a | = | c |. 同理可得 | b | = | d |. 故四边形 AB CD 是平行四边形 .
a ?b 又 co s ( 180 °- ∠B ) = | a || b| b ?c   = = co s ( 180 ° - ∠C ) | b|| c| D
2 2

分析  过抛物线上点 A 的切线斜率为 : y ′
= 2 x | x = 1 = 2, 切线 AB 的方程为 y = 2 x - 1.

∴B 、 D 的 坐 标 分 别 为 B ( 0,
1 ,0 , 2

-

1) 、

∴∠B = ∠C. 又由 AB ∥ CD 得 ∠B + ∠C = 180 ° , ∴∠B = ∠C = 90 ° .

∴D 是线段 AB 的中点 . 又
AE BF =λ =λ 1, 2. EC FC

?23?
? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

高中数学教与学                             2006 年
∴ CD =
=

1 ( CB + CA ) 2 1 +λ 1 +λ 1 2 CE + CF. 2 2

由 E, P, F 三点共线 , 可得
CP = x CE + y CF (其中 x + y = 1 ) .

又由 C, P, D 三点共线 , 可设 CD = t CP, 1 +λ1 1 +λ2 则    CD = CE + CF
2 2
= tx CE + ty CF.

∴∠BD F = ∠BAC. ∵O 为外心 ,
;

由平面向量基本定理 , 有 1 +λ 1 +λ2 1
tx =

2

, ty =

∴∠BOC = 2 ∠BAC, ∠OB C = ∠OCB , ∴∠OB C =
1 ( 180 ° - ∠BOC ) 2

2

1 +λ1 + 1 +λ2 3 ∴t ( x + y) = = , 2 2 3 2 即    t = , CP = CD, 2 3

= 90 ° - ∠BAC,

∴∠OB C + ∠BD F = ∠OB C + ∠BAC
= 90 ° ,

∴P 是 & AB C 的重心 . 设 P ( x, y ) , C ( x0 , x0 ) , 因点 C异于 A, 故 x0 ≠ 1, 重心 P 的坐标为
0 + 1 + x0 2 x = , x≠ 3 3
y = - 1 + 1 + x0
2 2

∴OB ⊥ D F. 同理可证 OC ⊥ D E.
( 2 ) ∵ M F ?CH = 0, FN ?OB = 0,

  M D ?OC = 0, AN ?B H = 0,   D F ?OB = 0, FA ?CH = 0,   DA ?B C = 0, ∴ M N ?OH = (M F + FN ) ?OH
= M F ?OH + FN ?OH = M F ? ( OC + CH ) + FN ? ( OB + B H ) = M F ?OC + FN ?B H = (M D + D F ) ?OC + ( FA + AN ) ?B H = D F ?OC + FA ?B H = D F ? ( OB + B C ) + FA ? ( B C + CH ) = D F ?B C + FA ?B C = DA ?B C = 0.

3

,

消去 x0 , 得 y =

1 2 ( 3x - 1) . 3

故所求轨迹方程为   y =
1 2 ( 3x - 1) x ≠ 2 . 3 3

三、 向量数量积的应用
1. 应用数量积证明垂直问题

利用 a ⊥ b Ζ a ?b = 0可证明几何题中两 条线段的垂直问题 . 例 3   ( 2001 年全国高中数学联赛加试第 一题 ) 如图 2, & AB C中 , O 为外心 , 三条高 AD,
B E, CF交于点 H, 直线 ED 和 AB 交于点 M , FD

∴M N ⊥ OH.
2. 应用数量积求解空间角和距离问题

应用向量的数量积公式的变形 cos θ =
p ?q , 可直接求解空间角和空间距离问 | p|| q|

和 AC 交于点 N. 求证 :
( 1 ) OB ⊥ D F, OC ⊥ D E; ( 2 ) OH ⊥ M N.

题 , 能变定性研究为定量计算 , 可避免纯几何 问题中烦琐的证明过程 . 例 4  在四棱锥 S - AB CD 中 , 底面正方 形 AB CD 的边长为 a, 侧棱 SA = SB = SC = SD
= 2 a, M , N 分别为棱 SA, SC 的中点 , 求异面直 http://www.cnki.net

分析   ( 1 ) 第一小题比较简单 , 可用直接 法证明如下 : 由题意知 A、 C、 D、 F 四点共圆 ,

?24?

? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

第 11 期                              高中数学教与学
线 DM 与 BN 之间的距离 d 及所成角 α的余弦 值.
an +1 + an +2 + … + a2 n +1 的最大值 .

分析  由题设知
S = an +1 + an +2 + … + a2 n +1 = = = ( n + 1 ) ( an +1 + a2 n +1 )

2
( n + 1 ) ( an +1 + 2 an +1 - a1 )

2
n +1

2

( 3 an +1 - a1 ) .

分析  以底面正方形的中心 O 为原点 , 建立如图 3 所示的直角坐标系 , 则
B M N a a a a

取 m = ( an +1 , a1 ) , n = ( 3, - 1 ) , 则    m ?n = 3 an +1 - a1. ∵m ?n ≤| m | | n | , ∴3 an +1 - a1 ≤
= n +1 an +1 + a1 ? 10
2 2

2
a

, a

2

,0 ,D a ,

2

,

2

,0 ,

4
,

, ,

4

14 a , 4

10 ( an +1 + a1 ) . 10 ( a1 + an +1 ) 10M.
2 2 2 2

2

2

a

4

4

14 a . 4
a 3a , ,

∴S ≤
14 a , 4 14 a . 4

2
n +1

∴ BN =
DM = a



2

4

4

当且仅当 m 与 n 同向 , 且 a1 + an +1 = M 时 等式成立 . 由
an +1 a1 - 1

4

, -

3a , 4

设 n = ( x, y, z) 为 DM 与 BN 公垂线的一 个方向向量 , 则由 BN ?n = 0, DM ?n = 0, 可取
n = ( 3, 1, 0 ) .

3

=

> 0, a1 + an +1 = M , 得

2

2

a1 = a

10M 2 10M ,d = . 10 5n 10M 2 10M ,d = 时, 10 5n 2 10M.

∵MN =

2

,

a

2

, 0 , 故异面直线 DM 与 | M N ?n | = | n|

故当 a1 = ∴Sm ax =
n +1

BN 之间的距离为 d =

10 a . 5

又 | BN | = | DM | =

6a , 2

例 6   (第 22届 I MO ) 设 P为 & AB C内的 一动点 , P 到三边 a, b, c 的距离分别为 r1 , r2 ,
r3. 试求使 a b c + + 的值为最小的点 P. r1 r2 r3

| BN ?DM | 1 ∴co sα = = . 6 | BN | | DM |

3. 应用数量积求解最值问题

分析  记 & AB C的面积为 S, 则 a r1 + br2
+ cr3 = 2S 为定值 , 周长 a + b + c为定值 .

依据已知 几何 量 的特 征 构造 恰当 的 向 量 , 再应用数量积不等式 a ?b ≤| a | | b | 或
| a ?b | | a | ≥ 可求解某些与最值相关的 2 | b|
2 2

令 p = (  q =

a r1 , a , r1
2

br2 , b , r2

cr3 ) , c . r3

问题 . 例 5   ( 1999 年全国高中数学联赛题 ) 给 定正整数 n 和正数 M , 对于满足条件 a + an +1 ≤ M 的所有等差数列 a1 , a2 , a3 , …, 试求 S =
2 1 2

2 2 2 由 ( p ?q ) ≤| p | | q | , 得

( a + b + c)



a b c + + r1 r2 r3

( a r1 + br2 + cr3 ) .

?25?
? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net

高中数学教与学                             2006 年

一类轨迹问题的解法
吴  杰
(山东省枣庄二中 , 277400)

  轨迹问题是平面解析几何中非常重要的 一类问题 , 在高考中经常出现 . 求轨迹方程的 方法比较多 , 概括地说 , 不外乎两个途径 . 一 是利用平面几何知识和圆锥曲线的定义 , 这 类题目对计算的要求不高 , 主要考查观察 、 联 想的能力 ; 二是利用代数的方法 , 通过消参数 得出轨迹方程 , 计算和对式子的变形是解决 问题的关键 . 在众多的与轨迹有关的数学题 目中 , 有一类涉及垂直或直角三角形的题目 很具有代表性 , 下面我们就对这类问题的解 法进行深入探索 , 同时也对题目形式上的变 化加以分析 . 例 1  已知 B 为圆 x + y = 1上的一个动 点 , A ( 2, 0 ) , & AB C 是以 B C 为斜边的等腰直 角三角形 ( A, B , C 按顺时针排列 ) 如图 1, 求
2 2

点 C 的轨迹方程 .

分析   根据求轨迹方程的一般步骤 , 求 点 C 的轨迹便设 C ( x, y ) , B 是所谓的相关点 ,
2 设为 ( x1 , y1 ) , 由 AB ⊥ AC、 | AB | = | AC | 和 x1

+ y1 = 1 可以得到如下解法 .
2 2 解法 1  设 C ( x, y ) , B ( x1 , y1 ) , 则 x1 + y1

2

= 1, 因为 & AB C 是以 B C 为斜边的等腰直角

三角形 , 所以 AC ⊥ AB , | AC | = | AB | , 即

  ∴

( a + b + c) a b c (定值 ) , + + ≥ r1 r2 r3 2S

2

积与 & AOC 的面积的比 . 分析  由 l?OA + m ?OB + n ?OC = 0, 可得    l?OA + n ?OC = - m ?OB , 两边同除以 l + n, 得
l n m ?OA + ?OC = ?OB. l +n l +n l +n

当且仅当 p ∥ q 即 r1 = r2 = r3 时 , 等号成立 .
a b c 故使 + + 的值 最 小的 点 P 为 r1 r2 r3

& AB C 的内心 . 四、 向量知识在涉及向量条件竞赛题中 的应用 近几年在联赛及其它各级竞赛中出现了 一些涉及向量条件的新题型 , 这是过去很少 出现的 , 这类题目的求解势必会应用到相关 的向量知识 . 例 7   ( 2004 年全国数学联赛第 4 题改 编 ) 设 O 点在 & AB C内部 , l, m , n为正实数 , 且
l?OA + m ?OB + n ?OC = 0, 求 & AB C 的面



l n ?OA + ?OC = OD, 则 D 是 l +n l +n m ? OB 知 D 就是 l+n

AC 上的一点 . 再由 OD = -

BO 的延长线与 AC 的交点 , 且 BD = BO + OD = l +m + n BO, l +n

于是 ,

S & AB C S & AOC

=

BD l +m + n = . OD m

?26?
? 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net


相关文章:
运用向量方法解数学竞赛题
运用向量方法数学竞赛题 . 运用向量方法数学竞赛题 2008.7 向量方法 1.在一张小方格边长都是 1 的方格纸上放有一个凸 32 边形,若它的顶点都在方格的...
高中数学竞赛讲义_平面向量
高中数学竞赛讲义_平面向量_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛习题平面...书中用黑体表示向量,如 a. |a| 表示向量的模,模为零的向量称为零向量,...
向量模型在数学复习中的应用
向量模型在数学复习中的应用无锡市第三高级中学 顾晓骅 214026 向量是数学中...面BCC1 B1。 像本题用向量解几何题的思路和方法,是向量应用的上乘之作,其实...
高中数学竞赛讲义_平面向量
高中数学竞赛讲义_平面向量_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中奥数讲义平面...书中用黑体表示向量,如 a. |a| 表示向量的模,模为零的向量称为零向量,...
高中数学竞赛第二讲平面向量
高中数学竞赛第二讲平面向量_学科竞赛_高中教育_教育专区。第二讲题型一 已知三角...;⑶三角函数的图象和性质的综合应用; (4) 等价转化,数形结合等数学思想方法....
高中数学竞赛_空间向量 简单几何体
高中数学竞赛_空间向量 简单几何体_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题六 空间向量 简单几何体 一 能力培养 1, 空间想象能力 二 问题探讨 2, 数形结...
向量法在空间几何中的应用
向量法在空间几何中的应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。向量法在空间几何...(2004, 山东数学竞赛) 证明:建立如图的空间直角坐标系,连结 DM、DN, 则 D(...
高一数学竞赛训练(五)立体几何(向量方法)
高一数学竞赛训练( 高一数学竞赛训练(五) 立体几何(向量方法) 立体几何(向量方法) 1.平面:平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 ...
高中数学竞赛_空间向量 简单几何体
高中数学竞赛_空间向量 简单几何体_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷...(如图)在棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中, (1)求异面直线 A1 ...
高中数学竞赛_空间向量 简单几何体
高中数学竞赛_空间向量 简单几何体_学科竞赛_高中教育...在棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中, ...三角法、向量法在高中数... 47人阅读 2页 ¥1...
更多相关标签:
上海市应用数学竞赛 | 应用数学竞赛 | 上海应用数学竞赛 | 2016数学知识应用竞赛 | 上海数学知识应用竞赛 | 数学知识应用竞赛 | 2016上海应用数学竞赛 | 数学应用能力竞赛试题 |