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2017届高三第一次统一考试 理科数学


绝密★启用前

2017 年普通高等学校招生第一次统一模拟考试 理科数学
注意事项: 1.本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选考题)两部分。答卷前,考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷

上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

2016.10

第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。

1.若复数

6 ? ai (其中 a ? R, i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则 a ? 3?i
(B)6 (C)4 (D)12

(A)3 2.设集合 A ? {x ? N | 是 (A)1

1 ? 2 x ? 16} , B ? {x | y ? ln( x2 ? 3x)} ,则 A ? B 中元素的个数 4
(B)2 (C)3 (D)4

3. 已知 a ? 1, b ? 2 ,且 a ? b ,则 | a ? b | 为 (A)5 (B) 5 (C)2 (D)

3

4. 从数字 1,3,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数, 则这个两位数大于 50 的概率为 (A)

1 2

(B)

2 3

(C)

1 3

(D)

1 6

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5.一个圆经过椭圆??1的三个顶点,且圆心在x正半轴上,则该圆上的点到直线 3y = 4x+9 的最大距离是

x2 y 16 4

(A)

1 2

(B) 3

(C)5

(D)

11 2

6.某空间几何体的三视图如图所示(其中俯视图的弧线为四分之一圆),则该几何体的表面 积为

(A) 5π+4

(B) 8π+4

(C) 5π+12

(D) 8π+12

7. 执行右面的程序框图,若输出的结果是

31 ,则输入的 a 为 32

(A) 6

(B) 5


(C) 4



(D) 3

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? ? 8.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 的最小正周期为 4? ,且 f ( ) ? 1 ,则
2

3

函数 f ( x) 的一个对称中心的坐标是 (A) (

5? , 0) 3

(B) (?

?
3

, 0)

(C) (

2? , 0) 3

(D) (?

2? ,0) 3

? x ? y ? 2 ? 0, y ?1 ? 9. 若 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 ? 0, 则 的取值范围为 ? x ? y ? 2 ? 0, x ? 1 ?
(A) ? ? , ? 3 5 (C) ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 3 5

? 1 1? ? ? 1? ? ?1 ? ? ?

(B) ? ? ,1? (D) ? ??, ? ? ? ?1, ?? ? 3

? 1 ? ? 3 ? ? ? 1? ?

? ?

10.函数 f (θ ) = 的最小值为 错误!未找到引用源。 (A) 错误!未找到引用源。 (C) 错误!未找到引用源。 11 .双曲线 (D) 错误!未找到引用源。 (B) 错误!未找到引用源。

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的两顶点为 A1 , A2 ,虚轴两端点为 B1 , B2 ,两焦点为 a 2 b2

F1 , F2 .若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1 B1 F2 B2 ,则双曲线的离心率是
(A)

3? 5 2

(B)
x

5 ?1 2

(C)

5 ?1 2

(D)

3? 5 2

12. 已知函数 f ( x) ? x ? e a 存在单调递减区间, 且 y ? f ( x)的图象在 x ? 0 处的切线 l 与 曲 线 y ? e x 相 切 , 符合情况的切线 l (A)有 3 条 (B)有 2 条 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必 须做答。第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答。 (C) 有 1 条 (D)不存在

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二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c .若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab , 则角 C = .

14.若 m、n 为两条不重合的直线,α、β 为两个不重合的平面,给出下列命题: ① 若 m、n 都平行于平面 α,则 m、n 一定不是相交直线; ② 若 m、n 都垂直于平面 α,则 m、n 一定是平行直线; ③ 已知 α、β 互相垂直,m、n 互相垂直,若 m⊥α,则 n⊥β; ④ m、n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m、n 互相垂直. 其中是真命题有 15. 如果 a a + .(填上正确命题的序号即可)

b b > a b + b a ,则 a、b 应满足的条件是



16 . 已 知 y ? f ? x ? 是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 , " m, n ? (0, ? ), 且 m ≠ n, 恒 有

1 ?1? ? 1? mf (m ) - nf n ( ) > 0,若 a ? f ? ? b ? ?2 f ? ?2 ? , c ? ? ln ? 2 ?2? ? 2? m-n
大小关系正确的是 .

? 1? f ? ln ? ,则 a, b, c 的 ? 2?

三 . 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?a n ?的前 n 项为和 S n ,且 a4 = 2a3 , S5 = 31. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

?n? ? 的前 n 项和 Tn . ? an ?

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18.(本小题满分 12 分) 赤峰市面向全市招聘事业编工作人员 ,由人事、劳动、纪检等部门联合组织招聘考 试,招聘考试分为两个阶段:笔试和面试.现将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为 整数,满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表.

分数(分数段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计

频数(人数) 9 y 16 z p

频率 x 0.38 0.32 s 1

(Ⅰ)求出上表中的 x,y,z,s,p 的值; (Ⅱ)按规定,笔试成绩不低于 90 分的应聘人员可以参加面试,且笔试成绩前三名 的应聘人员通过面试后可以自选工作单位. 已知松山区有甲、乙两名应聘人员取得面试资 格,若松山区应聘人员笔试进入前三名的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

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19.(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形,?BCD ? 135? , 侧面 PAB ? 底面 ABCD ,?BAP ? 90? , AB ? AC ? PA ? 2 , E , F 分别为 BC , AD 的中点,点 M 在线段
PD 上.

(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAC ; (Ⅱ)如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等,求
PM 的值. PD

P M A D

F C

B

E

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,A 是 E 的右顶点,P、Q 是 E 上关于 a 2 b2 3 原点对称的两点,且直线 PA 的斜率与直线 QA 的斜率之积为 ? . 4 (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)过 E 的右焦点作直线与 E 交于 M、N 两点,直线 MA、NA 与直线 x ? 3 分别交
已知椭圆 E: 于 C、D 两点,设△ACD 与△AMN 的面积分别记为 S1 、 S 2 ,求 2 S1 ? S 2 的最小值.

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21.(本小题满分 12 分) 已知函数f?x???aln, ?1 g ? x ? ? e x ? x ? 1 .曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在原点处的切线相同. (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若 x ? 0 时, g ? x ? ? mf ? x ? ,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答 时请写清题号。

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与 参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的 长度单位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) . (Ⅰ)求 C 的直角坐标方程;

1 ? x ? t, ? 2 (Ⅱ)直线 l : ? ( t 为参数)与曲线 C 交于 A, B 两点,与 y 轴交于 E ,求 ? ? y ? 1? 3 t ? ? 2

EA ? EB .

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23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 x ?

2 ? 2 x ? m (m ? 0). m

(Ⅰ)证明: f ( x) ? 2 2 ; (Ⅱ) 若当 m ? 2 时, 关于实数 x 的不等式 f ( x) ? t 2 ?

1 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

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