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第7讲 离散型随机变量的均值与方差


第7讲
一、选择题

离散型随机变量的均值与方差

1 1.某班有 的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出 5 名同学,那么其中数 4 1? ? 学成绩优秀的学生数 X~B?5, ?,则 E(2X+1)等于( ) 4? ? 5 5 A. B. 4 2 7 C.3 D. 2 1? 5 5 ? 解析 因为 X~B?5, ?, 所以 E(X)= ,所以 E(2X+1)=2E(X)+1=2× +1 4? 4 4 ? 7 = . 2 答案 D 2.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种 子,每粒需要再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 解析 B.200 C.300 D.400 ).

种子发芽率为 0.9,不发芽率为 0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故

设没有发芽的种子数为 ξ ,则 ξ ~B(1 000,0.1),∴E(ξ )=1 000×0.1= 100,故需补种的期望为 E(X)=2·E(ξ )=200. 答案 B

3.若 p 为非负实数,随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 则 E(ξ)的最大值为 A.1 3 B.2 2 C.3 D.2 0 1 2-p 1 p 2 1 2 ( ).

1 1 3 解析 由 p≥0,2-p≥0,则 0≤p≤2,E(ξ)=p+1≤2. 答案 B ).

4.已知随机变量 X+η=8,若 X~B(10,0.6),则 E(η),D(η)分别是 (

A.6 和 2.4

B.2 和 2.4

C.2 和 5.6

D.6 和 5.6

解析 由已知随机变量 X+η=8,所以有 η=8-X.因此,求得 E(η)=8-E(X) =8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 答案 B 5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概 2 1 率为 c(a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则a+3b的最小值 为 32 A. 3 B. 28 3 C. 14 3 D. 16 3 ( ).

解析 由已知得,3a+2b+0×c=2, 2 即 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1. 3 2 1 3a+2b?2 1 ? 又a+3b= 2 ?a+3b? ? ? 1 2b a 10 =3+3+ a +2b≥ 3 +2 2b a 16 a· 2b= 3 ,

2b a 1 1 当且仅当 a =2b, 即 a=2b 时取“等号”, 又 3a+2b=2, 即当 a=2, b=4时, 2 1 16 + 的最小值为 a 3b 3 ,故选 D. 答案 D 6.设 10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105.随机变量 ξ1 取值 x1、x2、x3、x4、x5 的概率 均为 0.2,随机变量 ξ2 取值 x1+x2 x2+x3 x3+x4 x4+x5 x5+x1 2 、 2 、 2 、 2 、 2 的概率也均 ( ).

为 0.2.若记 D(ξ1)、D(ξ2)分别为 ξ1、ξ2 的方差,则 A.D(ξ1)>D(ξ2) B.D(ξ1)=D(ξ2) C.D(ξ1)<D(ξ2)

D.D(ξ1)与 D(ξ2)的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关 解析 利用期望与方差公式直接计算. E(ξ1)=0.2x1+0.2x2+0.2x3+0.2x4+0.2x5 =0.2(x1+x2+x3+x4+x5).

E(ξ2)=0.2×

x1+x2 x2+x3 x5+x1 + 0.2 × + ? + 0.2 × 2 2 2

=0.2(x1+x2+x3+x4+x5). ∴E(ξ1)=E(ξ2),记作 x , ∴D(ξ1)=0.2[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(x5- x )2]
2 2 2 =0.2[x2 1+x2+?+x5+5 x -2(x1+x2+?+x5) x ] 2 2 2 =0.2(x2 1+x2+?+x5-5 x ).

?x1+x2?2 ?x2+x3?2 ?x5+x1?2 ? +? ? +?+? ? -5 x 2 . 同理 D(ξ2)=0.2? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
2 2 2 2 ?x1+x2?2 x1+x2 ?x5+x1?2 x5+x1 ?< ? ?< ∵? , ? , 2 2 , ? 2 ? ? 2 ?

?x1+x2?2 ?x2+x3?2 ?x5+x1?2 2 2 2 2 2 ? +? ? +?+? ? <x +x +x +x +x .∴D(ξ1)>D(ξ2). ∴? 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? 1 2 3 4 5 答案 A 二、填空题 7.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ P 7 x 8 0.1 9 0.3 10 y

已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. 解析 x+0.1+0.3+y=1,即 x+y=0.6. 又 7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得 7x+10y=5.4. 由①②联立解得 x=0.2,y=0.4. 答案 0.4 8.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表: ξ 1 ? 2 ! 3 ? ① ②

P

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?” 处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确 答案 E(ξ )=________. 解析 令“?”为 a,“!”为 b,则 2a+b=1.又 E(ξ )=a+2b+3a=2(2a

+b)=2. 答案 2

9.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,每次摸取一个球记下颜色后放回, 现连续取球 8 次,记取出红球的次数为 X,则 X 的方差 D(X)=________. 解析 1 每次取球时, 红球被取出的概率为 , 8 次取球看做 8 次独立重复试验, 2

1 1 ?1 ? 红球出现的次数 X~B? ,8?,故 D(X)=8× × =2. 2 2 ?2 ? 答案 2 10.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设 ξ 为取得红球的次数,则 ξ 的期望 E(ξ )=________. 解析 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均

3? 3 ? 为 , 连续摸 4 次(做 4 次试验), ξ 为取得红球(成功)的次数, 则 ξ ~B?4, ?, 5? 5 ? 3 12 从而有 E(ξ )=np=4× = . 5 5 答案 12 5

三、解答题 11.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n =1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求 X 的分布列、期望和方差; (2)若 η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,试求 a,b 的值. 解 (1)X 的分布列为 X P 0 1 2 1 1 20 2 1 10 3 3 20 4 1 5

1 1 1 3 1 ∴E(X)=0×2+1×20+2×10+3×20+4×5=1.5. 1 1 1 3 D(X) = (0 - 1.5)2× 2 + (1 - 1.5)2× 20 + (2 - 1.5)2× 10 + (3 - 1.5)2× 20 + (4 -

1 1.5)2×5=2.75. (2)由 D(η)=a2D(X),得 a2×2.75=11,即 a=± 2. 又 E(η)=aE(X)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2. 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4. ?a=2, ?a=-2, ∴? 或? 即为所求. ?b=-2 ?b=4, 1 12.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 ,a,a(0<a<1),三人各 2 射击一次,击中目标的次数记为 ξ. (1)求 ξ 的分布列及数学期望; (2)在概率 P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若 P(ξ=1)的值最大,求实数 a 的取值范围. 解 (1)P(ξ)是“ξ 个人命中,3-ξ 个人未命中”的概率.其中 ξ 的可能取值为 0,1,2,3. 1? 1 ? P(ξ=0)=?1-2?(1-a)2=2(1-a)2, ? ? 1? 1? 1 1 ? ? P(ξ=1)=2(1-a)2+?1-2?a(1-a)+?1-2?(1-a)a=2(1-a2), ? ? ? ? 1? 1 1 1 ? P(ξ=2)=?1-2?a2+2(1-a)a+2a(1-a)=2(2a-a2), ? ? a2 P(ξ=3)= 2 . 所以 ξ 的分布列为 ξ P ξ 的数学期望为 1 1 1 a2 4a+1 E(ξ)=0×2(1-a)2+1×2(1-a)2+2×2(2a-a2)+3× 2 = 2 . 1 (2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=2[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a), 1-2a 1 P(ξ=1)-P(ξ=2)=2[(1-a2)-(2a-a2)]= 2 , 0 1 2 2(1-a) 1 1 2 2(1-a ) 2 1 2 2(2a-a ) 3 a2 2

1-2a2 1 2 2 P(ξ=1)-P(ξ=3)=2[(1-a )-a ]= 2 .

? ?1-2a≥0, 由? 2 1-2a ? ? 2 ≥0
2

a?1-a?≥0, 1 及 0<a<1,得 0<a≤2,

1? ? 即 a 的取值范围是?0,2?. ? ? 13.如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时 间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

时间(分钟)

10~20 0.1 0

20~30 0.2 0.1

30~40 0.3 0.4

40~50 0.2 0.4

50~60 0.2 0.1

L1 的频率 L2 的频率

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站, 甲和乙应如何选择各自 的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的 选择方案,求 X 的分布列和数学期望. 解 (1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事

件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得

P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1;

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2. (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车 站, 由(1)知 P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B 独立,

∴P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.1=0.04,

P(X=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.
∴X 的分布列为

X P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5. 14.某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位游客游览这 3 个景点的概率分别是 0.4、0.5、0.6,且游客是否游览哪个景点互不影响,用 X 表示该游客离开该 城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (1)求 X 的分布列及期望; (2)记“f(x)=2Xx+4 在[-3,-1]上存在 x0,使 f(x0)=0”为事件 A,求事 件 A 的概率. 解 (1)设游客游览甲、 乙、 丙景点分别记为事件 A1、A2、A3,已知 A1、A2、 A3

相互独立,且 P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6.游客游览的景点数可能 取值为 0、1、2、3,相应的游客没有游览的景点数可能取值为 3、2、1、0, 所以 X 的可能取值为 1、3.则 P(X=3)=P(A1A2A3)+P( A1 =P(A1)·P(A2)·P(A3)+P( A1 )·P( A2 )·P( A3 ) =2×0.4×0.5×0.6=0.24.

A2

A3 )

P(X=1)=1-0.24=0.76.
所以分布列为:

X P

1 0.76

3 0.24

∴E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48. (2)∵f(x)=2Xx+4 在[-3,-1]上存在 x0,使得 f(x0)=0, ∴f(-3)·f(-1)≤0,即(-6X+4)(-2X+4)≤0, 2 解得: ≤X≤2. 3

?2 ? ∴P(A)=P? ≤X≤2?=P(X=1)=0.76. 3 ? ?


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