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2012年全国高中数学联赛模拟题3


2010 年全国高中数学联赛模拟题 3
一试
考试时间上午 8:00~9:20,共 80 分钟,满分 120 分 一、填空题(共 8 题,每题 8 分,64 分) 1、 若实数 x 、 y 满足条件 x ? y ? 1 ,则
2 2

1 x
2

?

2y x

的取值范围是___________________.
b c

2、已知 a , b , c 为非负数,则 f ( a , b , c ) ? 3、设 AB 是椭圆
x a
2 2

c a

?

a b?c

?

的最小值为

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的长轴,若把 AB100 等分,过每个分点作 AB

的 垂 线 , 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 P1 、 P2 、 … 、 P99 , F1 为 椭 圆 的 左 焦 点 , 则
F1 A ? F1 P1 ? F1 P2 +… ? F1 P99 ? F1 B 的值是

4、从一个有 88 条棱的凸多面体 P,切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥,得到一个新的 凸多面体 Q,这些被切去的棱锥的底面所在的平面在 P 上或内部互不相交,则凸多面体 Q 的棱数是 。 5、设函数 f ? x ? :
f R ? R ,且满足, ? x , y ? R ,

?x? f ? y? ?

f ? 2 xy ? 3 ? ? 3 f

? x ? y ? ? 3 f ? x ? ? 6 x ,则 f ? x ? ?
1 2 ? a1 ? 1 2 ? a2 ?? ?

.
1 2 ? a 2010 1 2

6、一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积为 7 、 设 a 1 , a 2 , ? , a 2010 均 为 正 实 数 , 且
a1 ? a 2 ? ? ? a 2
0 1 0

?

,则

的最小值为____________________.

8、若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 二、解答题(共 3 题,共 56 分) 9、 (本题 16 分)设 S={1,2,…,n},A 为至少含有两项的、公并非为正的等差数列,其 项部都在 S 中,且添加 S 的其他元素等于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列,求 这种 A 的个数(这里只有两项的数列也看做等差数列).(全国高中数学联赛,1991 年)

10、 (本题 20 分)已知 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, M 点的坐标为(4,0),过点 F 作斜率为
2

k 1 的直线与抛物线交于 A、B 两点,延长 AM、BM 交抛物线于 C、D 两点,设直线 CD 的斜

率为 k 2 . (I)求

k1 k2

的值; (II)求直线 AB 与直线 CD 夹角 θ 的取值范围.

2 11、 (本题 20 分)已知函数 f ( x ) ? 2 ln x ? x 。 (I)若方程 f ( x ) ? m ? 0 在 [ , e ] 内有两个

1 e

不等的实根,求实数 m 的取值范围. (II)如果函数 g ( x ) ? f ( x ) ? ax 的图象与 x 轴交于两 点 A ( x1 , 0 ) , B ( x 2 , 0 ) ,且 0 ? x1 ? x 2 。求证: g '( p x1 ? q x 2 ) ? 0 (其中正常数 p 、 q 满足
p ? q ? 1, q ? p ) 。

2010 年全国高中数学联赛模拟题 3
加试(二试)
9:40~12:10 共 150 分钟 满分 180 分 平面几何、代数、数论、组合

1、 (本题 40 分) 在△ABC 中, AB>BC, M 分别是边 AB 和 AC 的中点, 是△ABC K、 O 的内心。设 P 点是直线 KM 和 CO 的交点,而 Q 点使得 QP⊥KM 且 QM∥BO,证明: QO⊥AC。

2、 (本题 40 分)已知无穷数列 ?a n ? 满足 a 0 ? x , a 1 ? y , a n ? 1 ?

a n a n ?1 ? 1 a n ? a n ?1

?n

? 1, 2 , ? ? .

(1)对于怎样的实数 x,y,总存在正整数 n 0 ,使当 n ? n 0 时, a n 恒为常数? (2)求数列 ?a n ? 的通项公式.

3、 (本题 50 分)空间六点,任三点不共线,任四点不共面,成对地连接它们得十五条线段, 用红色或蓝色染这些线段(一条线段只染一种颜色).求证:无论怎样染,总存在同色三角形. (1953 年美国普特南数学竞赛题) 由此, 证明有 17 位科学家,其中每一个人和其他所有人的 人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题 目. (第 6 届国际数学奥林匹克试题)

4、 (本题 50 分)设 a 1 ? 3 , a n ? 1 ? a n ? a n ? 1, n ? N ,证明:
*

2

(1)对所有 n , a n ? 3 (mod 4 ) ; (2)当 m ? m 时, ( a m , a n ) ? 1 (即 a m , a n 互质)

参考答案 一试 1、 (? 2 , 2 ) .提示:令 x ? sec ? , y ? tan ? 2、2; f ( a , b , c ) ?
c a ? a b?c ? b c ? c a ? a b?c ? b?c c ?1? 3?1 ? 2

3、 101 a .(方法一)由椭圆的定义知 F1 Pi ? F 2 Pi ? 2 a ( i ? 1, 2 , ? ,99 ),
? ?

? (F
i ?1 99

99

1

Pi ? F 2 Pi ) ? 2 a ? 99 ? 198 a . 由题意知 P1 , P2 , ? , P99 关于 y 轴成对称分布, Pi ) ? 1 2

? (F
i ?1

1

? (F
i ?1

99

1

Pi ? F 2 Pi ) ? 99 a . 又? F1 A ? F1 B ? 2 a ,故所求的值为 101 a .

(方法二) F1 A ? F1 P1 ? F1 P2 +… ? F1 P99 ? F1 B
? ( a ? ex A ) ? ( a ? ex 1 ) ? ? ? ( a ? ex 99 ) ? ( a ? ex B )

? 101 a ? e ( x A ? x 1 ? x 2 ? ? x 99 ? x B ) ? 101 a . (A, P1 , P2 , ? , P99 ,B 关于 y 轴成对称分布)

4、264,P 的所有棱仍是 Q 的棱,Q 中新的棱由切去的棱锥的底面形成,等于从顶点出发的 棱的条数,所以 Q 的棱的条数有 88+2×88=264; 5、取 x ? 0 代入得 f (0) ? f ( y ) ? f (3) ? 3 f ( y ) ? 3 f (0) ,即
[ f (0) ? 3] ? f ( y ) ? f (3) ? 3 f (0) ,

显然 f ( y ) 不恒等于常数,∴ f (0 ) ? 3 ? 0 且 f (3) ? 3 f (0) ? 0 ,∴ f (0) ? 3, f (3) ? 9 , 又取 y ? 0 代入可得 f ( x ) ? 2 x ? 3 ; 6、
2 24

? a ,联想正方体,棱长为
3

2 2

a ,球的半径为

2 4

a

7、 4018

2010

. 提示:令

2 2 ? ai

? x i ,则 a i ? 2 ?

1 ? xi xi

,且 x 1 ? x 2 ? ? ? x i ? 1 ,

其中 i ? 1, 2 , ? , 2010 .
? a 1 ? a 2 ? ? ? a 2010 ? 2
2010

?

1 x 1 x 2 ? x 2010

? ( x 2 ? x 3 ? ? ? x 2010 )

? ( x 1 ? x 3 ? ? ? x 2010 ) ? ? ? ( x 1 ? x 2 ? ? ? x 2009 )
? 2
2010

?

1 x 1 x 2 ? x 2010

? 2009 ? 2009 x 2 x 3 ? x 2010 ? 209 ? 2009 x 1 x 3 ? x 2010 ? ? ? 2009 ? 2009 x 1 x 2 ? x 2009
2010

? 2

2010

? 2009

2010

? 4018

?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ? ? 2 8、 3 。 ? x ? 2 y ? 0 由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只 2 ?x ? 4 y ? 4 ? ( x ? 2 y )( x ? 2 y ) ? 4 ?

须求 x-y 的最小值,令 x-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程 显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。 二、解答题 9、构造具有如下要求的集合 A:把 A 中的元素按从小到大的次序排好后,在其最大元素后 面添上 S 的任何元素均不能构成具有原公差的等差数列。这时,当 A 的首项与公差一旦确 定,其整个集合 A 也即确定,不妨设 A 的首项为 a,公差为 d,则 a=1, d=1, 2, …, n-1 时的集 A 有 n-1 个; a=2, d=1, 2, …, n-2 时的集 A 有 n-2 个; ……

a= n-1,d=1 时的集 A 有 1 个. 因此,所求 A 的总个数为 1+2+…+(n-1)=
n ( n ? 1) 2 .

10、解: (I)由条件知 F (1, 0 ) ,设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 、 C ( x 3 , y 3 ) 、 D ( x 4 , y 4 ) ,不妨 设 y 1 ? 0 .直线 AB 的方程为 y ? k 1 ( x ? 1) ,与 y ? 4 x 联立得 y 2 ?
2

4 k1

y?4? 0

所以 y 1 y 2 ? ? 4 , x 1 x 2 ? 1 . ① 当 x 1 ? 4 时,则 A ( 4 , 4 ) ,故 y 2 ?
?4 y1 ? ?1 , x2 ?
1 4

,即 B ( , ? 1) .
4

1

直线 AM 的方程为 x ? 4 ,从而 C ( 4 , ? 4 ) ;直线 BM 的方程为: y ?
2 2

4 15

( x ? 4) ,

与 y ? 4 x 联立得 y ? 15 y ? 16 ? 0 ,得 y 4 ? 16 , x 4 ? 64 ,即 D ( 64 , 16 ) . 于是 k 1 ?
4 3

,k2 ?

16 ? ( ? 4 ) 64 ? 4

?

1 3

.所以.

k1 k2
y1

? 4.
( x ? 4 ) 与抛物线方程 y
2

② 当 x 1 ? 4 时,直线 AM 方程为 y ?

x1 ? 4

? 4x

联立得 y 12 ( x ? 4 ) 2 ? 4 x ( x 1 ? 4 ) 2 ,又由 y 12 ? 4 x 1 ,化简上述方程得 x 1 x 2 ? ( x 12 ? 16 ) x ? 16 x 1 ? 0 此方程有一根为 x1, 所以另一根 x 3 ?
? 16 y2 16 x2 ? ? 16 y1 16 x1
2(1? x)( ? x) 1 x
1 1 1 ? x ? [ , e ] ,故 f ? ( x ) =0 在 x ? 1 有唯一的极值点, f ( ) =-2- 2 e e e
f ( e ) =―2― e , f ( x )
2
极大值

16 x1

,y 3 ?

? 16 y1

. C( 即

16 x1

,?

16 y1

), 同理,D (

16 x2

,?

16 y2

).

所以, k 2 ?

? ?

x1 x 2 y1 y 2

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

?

1 4

k 1 ,即

k1 k2

? 4.

由①、②可知

k1 k2

? 4.

2 11、解:(Ⅰ)由 f ( x ) =2 lnx ? x 求导得到: f ? ( x ) =



= f (1 ) =-1,
1 e , e ] 内有两个不等的实根满足:

且知 f (e ) < f ( ) ,故 f ( x ) =- m,在 [
e

1

-2-
e

1
2

≤- m<-1
2 x

故 m的取值范围为 ? 1, 2 ?
?

?

1 ? 2 e ? ?

(Ⅱ) g ? ( x ) =

-2 x- a,又 f ( x ) - ax=0 有两个不等的实根 x 1 、 x 2 ,

?2lnx ? x2 ?ax ? 0 2 x ?lnx2 ) (ln 1 1 1 1 ? (x1 ? x2 ) 则? 两式相减得到: a ? 2 x ? x2 2 1 2 ? lnx2 ? x2 ?ax ? 0,

于是 g ' (px?qx)= 1 2

2 px1 ? qx 2

? 2 (px?qx)-[ 1 2

2(ln x1 ? ln x2 ) x1 ? x2

? (x1 ? x2 ) ]

= ∵

2 px 1 ? qx 2

?

2(ln x1 ? ln x2 ) x1 ? x2

+ (2 p ?1) (x2 ? x1)

2 p ≤1, x ?x ?0, ∴ (2 p ?1) (x2 ? x1) ≤0 2 1
2 px 1 ? qx
2

要证: g ' (px?qx)<0,只需证: 1 2
x 2 ? x1 px 1 ? qx 2 x1 x2

+

2(ln x1 ? ln x2 ) x2 ? x1

<0,

只需证:
x1 x
2

? ln

? 0


1? t pt ? q
q p t ( pt ? q )
2



? t ,0 ? t ? 1,只需证: u (t ) ?

+ ln t ? 0 在 0?t ?1上恒成立,
2 2

p ( t ? 1 )( t ?
2

)

又∵ u'(t) ? ?
t

1

1 ( pt? q)
2



∵ p ? q ? 1,q ?

1 2

,则

q p

? 1 ,∴

q p

2 2

? 1 ,于是由 t ? 1 可知 t ?1?0,t ?

q p

2 2

? 0

故知 u' (t) ? 0 ∴ u ( t ) 在 t ? (0,1) 上为增函数, 则 u ( t ) < u (1 ) =0,从而知
x 2 ? x1 px 1 ? qx 2 ? ln x1 x2 ? 0

即①成立,从而原不等式成立。 二试 1、证:作 OR⊥AC 于 R,过 P 作 MK 的垂线, 交直线 OR 于 Q 点(如图) 。这样只需证 Q’M ∥O,因为这时 Q 和 Q’重合。 因为 K,M 分别为 AB 和 AC 的中点,所以 KM∥BC,于是∠MPC=∠BCP=
1 2

∠ACB=

∠MCP。因此 MP=MC=MA,这样一来,P 点在以 AC 为直径的圆周上,且∠APC=90° 。 在四边形 APOR 中, ∠APO=∠ARO=90° , 所以 APOR 内接于圆,∠RPO=∠RAO=
1 2

×

∠BAC。 在四形边 MPQ’R 中,∠MPQ’=∠MRQ’=90° ,所以 MPQ’R 内接于圆,于是∠Q’MR= ∠Q’PR=∠Q’PO+∠OPR= (90° -∠OPM) +
1 2

∠BAC= (90° -
1 2

1 2

∠ACB) +

1 2

∠BAC。
1 2

设 BO 交 AC 于 D,在△BDC 中,∠BDC=180° -∠ACB- -
1 2

∠ABC=90° +

∠BAC

∠ACB=∠Q’MR,因此 MQ’∥BO,于是本题得证。

2、解:由递归方程 f ? x ? ?
a n a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1 ? a n ? a n ?1 a n a n ?1 ? 1 a n ? a n ?1 ?1
?

x ?1
2

? x ,得不动点 x ? ? 1 .由不动点方法

2x
a n a n ?1 ? 1 ? a n ? a n ?1 a n a n ?1 ? 1 ? a n ? a n ?1

?

?1

? a n ? 1 ?? a n ?1 ? 1 ? ? a n ? 1 ?? a n ?1 ? 1 ?
x ?1 x ?1
2

?

a n ? 1 a n ?1 ? 1 ? . a n ? 1 a n ?1 ? 1 y ?1 y ?1
F n ?1

令 bn ?

an ? 1 an ? 1

,则 b n ? 1 ? b n b n ? 1 ? n ? N ? ? .易知 b 0 ?
2 3

, b1 ?

.
F

注意到 b n ? b n ?1b n ? 2 ? ?b n ? 2 b n ? 3 ?b n ? 2 ? b n ? 2 b n ? 3 ? b n ? 3 b n ? 4 ? ? ? b1 其中, F n ? 1 ? F n ? F n ?1 , F 0 ? F1 ? 1 , ?F n ? 为斐波那契数列. 于是, b n ?
an ? 1
an ? 1 an ? 1

b0 n ? 2 ,

? b1
F n ?1

F n ?1

b0

Fn ? 2

? y ?1? ? ?? ? ? ? y ?1?
Fn ? 2

F n ?1

? x ?1? ? ? ? x ?1?

Fn ? 2

.

? y ?1? ? ?? 故 ? ? an ? 1 ? y ? 1 ?

? x ?1? ? ? ? x ?1?

?n ? 2 ? .

(1)要使总存在正整数 n 0 ,当 n ? n 0 时, a n 恒为常数,还需分情况讨论. (i)若 n 0 ? 1 ,当 n ? n 0 时, a n 恒为常数. 由 a1 ? y , a 2 ?
a 0 a1 ? 1 a 0 ? a1 ? xy ? 1 x? y ? y , a3 ?

y ?1
2

? y ,……

2y

有 y ? 1 ,且 y ? ? x . 此时, a n 恒为常数 1 或 ? 1 . (ii)若 n 0 ? 2 ,当 n ? n 0 时, a n 恒为常数. 首 先 , 当 a n ? ? 1? n ? n 0 ? 时 , 如 果 n 0 ? 3 , 由 a n ? ? 1 , a n
0 0

?1

? ?1 及

a n 0 ?1 ?

a n 0 a n 0 ?1 ? 1 a n 0 ? a n 0 ?1
0

,有 a n

0

?1

? 1.

注意到 a n
0

?1

? ?1 .

又由 a n ?

a n 0 ?1 a n 0 ? 2 ? 1 a n 0 ?1 ? a n 0 ? 2
?1

,有 a n

0

?2

? ?1 .

于是,由 a n

0

?

a n0 ? 2 a n0 ? 3 ? 1 a n0 ? 2 ? a n0 ? 3

,有 a n

0

?1

? ? 1 ,矛盾.

此时,只能是 n 0 ? 2 ,即 a n ? ? 1? n ? 2 ? ,所以,
a2 ? a3 ? a1 a 2 ? 1 a1 ? a 2 a 0 a1 ? 1 a 0 ? a1 ? a 2 ? a1
? xy ? 1 x? y ? ?1 ,

a 2 a1 ? 1

?

?1? y ? 1 ?1? y

? ? 1 ,……

于是,

xy ? 1 x? y

? ? 1 , y ? 1 ? xy ? x ? y ? 1 ? 0 , y ? ? x ,y ? 1 ? x ? ? 1 且 且

或 y ? ? 1 ,且 y ? ? x , y ? 1 . 因此, x ? ? 1 或 y ? ? 1 , y ? ? x 时, n 0 ? 2 .当 n ? 2 时,a n 恒为常数 ? 1 . 当 且 取 其次,当 a n 在 n ? n 0 ? n 0 ? 2 ? 时不恒为 ? 1 ,但当 n ? n 0 时,使 a n 恒为常数,

? y ?1? ? ?? 故 a n ? ? 1 ? n ? n 0 , n 0 ? 2 ? .则 ? ? an ? 1 ? y ?1?

an ? 1

F n ?1

? x ?1? ? ? ? x ?1?

Fn ? 2

在 n ? n 0 时恒为常

数. 显然, 若
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ? 1,

y ?1 y ?1

? 1. a 0 a1 ? 1 a 0 ? a1

? ?1 且

y ?1 y ?1

? ?1 , x ? y ? 0 , a2 ? 则 有

的分母为 0, 矛盾.

所以, 只能

x ?1 x ?1

? 0或

y ?1 y ?1

? 0 , x ? 1 或 y ? 1 , y ? ? x 时, n ? n 0 ? n 0 ? 2 ? 即 且 当

时, a n 恒为常数 1. 综上, x ? 1 且 y ? ? x 或 y ? 1 且 x ? ? y 时, 当 总存在正整数 n 0 , 使当 n ? n 0 时 a n 恒为常数 1 或 ? 1 .
? y ?1? ? ?? (2)注意到 ? ? an ? 1 ? y ? 1 ?
F n ?1 Fn ? 2

an ? 1

? x ?1? ? ? ? x ?1?

?n ? 2 ? .
F n ?1


an ? 2 ? y ?1? ? 1? ? ? ? ? y ?1?
F n ?1

? x ?1? ? ? ? x ?1?
n ?1

Fn ? 2

?1 ?

2 ? y ? 1?

? y ? 1?F ? x ? 1?F
n ?1

n?2

? x ? 1?F F F ? ? y ? 1? ? x ? 1?
n?2 n ?1

n?2

?1.

故 an ?

? y ? 1?F ? x ? 1?F ? y ? 1?F ? x ? 1?F
n ?1

n?2

? ? y ? 1? ? ? y ? 1?

F n ?1 F n ?1

n?2

? x ? 1?F ? x ? 1?F

n?2

n?2

?n ? 2 ? ,

a 0 ? x , a1 ? y .

3、证明 设 A、B、C、D、E、F 是所给六点.考虑以 A 为端点的线段 AB、AC、AD、AE、 AF,由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同,不妨设就是 AB、AC、AD,且它们都 染成红色.再来看△ BCD 的三边,如其中有一条边例如 BC 是红色的, 则同色三角形已出现 (红色△ ABC) 如△ BCD ; 三边都不是红色的,则它就是蓝色的三角形,同色三角形 也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形. 证明 用平面上无三点共线的 17 个点 A1,A2,…,A17 分别 表示 17 位科学家.设他们讨论的题目为 x,y,z,两位科学家讨 论 x 连红线,讨论 y 连蓝线,讨论 z 连黄线.于是只须证明以 这 17 个点为顶点的三角形中有一同色三角形. 考虑以 A1 为端点的线段 A1A2,A1A3,…,A1A17,由抽屉原 则这 16 条线段中至少有 6 条同色, 不妨设 A1A2, 1A3, A …, A1A7 为红色.现考查连结六点 A2, 3, A7 的 15 条线段, A …, 如其中至少有一条红色线段,则同色(红色)三角形已出 现;如没有红色线段,则这 15 条线段只有蓝色和黄色,由例 5 知一定存在以这 15 条线段中 某三条为边的同色三角形(蓝色或黄色).问题得证. (属图论中的接姆赛问题.) 4、证明: (1)由递推关系得 a n ? 1 ? 1 ? a n ( a n ? 1) 当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 3(m o d 4 ) , a n ? 3 ? 3(m o d 4 ) 即 a n ? 4 k ? 3 ,那么

a n ? 1 ? a n ( a n ? 1) ? 1 ? 4 (4 k ? 3)( k ? 1) ? 1 ? 3(m o d 4 )

∴对所有 n , a n ? 3(m o d 4 ) (2)由递推关系得 a n ? 1 ? 1 ? 4 a n a n ?1 a n ? 2 ? a1 不妨设 m ? n ,得 a m | a n ? 1 ,令 a n ? 1 ? qa m , q ? N 则 ( a m , a n ) ? ( a m , q a m ? 1) ? ( a m , a m ? 1) ? 1


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