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1.2.2同角三角函数的基本关系教案3(人教A必修4)


第一章

三角函数

4-1.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
教学目的: 知识目标: 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式; 2.掌握三种基本关系式之间的联系; 3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 能力目标: (1)牢固掌握同角三角函数的八个关系式,并能灵活运用于解题,提高学 生分析、解决三角的思维能力; (2) 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形, 提高三角恒等变形的能力; 德育目标:训练三角恒等变形的能力,进一步树立化归思想方法; 教学重点:同角三角函数的基本关系式 教学难点:三角函数值的符号的确定,同角三角函数的基本关系式的变式应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.任意角的三角函数定义: 设角 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P( x, y ) ,
2 2 它与原点的距离为 r (r ? | x | ? | y | ?

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么:

sin ? ?

x r y x y r , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? , sec ? ? , csc ? ? . y y r r x x

2.当角α 分别在不同的象限时,sinα 、cosα 、tgα 、ctgα 的符号分别是怎样的? 3.背景:如果 sin A ?

3 ,A 为第一象限的角,如何求角 A 的其它三角函数值; 5

4.问题:由于α 的三角函数都是由 x、y、r 表示的,则角α 的六个三角函数之间有什么关 系? 二、讲解新课: (一)同角三角函数的基本关系式: (板书课题:同角的三角函数的基本关系) 1. 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:

? sin ? ? csc? ? 1 ? (1)倒数关系: ?cos? ? sec? ? 1 ? tan ? ? cot ? ? 1 ?

sin ? ? ?tan? ? cos? (2)商数关系: ? cos? ?cot? ? sin ? ?

?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ? (3)平方关系: ?1 ? tan 2 ? ? sec2 ? ?1 ? cot 2 ? ? csc2 ? ?
2. 给出右图,你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗? sinA (1)在对角线上的两个三角函数值的乘积等于 1,有倒 数关系。 (2)带有阴影的三个倒置三角形中,上面两个三角函数 tgA 1 值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平 方关系。 (3) 六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的 secA 两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。 说明:
2 2

cosA

ctgA

cscA

①注意“同角” ,至于角的形式无关重要,如 sin 4? ? cos 4? ? 1等; ② 注 意 这 些 关 系 式 都 是 对 于 使 它 们 有 意 义 的 角 而 言 的 , 如

tan ? ? cot ? ? 1(? ?

k? ,k ? Z) ; 2
cos ? ? sin ? 等。 tan ?

③对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用(正用、反用、变形用) ,如:

cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? , sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,
3.例题分析: 例 1. (1)已知 sin ? ? (2)已知 cos ? ? ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? ,cot ? . 13

4 ,求 sin ? , tan ? . 5 2 2 解: (1)∵ sin ? ? cos ? ? 1 , 12 2 5 2 2 2 ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? ( ) , 13 13
又∵ ? 是第二象限角, ∴ cos? ? 0 ,即有 cos ? ? ?

tan ? ?

sin ? 12 ?? , cos ? 5
2

5 ,从而 13 1 5 cot ? ? ?? . tan ? 12
∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) ,
2 2 2 2

(2)∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2

4 5

3 5

又∵ cos ? ? ?

3 sin ? 3 , tan ? ? ?? ; 5 cos ? 4 3 sin ? 3 当 ? 在第四象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? ? , tan ? ? ? . 5 cos ? 4
当 ? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? 总结: 1. 已知一个角的某一个三角函数值,便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值 中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解 的情况不止一种。

4 ?0, 5

∴ ? 在第二或三象限角。

2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方 关系开平方时,漏掉了负的平方根。 例 2.已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? , cos ? . 解:∵ sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? ?
2 2
2 2 2

sin ? , cos ?
2

∴ (cos ? ? tan ? ) ? cos ? ? cos ? (1 ? tan ? ) ? 1 ,即有 cos 2 ? ? 又∵ tan ? 为非零实数,∴ ? 为象限角。 当 ? 在第一、四象限时,即有 cos? ? 0 ,从而 cos ? ?

1 , 1 ? tan 2 ?

1 1 ? tan 2 ? ? , 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

sin ? ? tan ? ? cos ? ?

tan ? 1 ? tan 2 ? ; 1 ? tan 2 ?

1 1 ? tan 2 ? ?? 当 ? 在第二、三象限时,即有 cos? ? 0 ,从而 cos ? ? ? , 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ?

tan ? 1 ? tan 2 ? sin ? ? tan ? ? cos ? ? ? . 1 ? tan 2 ? 例 3.已知 cot ? ? m ( m ? 0 ) ,求 cos? cos ? cos ? 解: ∵ cot ? ? , 即 sin ? ? , sin ? cot ? 2 2 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 , cos 2 ? 1 m2 1 ∴ , ? cos 2 ? ? cos 2 ? (1 ? ) ? 1 ,即 cos 2 ? (1 ? 2 ) ? 1 , cos 2 ? ? cot 2 ? cot 2 ? 1 ? m2 m 又∵ m ? 0 ,∴ ? 为象限角。
当 ? 在第一、四象限时,即有 cos? ? 0 , cos ? ? 当 ? 在第二、三象限时,即有 cos? ? 0 , cos ? ? ?

m2 ; m2 ? 1 m2 . m2 ? 1

4.总结解题的一般步骤: ①确定终边的位置(判断所求三角函数的符号) ; ②根据同角三角函数的关系式求值。 三、巩固与练习 第 27 页 练习 1,2,3,4 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.同角三角函数基本关系式及成立的条件; 2.根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值; 3.在以上的题型中:先确定角的终边位置,再根据关系式求值。如已知正弦或余弦, 则先用平方关系,再用其它关系求值;若已知正切或余切,则可构造方程组来求值。 五、课后作业:六、板书设计:


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