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湖北省部分重点中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


湖北省部分重点中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的. 1. (5 分)直线 x+3y﹣1=0 的倾斜角是() A.120° B.135° C.150° D.30° 2. (5 分)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本

,当选取简单随机抽样、系统抽样和分 层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则() A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 3. (5 分)从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 () A.至少有一个黒球与都是红球 B. 至少有一个黒球与都是黒球 C. 至少有一个黒球与至少有 1 个红球 D.恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球 4. (5 分)对某同学的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图所 示,给出关于该同学数学成绩的以下说法: ①中位数为 83; ②众数为 83; ③平均数为 85; ④极差为 12. 其中,正确说法的序号是()

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

5. (5 分)已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测 数据算得的线性回归方程可能是() A. =﹣2x+9.5 B. =2x﹣2.4 C. =﹣0.3x﹣4.4 D. =0.4x+2.3

6. (5 分)某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积是()

A.30+6

B.28+6

C.56+12

D.60+12

7. (5 分)若某程序框图如图所示,则输出的 p 的值是()

A.21

B.26

C.30

D.55

8. (5 分)设 A、B、C、D 是球面上的四点,AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB=5,AC=4, AD= ,则球的表面积为() A.36π B.64π C.100π D.144π 9. (5 分)过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x +y +kx+2y+k ﹣15=0 相切 ,则 k 的取值范 围是() A.k<﹣3 或 k>2 C. k>2 或﹣ <k<﹣3 B. k<﹣3 或 2<k< D.﹣ <k<﹣3 或 2<k<
2 2 2

10. (5 分) 设点 P 是函数 y=﹣ 则|PQ|的最小值为() A. ﹣2 B.

图象上的任意一点, 点 Q(2a,a﹣3) (a∈R) ,

C.

﹣2

D.

﹣2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上. 11. (5 分)某单位有职工 200 名,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职 工随机按 1﹣200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1﹣5 号, 6﹣10 号, …, 196﹣200 号) . 若 第 5 组抽出的号码为 23,则第 10 组抽出的号码应是. 12. (5 分)若数据组 k1,k2,…,k8 的平均数为 4,方差为 2,则 3k1+2,3k2+2,…,3k8+2 的平均数为,方差为. 13. (5 分)直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 互相平行,则 m 的值为. 14. (5 分)设不等式组 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点

到坐标原点的距 离大于 2 的概率是. 15. (5 分)用更相减损术求 459 与 357 的最大公约数是. 16. (5 分)已知 P 是直线 3x﹣4y+11=0 上的动点,PA、PB 是圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两条 切线,A、B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为. 17. (5 分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,下面结论中正确的是. (把你认为正确的结 论都填上) ①BD∥平面 CB1D1; ②AC1⊥平面 CB1D1; ③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 ; ④二面角 C﹣B1D1﹣C1 的正切值是 ; ⑤过点 A1 与异面直线 AD 与 CB1 成 70°角的直线有 2 条.
2 2

三、解答题:本大题共 5 个小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)已知向量 随机选自集合{﹣2,2,6}, (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 的概率; 的概率. , ,其中 x 随机选自集合{﹣1,1,3},y

19. (13 分)某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如 下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 (Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体, 从中随机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?

20. (13 分)已知 ABCD﹣A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体,求: (1)直线 AC1 与平面 AA1B1B 所成角的正切值; (2)二面角 B﹣AC1﹣B1 的大小.

21. (13 分)已知曲线 C: x +y ﹣2x﹣4y+m=0,O 为坐标原点 (Ⅰ)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (Ⅱ)若曲线 C 与直线 x+2y﹣3=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON,求 m 的值. 22. (14 分)已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=﹣x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 AB 的中点. (1)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q, ①当|PQ|=3 时,求直线 l 的方程; ②试问在 x 轴上是否存在点 E(m,0) ,使 值;若不存在,请说明理由. ? ,D 是

2

2

恒为定值?若存在,求出 E 点的坐标及定

湖北省部分重点中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的. 1. (5 分)直线 x+3y﹣1=0 的倾斜角是() A.120° B.135° C.150° D.30° 考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 求出直线的斜率.然后求解直线的倾斜角. 解答: 解:直线 则 tan x+3y﹣1=0 的斜率为: ,直线的倾斜角为 α,

,∴α=150°.

故选:C. 点评: 本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系,基本知识的考查. 2. (5 分)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分 层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则() A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 考点: 等可能事件的概率. 分析: 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 解答: 解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个 体被抽中的概率都是相等的, 即 P1=P2=P3, 故选:D 点评: 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础. 3. (5 分)从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 () A.至少有一个黒球与都是红球 B. 至少有一个黒球与都是黒球 C. 至少有一个黒球与至少有 1 个红球 D.恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球 考点: 互斥事件与对立事件.

专题: 阅读型. 分析: 互斥事件是两个事件不包括共同的事件,对立事件首先是互斥事件,再就是两个事 件的和事件是全集,由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案. 解答: 解:A 中的两个事件是对立事件,故不符合要求; B 中的两个事件是包含关系,不是互斥事件,故不符合要求; C 中的两个事件都包含一个黑球一个红球的事件,不是互斥关系; D 中的两个事件是互互斥且不对立的关系,故正确. 故选 D 点评: 本题考查互斥事件与对立事件,解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的 关系.属于基本概念型题. 4. (5 分)对某同学的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计,作出的茎叶图如图所 示,给出关于该同学数学成绩的以下说法: ①中位数为 83; ②众数为 83; ③平均数为 85; ④极差为 12. 其中,正确说法的序号是()

A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

考点: 茎叶图;极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 根据统计知识,将数据按从小到大排列,可以发现,①不正确,不能选 A,②正确 不能选 C,③正确只能选 B 解答: 解: 将各数据按从小到大排列为: 78, 83, 83, 85, 90, 91. 可见: 中位数是 ∴①是不正确的; 众数是 83,②是正确的; =85,∴③是正确的.极差是 91﹣78=13, =84,

④不正确的.可见,只有选项 B 是正确的. 极差是 91﹣78=13. 故选 B 点评: 本题借助茎叶图考查了统计的基本概念,属于基础题. 5. (5 分)已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测 数据算得的线性回归方程可能是() A. =﹣2x+9.5 B. =2x﹣2.4 C. =﹣0.3x﹣4.4 D. =0.4x+2.3

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 利用变量 x 与 y 负相关,排除选项,然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可.

解答: 解:变量 x 与 y 负相 关,排除选项 B,D; 回归直线方程经过样本中心, 把 =3, =3.5,代入 =﹣2x+9.5 成立,代入 =﹣0.3x﹣4.4 不成立. 故选:A. 点评: 本题考查回归直线方程的求法,回归直线方程的特征,基本知识的考查. 6. (5 分)某几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积是()

A. 60+12

30+6

B.28+6

C. 56+12

D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 画出几何体的直观图,判断图形的表面三角形的形状,然后求解表面积. 解答: 解:三视图复原几何体如图:AE⊥平面 BCD,BC⊥CD,∴DC⊥AC, AE=4,BE=2,EC=3,CD=4, ∴AB= AD= ,BD= , ,AC=5,



=

=6



=10. =10. =10. S 表=30+6 . 故选:A.

点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对 应的几何量是解题的关键. 7. (5 分)若某程序框图如图所示,则输出的 p 的值是()

A.21

B.26

C.30

D.55

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数,然后根据运行的后 P 的值找出规律, 从而得出所求. 解答: 解:根据题意可知该循环体运行 3 次 2 第 1 次:n=2,p=1+2 =5 2 第 2 次:n=3,p=5+3 =14, 2 第 3 次:n=4,p=14+4 =30 因为 P=30>20,结束循环,输出结果 p=30. 故选 C.

点评: 本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循 环结构,以及周期性的运用,属于基础题.新课改地区高考常考题型. 8. (5 分)设 A、B、C、D 是球面上的四点,AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB=5,AC=4, AD= ,则球的表面积为() A.36π B.64π C.100π D.144π 考点: 球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 三棱锥 A﹣BCD 的三条侧棱两两互相垂直,所以把它扩展为长方体,它也外接于球, 对角线的长为球的直径,然后解答即可. 解答: 解:三棱锥 A﹣BCD 的三条侧棱两两互相垂直,所以把它扩展为长方体, 它也外接于球,对角线的长为球的直径,d= =8

它的外接球半径是 4, 2 外接球的表面积是 4πR =64π 故选:B. 点评: 本题考查球的表面积,考查学生空间想象能力,解答的关键是构造球的内接长方 体.是基础题. 9. (5 分)过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x +y +kx+2y+k ﹣15=0 相切,则 k 的取值范 围是() A.k<﹣3 或 k>2 C. k>2 或﹣ <k<﹣3 B. k<﹣3 或 2<k< D.﹣ <k<﹣3 或 2<k<
2 2 2

考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆.

分析: 把圆的方程化为标准方程后,根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于 0,列出关 于 k 的不等式,求出不等式的解集,然后由过已知点总可以作圆的两条切线,得到点在圆外, 故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式, 让其大于 0 列出关于 k 的不等式, 求出不等式 的解集,综上,求出两解集的并集即为实数 k 的取值范围. 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: (x+ k) +(y+1) =16﹣ k , 所以 16﹣ k >0,解得:﹣
2 2 2 2

<k<



又点(1,2)应在已知圆的外部, 2 把点代入圆方程得:1+4+k+4+k ﹣15>0,即(k﹣2) (k+3)>0, 解得:k>2 或 k<﹣3, 则实数 k 的取值范围是(﹣ ,﹣3)∪(2, ) .

故选 D. 点评: 此题考查了点与圆的位置关系,二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解 法. 理解过已知点总利用作圆的两条切线, 得到把点坐标代入圆方程其值大于 0 是解本题的关 键. 图象上的任意一点, 点 Q(2a,a﹣3) (a∈R) ,

10. (5 分) 设点 P 是函数 y=﹣ 则|PQ|的最小值为() A. ﹣2 B.

C.

﹣2

D.

﹣2

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: 将函数进行化简,得到函数对应曲线的特点,利用直线和圆的性质,即可得到结论. 解答: 解:由函数 y=﹣ C(1,0) ,半径为 2 的圆的下部分, ∵点 Q(2a,a﹣3) , ∴x=2a,y=a﹣3,消去 a 得 x﹣2y﹣6=0, 即 Q(2a,a﹣3)在直线 x﹣2y﹣6=0 上, 过圆心 C 作直线的垂线,垂足为 A, 则|PQ|mi n=|CA|﹣2= 故选:C. ﹣2= ﹣2, 得(x﹣1) +y =4, (y≤0) ,对应的曲线为圆心在
2 2

点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据函数的表达式确定对应曲线是解决 本题的关键. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上. 11. (5 分)某单位有职工 200 名,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职 工随机按 1﹣200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1﹣5 号, 6﹣10 号, …, 196﹣200 号) . 若 第 5 组抽出的号码为 23,则第 10 组抽出的号码应是 48. 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 由分组可知,抽号的间隔为 5,第 5 组抽出的号码为 22,可以一次加上 5 得到下一 组的编号,第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37 解答: 解:由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 23, 所以第 10 组抽出的号码为 23+5×5=48, 第 10 组抽出的号码为 48. 故答案为:48 点评: 本题考查系统抽样,在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号,注意 要能从一系列样本中选择出来.本题还考查分层抽样,是一个抽样的综合题目. 12. (5 分)若数据组 k1,k2,…,k8 的平均数为 4,方差为 2,则 3k1+2,3k2+2,…,3k8+2 的平均数为 14,方差为 18. 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 根据平均数和方差的公式解答. 解答: 解:由已知,得 = =4,所以 =3×4+2=14,

s=

2

=18;

故答案为 14;18. 点评: 本题考查了数据的变化与平均数,方差、标准差的关系,属于基础题. 13. (5 分)直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 互相平行,则 m 的值为﹣1. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 故答案为﹣1. 两条直线平行的判定. 计算题. 利用两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,解方程求的 m 的值. 解:由于直线 l1:x+my+6=0 与直线 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0 互相平行, ,∴m=﹣1,

点评: 本题考查两直线平行的性质,两直线平行,一次项系数之比相等,但不等于常数项 之比.

14. (5 分)设不等式组 到坐标原点的距离大于 2 的概率是

表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据题意,在区域 D 内随机取一个点 P,则 P 点到坐标原点的距离大于 2 时,点 P 位于图中正方形 OABC 内,且在扇形 OAC 的外部,如图中的阴影部分.因此算出图中阴影部 分面积,再除以正方形 OABC 面积,即得本题的概率. 解答: 解:到坐标原点的距离大于 2 的点,位于以原点 O 为圆心、半径为 2 的圆外 区域 D: 表示正方形 OABC, (如图)

其中 O 为坐标原点,A(2,0) ,B(2,2) ,C(0,2) . 因此在区域 D 内随机取一个点 P, 则 P 点到坐标原点的距离大于 2 时,点 P 位于图中正方形 OABC 内, 且在扇形 OAC 的外部,如图中的阴影部分 ∵S 正方 形 OABC=2 =4,S 阴影=S 正方形 OABC﹣S 扇形 O AC=4﹣ π?2 =4﹣π
2 2

∴所求概率为 P=

=

故答案为:

点评: 本题给出不等式组表示的平面区域,求在区域内投点使该到原点距离大于 2 的概率, 着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点,属于基础题. 15. (5 分)用更相减损术求 459 与 357 的最大公约数是 51. 考点: 用辗转相除计算最大公约数. 专题: 计算题.

分析: 根据辗转相除法:用较大的数字除以较小的数字,得到商和余数,然后再用上一式 中的除数和得到的余数中较大的除以较小的, 以此类推, 当整除时, 就得到要求的最大公约数. 解答: 解:辗转相除法: 459=357×1+102 357=102×3+51 102=51×2 故 459 和 357 的最大公约数是 51, 故答案为:51. 点评: 本题考查的知识点是辗转相除法,熟练掌握辗转相除法求最大公约数的方法和步骤 是 解答本题的关键. 16. (5 分)已知 P 是直线 3x﹣4y+11=0 上的动点,PA、PB 是圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的两条 切线,A、B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的 最小值为 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程为求得圆心 C,半径 r,由“若四边形面积最小,则圆心与点 P 的距离最小 时,即距离为圆 心到直线的距离时,切线长 PA,PB 最小”,最后将四边形转化为两个直角三 角形面积求解. 2 2 解答: 解:∵圆的方程为: (x﹣1) +(y﹣1) =1,∴圆心 C(1,1) ,半径 r=1. 根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点 P 的距离最小时,即距离为圆心到直线的距离时, 切线长 PA,PB 最小. ∵圆心到直线的距离为 d= =2∴PA=PB= , = .
2 2

故四边形 PACB 面积的最小值为 2S△ PAC=2× ×PA×r=

故答案为 . 点评: 本题的考点是直线与圆的位置关系,主要涉及了构造四边形及其面积的求法,解题 的关键是“若四边形面积最小,则圆心与点 P 的距离最小时,即距离为圆心到直线的距离时, 切线长 PA,PB 最小”属于中档题. 17. (5 分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,下 面结论中正确的是①②④. (把你认为 正确的结论都填上) ①BD∥平面 CB1D1; ②AC1⊥平面 CB1D1; ③AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 ; ④二面角 C﹣B1D1﹣C1 的正切值是 ; ⑤过点 A1 与异面直线 AD 与 CB1 成 70°角的直线有 2 条.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得①②,根据求二面角的大小 的方法可得③不正确、④正确, 再根据异面直线所成的角可得⑤不正确,由此得到答案. 解答: 解:如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 由于 BD∥B1D1 ,由直线和平面平行的判定定理可得 BD∥平面 CB1D1 ,故①正确. 由正方体的性质可得 B1D1⊥A1C1,CC1⊥B1D1,故 B1D1⊥平面 ACC1A1,故 B1D1⊥AC1. 同理可得 B1C⊥AC1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得,AC1⊥平面 CB1D1 ,故②正 确. AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值为 = ,故③不正确.

取 B1D1 的中点 M,则∠CMC1 即为二面角 C﹣B1D1﹣C1 的平面角,Rt△ CMC1 中, tan∠CMC1= = = ,故④正确.

由于异面直线 AD 与 CB1 成 45°的二面角,如图,过 A1 作 MN∥AD、PQ∥CB1,设 MN 与 PQ 确定平面 α,∠PA1M=45°,过 A1 在面 α 上方作射线 A1H, 则满足与 MN、PQ 成 70°的射线 A1H 有 4 条:满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条,满足 ∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条,满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条, 满足 QA1H=∠MA1H=70°的有一条.故满足与 MN、PQ 成 70°的直线有 4 条,故过点 A1 与异 面直线 AD 与 CB1 成 70°角的直线有 4 条,故⑤不正确.

故答案为 ①②④. 点评: 本题主要考查求二面角的大小的方法,异面直线的判定,直线和平面平行、垂直的 判定定理的应用,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)已知向量 随机选自集合{﹣2,2,6}, (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 的概率; 的概率. , ,其中 x 随机选自集合{﹣1,1,3},y

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 平面向量及应用;概率与统计. 分析: 列举出基本事件空间包含的基本事件个数: (Ⅰ)由于 由此求得 (Ⅱ)由于 由此求得 等价于 的概率. 等价于 的概率. =0,即 2x﹣y=0,即 y=2x,满足 y=2x 的(x,y)共有 3 个, ,即 xy+2=0,即 xy=﹣2,满足 xy=﹣2 的(x,y)共有 2 个,

解答: 解:则基本事件空间包含的基本事件有: (﹣1,﹣2) , (﹣1,2) , (﹣1,6) , (1,﹣2) , (1,2) , (1,6) , (3,﹣2) , (3,2) , (3,6) ,共 9 种.…(4 分) (Ⅰ)设“ ”事件为 A,则 xy=﹣2.

事件 A 包含的基本事件有(﹣1,2) , (1,﹣2)共 2 种. ∴ 的概率为 . …(8 分)

(Ⅱ)设“

”事件为 B,则 y=2x.

事件 A 包含的基本事件有(﹣1,﹣2) , (1,2) , (3,6)共 3 种. ∴ 的概率为 . …(12 分)

点评: 本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用,两个向量平行和垂直的性质,属 于基础题. 19. (13 分)某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如 下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 (Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体, 从中随机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?

考点: 分层抽样方法;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据所以概率的和为 1,即所求矩形的面积和为 1,建立等式关系,可求出所 求; (2)均值为各组组中值与该组频率之积的和; (3)先分别求出 3,4,5 组的人数,再利用古典概型知识求解. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1,所以 a=0.005.…(3 分) (Ⅱ)由直方图分数在的频率为 0.05,的频率为 0.35,的频率为 0.30, 的频率为 0.20,的频率为 0.10,所以这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为: 55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5 …(6 分) (Ⅲ)由直方图,得: 第 3 组人数为 0.3×100=30, 第 4 组人数为 0.2×100=20 人, 第 5 组人数为 0.1×100=10 人. 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,

每组分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: 人, 人, =1 人.

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.…(9 分) 设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 位同学为 B1,B2,第 5 组的 1 位同学为 C1, 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,A3) , (A2,A3) , (A1,B1) , ( (A1,B2) , (A2,B1) , (A2, B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A1,C1) , (A2,C1) , (A3,C1) , (B1,C1) , (B2,C1) , 其中恰有 1 人的分数不低于 9(0 分)的情形有: (A1,C1) , (A2,C1) , (A3,C1) , (B1,C1) , (B2,C1) ,共 5 种.…(13 分) 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 …(14 分)

点评: 本题主要考查频率分布直方图,平均数的求法和古典概率. 20. (13 分)已知 ABCD﹣A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体,求: (1)直线 AC1 与平面 AA1B1B 所成角的正切值; (2)二面角 B﹣AC1﹣B1 的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)先根据其为正方体得到∠C1AB1 就是 AC1 与平面 AA1B1B 所成的角;然后在 RT△ C1AB1 中求其正切即可; (2)先过 B1 作 B1E⊥BC1 于 E,过 E 作 EF⊥AC1 于 F,连接 B1F;根据 AB⊥平面 B1C1CB 推得 B1E?AC1; 进而得到∠B1FE 是二面角 B﹣AC1﹣B1 的平面角; 然后通过求三角形的边长 得到二面角 B﹣AC1﹣B1 的大小即可. 解答: 解: (1)连接 AB1,∵ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体 ∴B1C1⊥平面 ABB1A1,AB1 是 AC1 在平面 AA1B1B 上的射影 ∴∠C1AB1 就是 AC1 与平面 AA1B1B 所成的角 在 RT△ C1AB1 中,tan∠C1AB1= =

∴直线 AC1 与平面 AA1B1B 所成的角的正切值为 (2)过 B1 作 B1E⊥BC1 于 E,过 E 作 EF⊥AC1 于 F,连接 B1F; ∵AB⊥平面 B1C1CB,?AB⊥B1E?B1E?平面 ABC1?B1E?AC1 ∴∠B1FE 是二面角 B﹣AC1﹣B1 的平面角 在 RT△ BB1C1 中,B1E=C1E= BC1= 在 RT△ ABC1 中,sin∠BC1A= = ,

∴EF=C1E?sin∠BC1A= ∴tan∠B1FE= =



∴∠B1FE=60°,即二面角 B﹣AC1﹣B1 的大小为 60°.

点评: 本题主要考察线面角以及二面角的平面角及其求法.解决二面角的平面角及求法的 关键在于把二面角的平面角找出来或做出来,常用的做法是三垂线法. 21. (13 分)已知曲线 C:x +y ﹣2x﹣4y+m=0,O 为坐标原点 (Ⅰ)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (Ⅱ)若曲线 C 与直线 x+2y﹣3=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON,求 m 的值. 考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)根据曲线方程满足圆的条件求出 m 的范围即可; (Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由题意 OM⊥ON,得到 ? =0,利用平面向量数量积
2 2

运算法则列出关系式,联立直线与圆方程组成方程组,消去 x 得到关于 y 的一元二次方程,根 据直线与圆有两个交点,得到根的判别式大于 0,求出 m 的范围,利用韦达定理求出 y1+y2 与 y1y2,由点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)在直线 x+2y﹣3=0 上,表示出 x1 与 x2,代入得出的 关系式中,整理即可确定 m 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可知:D +E ﹣4F=(﹣2) +(﹣4) ﹣4m=20﹣4m>0, 解得:m<5; (Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由题意 OM⊥ON,得到 ? =0,即 x1x2+y1y2=0①, ,
2 2 2 2 2

联立直线方程和圆的方程:

消去 x 得到关于 y 的一元二次方程:5y ﹣12y+3+m=0, ∵直线与圆有两个交点, ∴△=b ﹣4ac=12 ﹣4×5×m>0,即 m+3< 又由(Ⅰ)m<5,∴m< 由韦达定理:y1+y2= , ②,
2 2

,即 m<



,y1y2=

又点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)在直线 x+2y﹣3=0 上, ∴x1=3﹣2y1,x2=3﹣2y2, 代入①式得: (3﹣2y1) (3﹣2y2)+y1y2=0,即 5y1y2﹣6(y1+y2)+9=0 ,

将②式代入上式得到:3+m﹣ 解得:m= 则 m= . < ,

+9=0,

点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:根的判别式,直线与圆的交点, 韦达定理,平面向量的数量积运算,以及二元二次方程成为圆的条件,熟练掌握运算法则是解 本题的关键. 22. (14 分)已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=﹣x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 AB 的中点. (1)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q, ①当|PQ|=3 时,求直线 l 的方程; ②试问在 x 轴上是否存在点 E(m,0) ,使 值;若不存在,请说明理由. 考点: 向量在几何中的应用;轨迹方程;直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)设 D(x,y) ,A(a,a) ,B(b,﹣b) ,然后根据线段 AB 的长为 2 ,D 是 AB 的中点消去 a 与 b,得到 x 与 y 的等量关系,即为动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)①讨论直线 l 与 x 轴是否垂直,然后利用点到直线的距离公式建立等式关系,从而求出 直线方程; ②讨论直线 l 的斜率是否存在,不存在时直接求 消去 y,然后设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,将 ? ? ,存在时,将直线与圆联立方程组, ? ,D 是

恒为定值?若存在,求出 E 点的坐标及定

表示出来,使其与 k 无关即可求出 m 的

值. 解答: 解: (1)设 D(x,y) ,A(a,a) ,B(b,﹣b) , ∵D 是 AB 的中点,∴x=
2

,y=
2



∵|AB|=2 ,∴(a﹣b) +(a+b) =12, 2 2 2 2 ∴(2y) +(2x) =12,∴点 D 的轨迹 C 的方程为 x +y =3. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,P(1, ) ,Q(1,﹣ ) ,此时|PQ|=2 ,不符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,由于|PQ|=3,所以圆心 C 到直线 l 的距离为 ,



=

,解得 k=±

.故直线 l 的方程为 y=±

(x﹣1) .

②当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x﹣1) , 2 2 2 2 由消去 y 得(k +1)x ﹣2k x+k ﹣3=0,

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)则由韦达定理得 x1+x2=

,x1x2=



则 ∴
2

=(m﹣x1,﹣y1) , ?

=(m﹣x2,﹣y2) ,
2

=(m﹣x1) (m﹣x2)+y1y2=m ﹣m(x1+x2)+x1x2+y1y2
2

=m ﹣m(x1+x2)+x1x2+k (x1﹣1) (x2﹣1) =m ﹣
2

+

+k (

2



+1)=

要使上式为定值须

=1,解得 m=1,∴ ) ,Q(1,﹣ ) , =(0,

? ) , ) ,

为定值﹣2,

当直线 l 的斜率不存在时 P(1, 由 E(1,0)可得 ∴ ? =﹣2, ? =(0,﹣

综上所述当 E(1,0)时,

为定值﹣2.

点评: 本题主要考查了向量在几何中的应用,以及轨迹问题和直线和圆的方程的应用,同 时考查转化的思想和计算的能力,属于中档题.


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