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高二数学选修1-1 2[1].2椭圆的几何性质(五),1


椭圆的简单的几何性质
第五课时习题课

例1.如图,F1、F2是椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0) 的左、右焦点,当离心率在什么范围内取值 y 时,椭圆上总有点P使PF1⊥PF2. P

x2 y 2 解 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)(1), PF1 ? PF2 ,设P ( x, y ), a b O F1 F2 x 2 2 2 a (2c ? a ) x 2 ? y 2 ? c 2 (2),由(1)(2)得x 2 ? c2 0 2 2 解2 : 设 ? PF F ? ? , ? PF F ? ? , ? F PF ? 90 , 由正弦定理得 0 ? a2 1 1 2 1 2 2 c 2 F PF ? 90 的动点P的轨迹是以F F 为直径的圆.圆内的点 解 3? :由于满足 ? 1 2 1 2 ? 又 x2 ? ? 0, a ?1 ? ? ,? 0 0? c 2 PF1 PF2 90F,1圆外的点与直径的张角小于 F2 PF1 ? PF2 F10F 与直径的张角大于 90 .所以满足条件的点 P 2 ? ,?2 ? , ? ? 0 0 2 ? c sin ? 1 ? sin ? sin sin ? sin 90 sin 90 e ?? ,1 2 ? ? ? . 在圆内或圆上 ? b ? c,e ? 2 2 ? ? 2 ? b ?c 2 ? 2 ? c 1 ? ? 2 ? e ? ?e ? ? ,1? ? e ?a ,1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ) cos( ) ? 2 2sin( ?

2

2

变题1.椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)与x轴正方向交 于点A,如果在此椭圆上总存在点P,使OP⊥PA,求 椭圆离心率的范围.
解: ?点P横坐标满足的方程为(a 2 -b2 )x2 ? a 3 x ? a 2 ? b2 ? 0 ab 2 解得x ? 2 , x ? a, 又 ? x ? a且点P与点A不能重合, c ? 2 ? ab 2 2 2 ? 2 ? a,即b ? c , 则e ? ? ,1? . ? ? c ? 2 ?

b2 解:? OA ? OB=0,得 OF ? AF , 即c ? a 5 ?1 2 2 ? a ? c ? ac, 解得e ? . 2

变题2.过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0) 的右焦点 F 作 ??? ? ??? ? x轴的垂线交椭圆于点A、B,若OA ? OB ? 0 , 求椭 圆离心率 .? ?? ?? ?

变题3.过椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦

点F1??? 作直线交椭圆于点 A、B,左焦点F2, ? ???? ? ??? ? ???? ? 若, AB ? AF2 ? 0, AB ? AF2 ,求椭圆离心率.
解:? AF2 =r,C ?ABF2 =4a ? r=(4-2 2 )a
2 2

? AF1 =(2 2 -2)a, AF1 ? AF2 ? F1 F2

2

则e ? 6? 3. 2 2 x y 例题2.椭圆 ? ? 1的焦点为F1,F2,点P为其上的 16 4

动点,当F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.

解 ? ?F1 PF2为钝角,? PF1 ? PF2 ? F1F2 ? 0,
4 2 2

2

2

2

a 2c 4 6 4 6 即x ? 2 ? 2 ? 0,?? ?x? c e 3 3

x y 例3:椭圆方程为 ? ? 1, 试确定m的取值范围, 4 3 使得椭圆上有两个不同的点关于直线y=4x+m对称
解:设P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )是椭圆上关于直线y=4x+m对称点, y1 ? y2 3x 1 M ( x, y )是PQ中点,由点差法得 ? ? ? K PQ ? , 4y x1 ? x2 4 ? y ? 3x, 又y=4x+m,得M(-m,-3m),点M 在椭圆内, 2 2 ?13 ? m ? 13. 13 13

2

2

练习
y 2 x2 1、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点F1(0,-c)、F2 a b (0,c)(c>0),离心率为 3 ,焦点到椭圆上 2 点的最短距离为 2 ? 3,求椭圆方程。

练习2.已知椭圆 ,过点P(5,2)作直 线l交椭圆于A,B两点,且P恰为AB的中点,求 直线l的方程.
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
? x12 ? ? ?16 ? 2 ? x2 ? ? ?16 y12 ? 1(1) 4 (1)-(2)有 2 y2 ? 1(2) 4

x2 y 2 ? ?1 16 4

又点P为AB的中点,则 x1+x2=10,y1+y2=4
y1 ? y2 5 ?? 所以, k ? x1 ? x2 8

故直线l的方程为: 5x+8y-41=0

1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 16 1 ? ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 4

点P代入方程检验在椭圆 外部,因此点P不可能是椭 圆弦的中点,故此题无解.


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