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高中文科数学一轮复习——集合专题


第一章
第一节

集合

集合的含义、表示及基本关系 A组

1.已知 A={1,2},B={x|x∈A},则集合 A 与 B 的关系为________. 解析:由集合 B={x|x∈A}知,B={1,2}.答案:A=B 2.若? {x|x2≤a,a∈R},则实数 a 的取值范围是________.


解析:由题意知,x2≤a 有解,故 a≥0.答案:a≥0 3.已知集合 A={y|y=x2-2x-1,x∈R},集合 B={x|-2≤x<8},则集合 A 与 B 的关系是 ________. 解析:y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A={y|y≥-2},∴B A. 答案:B A 4.(2009 年高考广东卷改编)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2+x =0}关系的韦恩(Venn)图是________.

解析:由 N={x|x2+x=0},得 N={-1,0},则 N M.答案:② 5. (2010 年苏、 锡、 常、 镇四市调查)已知集合 A={x|x>5}, 集合 B={x|x>a}, 若命题“x∈A” 是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. 解析:命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件,∴A B,∴a<5. 答案:a<5 6.(原创题)已知 m∈A,n∈B,且集合 A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又 C={x|x=4a+1,a∈Z},判断 m+n 属于哪一个集合? 解:∵m∈A,∴设 m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设 n=2a2+1,a2∈Z,∴m+n=2(a1 +a2)+1,而 a1+a2∈Z,∴m+n∈B.

B组
a b ab 1.设 a,b 都是非零实数,y= + + 可能取的值组成的集合是________. |a| |b| |ab| 解析:分四种情况:(1)a>0 且 b>0;(2)a>0 且 b<0;(3)a<0 且 b>0;(4)a<0 且 b<0,讨 论得 y=3 或 y=-1.答案:{3,-1} 2.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B?A,则实数 m=________. 解析:∵B?A,显然 m2≠-1 且 m2≠3,故 m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1.答案: 1 3.设 P,Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q ={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是________个. 解析:依次分别取 a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性, ∴P +Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:8 4.已知集合 M={x|x2=1},集合 N={x|ax=1},若 N M,那么 a 的值是________. 1 解析:M={x|x=1 或 x=-1},N M,所以 N=?时,a=0;当 a≠0 时,x= =1 或- a 1,∴a=1 或-1.答案:0,1,-1 5.满足{1} A?{1,2,3}的集合 A 的个数是________个. 解析:A 中一定有元素 1,所以 A 有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:3 1 b 1 c 1 6.已知集合 A={x|x=a+ ,a∈Z},B={x|x= - ,b∈Z},C={x|x= + ,c∈Z},则 A、 6 2 3 2 6

B、C 之间的关系是________. 解析:用列举法寻找规律.答案:A B=C 7.集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的________. 解析:结合数轴若 A?B?a≥4,故“A?B”是“a>5”的必要但不充分条件.答案: 必要不充分条件 8.(2010 年江苏启东模拟)设集合 M={m|m=2n,n∈N,且 m<500},则 M 中所有元素的和 为________. 解析: ∵2n<500, ∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和 S=1+2+22+?+28=511. 答案:511 9.(2009 年高考北京卷)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k-1?A,且 k+1 ?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所 有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 解析:依题可知,由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一 定是相连的三个数.故这样的集合共有 6 个.答案:6 10.已知 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且 A=B,试求 x,y 的值. 解:由 lg(xy)知,xy>0,故 x≠0,xy≠0,于是由 A=B 得 lg(xy)=0,xy=1. 1 ∴A={x,1,0},B={0,|x|, }. x 1 于是必有|x|=1, =x≠1,故 x=-1,从而 y=-1. x 11.已知集合 A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围; (3)若 A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数 m 的取值范围. 解:由 A={x|x2-3x-10≤0},得 A={x|-2≤x≤5}, (1)∵B?A,∴①若 B=?,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B?A. m+1≤2m-1, ? ? ②若 B≠?,则?-2≤m+1, ? ?2m-1≤5. 解得 2≤m≤3.

由①②得,m 的取值范围是(-∞,3]. 2m-1>m-6, ? ? (2)若 A?B,则依题意应有?m-6≤-2, ? ?2m-1≥5. m>-5, ? ? 解得?m≤4, ? ?m≥3. 故 3≤m≤4,

∴m 的取值范围是[3,4]. ?m-6=-2, ? (3)若 A=B,则必有? 解得 m∈?.,即不存在 m 值使得 A=B. ? ?2m-1=5, 12.已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围; (3)若 A=B,求 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得 1≤x≤2,故 A={x|1≤x≤2}, 而集合 B={x|(x-1)(x-a)≤0}, (1)若 A 是 B 的真子集,即 A B,则此时 B={x|1≤x ≤ a},故 a>2. (2)若 B 是 A 的子集,即 B?A,由数轴可知 1≤a≤2.

(3)若 A=B,则必有 a=2

第二节

集合的基本运算 A组

1.(2009 年高考浙江卷改编)设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩?UB=____. 解析:?UB={x|x≤1},∴A∩?UB={x|0<x≤1}.答案:{x|0<x≤1} 2.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集 合?U(A∩B)中的元素共有________个. 解析:A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},?U(A∩B)={3,5,8}.答案:3 3.已知集合 M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M},则集合 M∩N=________. 解析:由题意知,N={0,2,4},故 M∩N={0,2}.答案:{0,2} 4. (原创题)设 A, B 是非空集合, 定义 A?B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}, 已知 A={x|0≤x≤2}, B={y|y≥0},则 A?B=________. 解析:A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以 A?B=(2,+∞). 答案:(2,+∞) 5.(2009 年高考湖南卷)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设两项运动都喜欢的人数为 x,画出韦恩图 得到方程 15-x+x+10-x+8=30 x=3, ∴ 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓 球运动的 人数为 15-3=12(人).答案:12 6. (2010 年浙江嘉兴质检)已知集合 A={x|x>1}, 集 合 B = {x|m≤x≤m+3}. (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B?A,求 m 的取值范围. 解: (1)当 m=-1 时, B={x|-1≤x≤2}, ∴A∩B={x|1<x≤2}, A∪B={x|x≥-1}. (2) 若 B?A,则 m>1,即 m 的取值范围为(1,+∞)

B组
1.若集合 M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则 M∩N=________. 解析:因为集合 N={-1,0,1,2},所以 M∩N={-1,0}.答案:{-1,0} 2.已知全集 U={-1,0,1,2},集合 A={-1,2},B={0,2},则(?UA)∩B=________. 解析:?UA={0,1},故(?UA)∩B={0}.答案:{0} 3.(2010 年济南市高三模拟)若全集 U=R,集合 M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则 M∩(?UN)=________. 解析:根据已知得 M∩(?UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<0 或 x>3}={x|-2≤x<0}.答案: {x|-2≤x<0} 4.集合 A={3,log2a},B={a,b},若 A∩B={2},则 A∪B=________. 解析:由 A∩B={2}得 log2a=2,∴a=4,从而 b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4} 5. (2009 年高考江西卷改编)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA)∪(?UB)中有 n 个元素. 若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为________. 解析:U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素,∴A∩B 中有 m-n 个元 素.答案:m-n 6.(2009 年高考重庆卷)设 U={n|n 是小于 9 的正整数},A ={n∈U|n 是奇数}, B={n∈U|n 是 3 的倍数}, 则?U(A∪B)=________. 解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6}, ∴A∪B = {1,3,5,6,7}, 得?U(A∪B)={2,4,8}.答案:{2,4,8}

x 7.定义 A?B={z|z=xy+ ,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A y ?B)?C 的所有元素之和为________. 解析:由题意可求(A?B)中所含的元素有 0,4,5,则(A?B)?C 中所含的元素有 0,8,10,故 所有元素之和为 18.答案:18 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4= x,y)|y=3x+b},则 b=________. ? ? x + y - 2 = 0 , x = 0 , ? ? 解析:由? ?? 点(0,2)在 y=3x+b 上,∴b=2. ?x-2y+4=0. ?y=2. ? ? 9.设全集 I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},?IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合 M 的所有子集是________. 解析:∵A∪(?IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且 a2+2a-3 =5,解得 a=-4 或 a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案:?,{1},{2},{1,2} 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A∩B={2},求实数 a 的值; (2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 解:由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入 B 中的方程,得 a2+4a+3=0?a=-1 或 a=-3;当 a=-1 时, B={x|x2-4=0}={-2,2}, 满足条件; 当 a=-3 时, B={x|x2-4x+4=0}={2}, 满足条件;综上,a 的值为-1 或-3. (2)对于集合 B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B?A, ①当 Δ<0,即 a<-3 时,B=?满足条件;②当 Δ=0,即 a=-3 时,B={2}满足条件; ③当 Δ>0,即 a>-3 时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得 5 ? ?1+2=-2(a+1) ?a=-2, ? ? ?? 矛盾.综上,a 的取值范围是 a≤-3. 2 ?1×2=a -5 ? 2 ? ?a =7, 11.已知函数 f(x)= 6 -1的定义域为集合 A,函数 g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为 x+1

集合 B. (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值. 解:A={x|-1<x≤5}. (1)当 m=3 时,B={x|-1<x<3},则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, ∴A∩(?RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, ∴有-42+2×4+m=0,解得 m=8,此时 B={x|-2<x<4},符合题意. 12.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若 A=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的值及集合 A; (3)求集合 M={a∈R|A≠?}. 解:(1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解. 2 若 a=0,方程有一解 x= ,不合题意. 3 9 2 若 a≠0,要方程 ax -3x+2=0 无解,则 Δ=9-8a<0,则 a> . 8 9 综上可知,若 A=?,则 a 的取值范围应为 a> . 8 2 2 (2)当 a=0 时,方程 ax2-3x+2=0 只有一根 x= ,A={ }符合题意. 3 3 9 当 a≠0 时,则 Δ=9-8a=0,即 a= 时, 8

4 4 方程有两个相等的实数根 x= ,则 A={ }. 3 3 2 9 4 综上可知,当 a=0 时,A={ };当 a= 时,A={ }. 3 8 3 2 (3)当 a=0 时,A={ }≠?.当 a≠0 时,要使方程有实数根, 3 9 则 Δ=9-8a≥0,即 a≤ . 8 9 9 综上可知,a 的取值范围是 a≤ ,即 M={a∈R|A≠?}={a|a≤ } 8 8


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