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高中数学


1.5.3 定积分的概念

学习目标: 1、理解定积分的概念;

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

当分割点无限增多时,小矩形的面积和=曲边梯形的面积

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ? a, x1 ? , ? x1, x2 ?,?? xi-1, xi ?,?, ? xn-1, b?, 每个小区间宽度△x =
b-a n

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

(2)取近似求和:任取xi?[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
i

f(xi)Dx近似之。

y=f(x)
n

取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值: ? S

? f (x )Dx
i =1 i

(3)取极限:,所求曲边梯形的 面积S为

S = lim ? f (xi )Dx
n?? i =1

n

O

a

xi xi xi+1 Dx

?

b

x

分析: 一般地,如果函数f(x)在区间[a, b]上连续,用分点 a=x0<x1<x2<…<xi<…<xn=b将区 间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区 间[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上任取一
b? a f ( ? ,那么 点? 作和式 S ? nlim ? i) i ?? n i? 1
n

当n→∞时,Sn的极限是否一定存在?
一定存在

定积分的定义:

b? a i) 在数学上,把 nlim ? n f ( ? 叫做函数 ?? i? 1
n

f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作 即

?f (x )dx
a
b

b


n

b? a i ?f (x )dx ? nlim? ? n f ( ?) ? a i? 1

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y = f (x)

a

b

x

积分上限

?a f ( x )dx = I = lim0 ? f (x i )Dxi ? ? i =1
b
积分下限

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ,直线x=a、x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积为
S=a f (x)dx; ?
b

(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间 v = v (t ) [a, b]内运动的距离s为 v
s=a v(t)dt。 ?
b

t
O

a

b

y

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S = ? f ( x)dx = ? x dx = 0 0 3
v
2

f(x)=x2
S= 1 3
1

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v( ) = - t 2 + 2 t
D Sj

O
n

x

gD S g

根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S = ? v(t )dt = ? (-t ? 2)dt = 0 0 3
t

O

1 1 2 3 j n- 1 n n n n n

说明:
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即

?a f(x)dx =?a

b

b

f (t)dt = ?a

b

f(u)du。

(2)定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.
(3)

?a f(x)dx = - ?b f (x)dx
b a

(2)定积分的几何意义:
当 f(x)?0 时,积分?a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)
b

?a f (x)dx =?a
O a
b

b

c

f (x)dx?c f (x)dx。 ?

b

b x

特别地,当 a=b 时,有 ?a

f (x)dx=0。

定积分的几何意义:
当f(x)?0时,由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方,
积分?a f (x)dx 在几何上表示
b

y y=-f (x)

上述曲边梯形面积的负值。
S = ? [- f ( x)]dx
a b

S = ? [- f ( x)]dx
a

b

=b

?a

b

f ( x)dx . ,
c b

O a
b c

b x
=a ?a f (x)dx =-S f (x)dx??c ?
b

f (x

=a ?a f (x)dx =-S f (x)dx??c ?

f (x)dx。

y=f (x)

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 y=f (x) 的面积? y

S = S1 - S2 = ? f ( x)dx - ? g ( x)dx
a a

b

b

S1 = y = f ( x ) dx ?a g ( x )
b

S 2 = ? g ( x )dx
a

b

O

a a

b x

三:

定积分的基本性质

性质1.

?

b

a

kf ( x )dx = k ? f ( x )dx
b a

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx = ? f ( x )dx ? ? g ( x )dx
b b a a

三:

定积分的基本性质

性质3.

定积分关于积分区间具有可加性
b

?

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
c b a c

y y=f (x)

O

a
c1 c2 a c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx

性质 3 不论a,b,c的相对位置如何都有

?a f (x)dx =?a
y

b

c

f (x)dx?c f (x)dx。 ?

b

y=f(x)

f (x)dx f f (x)dx?cf (x)dx。 ?a f?a(x)dx =?a =?a (x)dx??(x)dxf=?a f (x)dx??c ?a f c ? (x)dx。

b

b

c

c

b

b

b

c

b

f (x)dx。

O

a

c

b

x

(4)

?
?

a

a
b

f ( x )dx = 0.

(5)

a

dx = b - a .

(6)

?

b

a

f ( x )dx = - ? f ( x )dx .
a b

例1:利用定积分的定义,计算

?

1

0

x 3 dx

的值.


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