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空间点线面之间的位置关系


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望子成龙双流校区

§ 8.3
2014 高考会这样考

空间点、直线、平面之间的位置关系
1.考查点、线、面的位置关系,考查逻辑推理能力与空间想象能力;

2.考查公理、定理的应用,证明点共线、线共点、线共面的问题;3.运用公理、定理和结论 证明或判断一些空间图形的位置关系. 复习备考要这样做 1.理解、熟记平面的性质公理,灵活运用并判断直线与平面的位置关 系;2.异面直线位置关系的判定是本节难点,可以结合实物、图形思考. 知识梳理: 1.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面 内. 公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.(即可以确定一个平面) 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公 共直线. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
?平行 ?共面直线? ? ?相交 ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′ 与 b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线 a,b 所成的角(或夹角). π? ②范围:? ?0,2?. 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. [难点正本 疑点清源] 1.公理的作用 公理 1 的作用是判断直线是否在某个平面内; 公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判 断“直线共面”的方法; 公理 3 的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点” 的理论依据;平行公理是对初中平行线的传递性在空间中的推广.

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2.正确理解异面直线的定义:异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点.不能错误地 理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线. 基础自测 1.在下列命题中,所有正确命题的序号是________. ①平面 α 与平面 β 相交,它们只有有限个公共点; ②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; ③经过两条相交直线,有且只有一个平面; ④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合; ⑤四边形确定一个平面. 2.正方体各面所在平面将空间分成________部分. 3.空间四边形 ABCD 中,各边长均为 1,若 BD=1,则 AC 的取值范围是________. . 4.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线 ) )

5.已知 A、 B 表示不同的点,l 表示直线,α、β 表示不同的平面,则下列推理错误的是( A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l ? α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l 题型分类: 题型一 平面基本性质的应用 例1 α,A∈l?A?α α?l∩α=A D.A∈α,A∈l,l

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC,BD 交于

点 M,求证:点 C1,O,M 共线. 思维启迪:证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直 线上.

探究提高

(1)证明若干点共线也可以公理 3 为依据,找出两个平面的交线,然后证明

各个点都是这两平面的公共点.

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(2)利用类似方法也可证明线共点问题. 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点. 求证:

(1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 题型二 空间两直线的位置关系 例2 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问:

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由.

已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的 中点,F、G 分别是边 BC、CD 的中点. (1)求证:BC 与 AD 是异面直线;

(2)求证:EG 与 FH 相交. 题型三 异面直线所成的角 例3 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,

(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大 小. 探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;利用特殊点 (线段的端点或中点 )作平行线平移;补形平 移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.

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直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 A.30° B.45° C.60° D.90° ( )

点、直线、平面位置关系考虑不全面致误 典例:(5 分)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 答案 B 温馨提醒 (1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立,如“垂直于同一条 直线的两条直线互相平行”在空间中不成立, 所以在用一些平面几何中的定理和结论时, 必须说明涉及的元素都在某个平面内. (2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路:一是逐个判断,利用空间线面关系证明 正确的结论, 寻找反例否定错误的结论; 二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、 教室)作出判断,但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致. )

构造衬托平面研究直线相交问题 典例:(5 分)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中 与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有________条. 审题视角 找三条异面直线都相交的直线, 可以转化成在一个平面内, 作与三条直线都 相交的直线. 因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面. 进而研究公共交 线问题. 解析 方法一 在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与 M 确定一个平面,这个平 面与 CD 有且仅有 1 个交点 N, 当 M 取不同的位置时就确定不同 的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面 直线都有交点.如图所示. 方法二 在 A1D1 上任取一点 P,过点 P 与直线 EF 作一个平面 α,因 CD 与平面 α 不平 行,所以它们相交,设它们交于点 Q,连接 PQ,则 PQ 与 EF 必然相交,即 PQ 为所求 直线.由点 P 的任意性,知有无数条直线与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交. 答案 无数

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温馨提醒

(1)本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置

关系的考查,难度一般都不会太大. (2)误区警示:本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此 失分较多.这说明学生还是缺少空间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解. 方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线 或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的 公共点,根据公理 3 可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点 B 的直线是异 面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面 问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关, 往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范 1.全面考虑点、线、面位置关系的情形,可以借助常见几何模型. 2.异面直线所成的角范围是(0° ,90° ]. A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 答案 A 、 2.下列命题正确的个数为 ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 答案 C B.1 C.2 D.3 ( ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

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解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确; 两条平行线可以确定一个平面,∴②正确; 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确; 命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确. 3.设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α、β 表示两个平面,给出下列四个命题,其中 正确的命题是 ①P∈a,P∈α?a? α ②a∩b=P,b? β?a? β ③a∥b,a? α,P∈b,P∈α?b? α ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b A.①② 答案 D 4.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,过顶点 A1 与正方体其他顶 点的连线与直线 BC1 成 60° 角的条数为( A.1 C.3 答案 B 解析 有 2 条:A1B 和 A1C1. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.平面 α、β 相交,在 α、β 内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个 平面. 答案 1 或 4 解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行, 则确定一个平面; 否 则确定四个平面. 6.下列命题中不 正确的是________.(填序号) . ①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 答案 ①② 7.如图, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、 N 分别为棱 C1D1、 C1C 的中点, 有以下四个结论: B.2 D.4 ) B.②③ C.①④ D.③④ ( )

①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线;

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④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上). 答案 ③④ 三、解答题(共 22 分) 8.(10 分) 如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊 1 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (1)证明 由已知 FG=GA,FH=HD, 1 1 可得 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD,∴GH 綊 BC, 2 2 ∴四边形 BCHG 为平行四边形. 1 (2)解 方法一 由 BE 綊 AF,G 为 FA 的中点知, 2 BE 綊 FG,∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綊 CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 方法二 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, 1 2

1 ∵BE 綊 AF,∴B 为 MA 的中点. 2 1 ∵BC 綊 AD, 2 、

∴B 为 M′A 的中点, ∴M 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′), ∴C、D、F、E 四点共面. 9.(12 分)如图,在四面体 ABCD 中作截面 PQR,若 PQ、CB 的延长线交于 M,RQ、DB 的延长线交于 N,RP、DC 的延长线交于 K,求证:M、N、K 三点共线.

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证明 ∵M∈PQ,直线 PQ? 面 PQR,M∈BC,直线 BC? 面 BCD, ∴M 是平面 PQR 与平面 BCD 的一个公共点, 即 M 在面 PQR 与面 BCD 的交线 l 上. 同理可证 N、K 也在 l 上.∴M、N、K 三点共线. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A,B, C 三点的平面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过( A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M 2.已知空间中有三条线段 AB、BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线 AB 与 CD 的位 置关系是 ( ) A.AB∥CD B.AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 3.以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( ) )

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.在图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

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5.如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这个 正四面体中,

①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④ 解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线, GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN. 6.(2012· 四川)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点,则 异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________.

三、解答题 7.(13 分)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为正方形 ABCD 的中心,H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交点.求证:D1、H、O 三点共线.


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