当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2012年吴川一中五四高一数学竞赛试题及答案


2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题
说明:(1)时间:120 分钟,满分 150 分; (2)必须将选择题、填空题、解答题的答案填在答题卷 上. ..... 一.选择题:共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 1.已知集合 A ? {x A. {1}

x ( x ? 1) ? 0} , B ? {x x ? 1} ,则 A (?R

B) ?
B. {0,1} C. (0,1) D. ?

2. 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) , f ( x ? 1) 的反函数为 g ( x ) , 则函数 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x ) 在 [1, 2] 上的值域是 A. [2,5] B. (2,5] C. [0, 2] D. [1, 2)

3.下表为某厂采用节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产
能耗 y (吨)标准煤的三组对应数据. x y 则 y 关于 x 的线性回归方程为 A. y ? 3 2 4 3 5 4

1 x ?1 2

B. y ?

1 x ?1 2

C. y ? x ? 1

D. y ? x ? 1

4. 若实数 a 使得方程 cos x ? a 在 [0, 2?] 内有两个不相等的实数根 x1 , x2 , 则 sin( x1 ? x2 ) ? A. ? 1 B. ?

5.如图,已知斜线 AP 在平面 ? 上的投影为 AO,M 是 平面 ? 上一点,记 ?PAO ? ?1 , ?OAM ? ?2 , A O M

1 2

C. 0

D. 1

P

?PAM ? ?3 ,则下列等式成立的是
A. sin ?3 ? cos?1 cos?2 C. sin ?3 ? sin ?1 sin ?2 B. cos?3 ? sin ?1 sin ?2 D. cos?3 ? cos?1 cos?2

?

6. 我们把横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点, 则满足 x2 ? y 2 ? 2012 的整点 ( x, y ) 的 个数为 A.53 个 B.137 个 C.138 个 D.2012 个

(2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题 第 1 页 共 9 页)

二.填空题:共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. 7.已知 (a ? 3)3 ? (1 ? 2a)3 ,则实数 a 的取值范围是 8.已知 f ( x ) ? ? .

?cos ?x, x ? 1 1 5 ,则 f ( ) ? f ( ) ? 3 3 ? f ( x ? 1), x ? 1

.

9.一个几何体的正视图与侧视图均为边长等于 2 的正三角形,俯视图为直径等于 2 的圆, 则该几何体的体积为 .

10.为了鼓励节约用水,某市实行了如下的居民用水阶梯缴费方案(按户计价): 阶梯 1 2 3 用水量 22 吨以下 22 吨-30 吨 30 吨以上 单价 1.92 元/吨 2.88 元/吨 3.84 元/吨
开始 输入 x x<22 是 否 否

x≤30 是

为了方便居民缴交该方案的水费,某公司 准备研制一种“阶梯水阶水表”,其计算原 理如右图所示的框图,则在①处的表达 式为 S ? ;

S=1.92x



S=3.84x-49.92

输出 S 结束

某户居民 5 月份交了 50.88 元水费, 那么,该户居民 5 月份用了 吨水.

11.如图,已知圆 O1,2 : ( x ? a) ? y ? r 1 与圆
2 2 2

y l2 O4 l1

O3,4 : x2 ? ( y ? b)2 ? r22 均与直线 l1,2 : y ? ? 3x 相切,
且圆 Oi (i ? 1,2,3,4) 均内切于圆 O : x ? y ? R ,
2 2 2

O1

O O3

O2

x

? 其中 a, b, r 1, r 2 , R ? R ,则

a ? b

.

12.已知正整数 x, y , z 满足

1 1 1 ? ? ? 1 ,则 x ? y ? z 的最大值是 x y z

.

(2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题 第 2 页 共 9 页)

三.解答题:共 5 小题,共 84 分. 13.(本题满分 14 分) 在 △ ABC 中,已知 sin(2 ? ? A) ? (I)求 cos A 的值; (II)求 A、B、C 的值.

2 cos(

?? ? B ) , 3cos A ? ? 2 cos(? ? ?) . 2

14.(本题满分 14 分) 已知点 F ( ?6,0) ,直线 l : x ? ?4 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰好经过坐标原点

O ,设 G 是圆 C 上任意一点.
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 FG 与直线 l 交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得 的弦长.

15.(本题满分 16 分) 为预防 H1 N1 病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效 性(若疫苗有效的概率小于 90 %,则认为测试没有通过),公司选定 2000 个流感样本分 成三组,测试结果如下表:

A组
疫苗有效 疫苗无效

B组

C组
y

673

x
90

77

z

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33 . (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,问应在 C 组抽取多少个? (Ⅲ)已知 y ? 465, z ? 30 ,求不能通过测试的概率.

(2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题 第 3 页 共 9 页)

16.(本题满分 20 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等,且 D, E , F 分别为 BC, BB1 , AA 1 的中 点. (I)求证:平面 B1FC // 平面 EAD ; (II)求证: BC1 ? AE ; (III)求三棱锥 C ? B1C1F 的体积.

A1 B1

C1

F

E

A
D
B

C

17.(本题满分 20 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ,对任意 x, y ? (?1,1) 都有

f ( x) ? f ( y ) ? f (

x? y ) ,且当 x ? (0,1) 时,有 f ( x ) ? 0 . 1 ? xy

(I)求 f (0) 的值,并判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (II)试判断 f ( x ) 在 (?1,1) 上的单调性; (III)设不等式 f ( x ? 2012 ) ? 0 的解集为 A ,实数 a, b ? A ,且 a ? 0 ? b ,求区间
2 2

[a , b] 上整数的个数.

(2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题 第 4 页 共 9 页)

2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛
参考答案及评分标准
一.选择题:BACC DB 1.B 可得 A ? {x x ? 0 或 x ? 1} , ?R B ? {x x ? 1} ,∴ A

(?R B) ? {0,1} .

2.A f (x ?1) ?log 2 x 的反函数 g ( x) ? 2 x ,则 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ? log2 x ? 2 x 在

[1, 2] 上是增函数,而 h(1) ? 2, h(2) ? 5 ,∴ h( x) ? [2,5] .
3.C 由于所给的数据恰在直线 y ? x ? 1 上,∴所求的线性回归方程为 y ? x ? 1 . 4.C 画出 y1 ? cos x, y2 ? a 在 [0, 2?] 上的图象,得两交点必关于直线 x ? ? 对称, ∴

x1 ? x2 ? ? ,得 x1 ? x2 ? 2? ,∴ sin( x1 ? x2 ) ? 0 . 2

5.D 作 ON ? AM 于点 Q ,连接 PQ ,则 AQ ? PQ ,令 AP ? 1 ,有 AO ? cos?1 ,

AQ ? AO cos?2 ? cos?1 cos?2 ,在 Rt△PAQ 中,有 AQ ? AP cos?3 ? cos?3 ,
∴ cos?3 ? cos?1 cos?2 . 6.B 由 44 ? 1936 , 45 ? 2025 得 44 ? 2012 ? 45 ,
2 2

而 x, y ? Z ,由 x2 ? y 2 ? 2012 得 ?6 ? x ? 6 , ?6 ? y ? 6 , 在第一象限内:

1? y ? 6, , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 当 x ? 1 时, 即 y ?1

1? y ? 6, , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ; 当 x ? 2 时, 即 y ?1



当 x ? 3 时, 1 ? y ? 5 ,即 y ? 1,2,3,4,5 ;当 x ? 4 时, 1 ? y ? 5 ,即 y ? 1,2,3,4,5 ; 当 x ? 5 时, 1 ? y ? 4 ,即 y ? 1,2,3,4 ;当 x ? 6 时, 1 ? y ? 2 ,即 y ? 1, 2 ; 共 6 ? 2 ? 5 ? 2 ? 4 ? 2 ? 28 个整点, 即在坐标轴上的整点个数为 12 ? 2 ? 1 ? 25 (含原点), 由对称性知所求的整点个数为 28 ? 4 ? 25 ? 137 个. 二.填空题:7. (?4, ?) 8. 0 9.

3 ? ?
12.11

10. 6 ? 3 3

11. S ? 2.88 x ? 21.12 ;25

(2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题 第 5 页 共 9 页)

7. (?4, ?) 函数 f ( x) ? x3 在 R 上单调递增,由 a ? 3 ? 1 ? 2a 得 a ? ?4 . 8. 0

1 5 1 2 ? ?? 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? cos ? cos ? ? (? ) ? 0 . 3 3 3 3 3 3 2 2

9.

3 1 3 ?. ? 该几何体是底面半径为 1,母线长为 2 的圆锥, V ? ? ( ? ? 12 ) ? 3 ? 3 ? ?

10. S ? 2.88 x ? 21.12 ;25 可得①处的表达式为

S ? 1.92 ? 22 ? 2.88 ? ( x ? 22) ? 2.88 x ? 21.12 ;
当 x ? 22 时, S ? 2.88 ? 22 ? 21.12 ? 42.24 ? 50.88 , 当 x ? 30 时 S ? 2.88 ? 30 ? 21.12 ? 65.28 ? 50.88 , 故该户居民 5 月份的用水量 x 满足 22 ? x ? 30 ,由 2.88 x ? 21.12 ? 50.88 得 x ? 25 . 11. 6 ? 3 3 可得圆 O2 的半径 r 1 ?

1 3 a ,圆 O4 的半径 r2 ? b ,而圆 O2 、 O4 均内切于圆 2 2

O ,有 a ?

a 3 3 1 ? 6?3 3. a ? b ? b ? R ,∴ (2 ? 3)a ? 3b ,即 ? b 2? 3 2 2 1 1 1 ? ? ,则 ( y ? 2)( z ? 2) ? 4 , y z 2

12.11 不妨设 x ? y ? z ,显然 x ? 1 ,若 x ? 2 ,有

∴ y ? 4, z ? 4 或 y ? 3, z ? 6 ,这时 x ? y ? z ? 10 或 11; 若 x ? 3 ,则 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 ,当且仅当 x ? y ? z ? 3 时等号成立, x y z 3 3 3

这时 x ? y ? z ? 9 ,∴ x ? y ? z 的最大值是 11. 13.解:(I)由已知得 sin A ?
2

2 sin B , 3cos A ? 2 cos B ,??????????2 分
2 ;????????????????4 分 2

两式平方相加得 2cos A ? 1 ,∴ cos A ? ?

若 cos A ? ?

2 3 ,由 3cos A ? 2 cos B ,得 cos B ? ? , 2 2

这时 A、B 均为钝角,矛盾!?????????????????????????7 分 ∴ cos A ?

2 ;??????????????????????????????8 分 2

(2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题 第 6 页 共 9 页)

(II)由(I)得 A ? ∴B ?

? 2 3 ,由 cos A ? 及 3cos A ? 2 cos B ,得 cos B ? ,???11 分 4 2 2

? ?? ,于是 C ? ? ? ? A ? B ? ? ,???????????????????13 分 6 12 ? ? ?? ∴ A ? , B ? ,C ? .????????????????????????14 分 4 6 12
14.解:(Ⅰ)可得 C (?4, 0) ,又圆 C 过原点,∴圆 C 的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 ;?6 分 (Ⅱ)∵ G 为线段 FT 的中点,而 F ( ?6,0) ,点 T 在直线 l : x ? ?4 上, 可设 G(?5, yG ) ,代入 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 ,得 yG ? ? 15 ,????????????8 分 ∴ FG 的斜率为 k ? ? 15 , FG 的方程为 y ? ? 15( x ? 6) .??????????10 分 ∴圆心 C (?4, 0) 到 FG 的距离为 d ?

15 , ??????????????????12 分 2

直线 FG 被圆 C 截得的弦长为 2 16 ? (

15 2 ) ? 7 .???????????????14 分 2

15.解:(I)∵在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率为 0.33 , 即

x ? 0.33 ,∴ x ? 660 ;????????????????????????4 分 2000

(II) C 组样本个数为: y ? z ? 2000? (673? 77 ? 660? 90) ? 500, ????????6 分 用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,应在 C 组抽取个数为

360 ?

500 ? 90 (个). ???????????????????????????8 分 2000

(III)设测试不能通过事件为 M , C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为 ( y , z ) . 由(Ⅱ)知 y ? z ? 500 ,且 y, z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有:

(465,35) 、 (466,34) 、 (467,33) 、 (468,32) 、 (469,31) 、 (470,30) 共 6 个 . ???12 分
若测试不能通过,则 77 ? 90 ? z ? 200 ,即 z ? 33 . 事件 M 包含的基本事件有: (465,35) 、 (466,34) 共 2 个, ∴ P(M ) ?

2 1 ? . 6 3

??????????????????????????15 分

∴故不能通过测试的概率为

1 .????????????????????????16 分 3
A1 C1

16.证明:(Ⅰ)由已知可得 AF / / B1E , AF ? B1E ,
(2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题 第 7 页 共 9 页) B1

F

? 四边形 AFB1E 是平行四边形, ? AE // FB1 ,
∵ AE ? 平面 B1FC , FB1 ? 平面 B1FC ,

? AE / / 平面 B1FC ;???????3 分
又 D, E 分别是 BC, BB 1 的中点,? DE // B 1C ,

ED ? 平面 B1FC , B1C ? 平面 B1FC , ? ED / / 平面 B1FC ;????????5 分

AE

DE ? E, AE ? 平面 EAD , ED ? 平面 EAD ,

? 平面 B1FC ∥平面 EAD ;?????????????????????????6 分
(Ⅱ)? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,? C1C ? 面 ABC , 又 AD ? 面 ABC ,? C1C ? AD . ??????????????????????7 分 又 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等, D 是 BC 边中点,

? ?ABC 是正三角形,? BC ? AD ,????????????????????9 分
而 C1C

BC ? C , CC1 ? 面 BCC1B1 , BC ? 面 BCC1B1 ,

? AD ? 面 BCC1B1 ,故 AD ? BC1 ,????????????????????11 分
四边形 BCC1B1 是菱形,? BC1 ? B1C , 而 DE // B1C ,故 DE ? BC1 ,??????????????????????13 分 由 AD

DE ? D , AD ? 面 EAD , ED ? 面 EAD ,得 BC1 ? 面 EAD .

而 AE ? 面 EAD , ∴ BC1 ? AE . ??????????????????????????????15 分 (III)取 AC 1 1 的中点 G,连接 B1G ,由题意得 B1G ? 平面 CC1F ,且 B1G ? 而F是A 1 A 的中点,有 S△CC1F ?

3 AG ? 1

3 , 2

1 1 ? 1 ? 1 ? ,????????????????18 分 2 2

(2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题 第 8 页 共 9 页)

∴ VC ? B1C1F ? VB1 ?CC1F ?

1 1 3 3 .???????????????????20 分 ? ? ? 3 2 2 12

17.解:(I)令 x ? 0, y ? 0 得 f (0) ? 0 ,?????????????????????2 分 令 x ? 0, y ? x 得 f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) ,即 f (? x) ? ? f ( x) ,??????????5 分 ∴ f ( x ) 为奇函数; ???????????????????????????6 分

(II)设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,先证 0 ?

x2 ? x1 ?1, 1 ? x2 x1 x2 ? x1 ? 0 , ???????8 分 1 ? x2 x1

由 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 得 1 ? x1 x2 ? 0 ,且 x2 ? x1 ? 0 ,有



x2 ? x1 ( x ? x ) ? (1 ? x2 x1 ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ?1 ? 2 1 ? ? 0, 1 ? x2 x1 1 ? x2 x1 1 ? x2 x1 x2 ? x1 ? 1 , ????????????????????????????11 分 1 ? x2 x1

∴0 ?

而 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? 0 , ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

x2 ? x1 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 1 ? x2 x1

所以 f ( x ) 在 (?1,1) 上是减函数; ??????????????????????14 分
2 2 (III) f ( x ? 2012 ) ? 0 ? f (0) ,由(II)得 ?1 ? x ? 2012 ? 0 ,?????????16 分
2 2

即 2012 ? 1 ? x ? 2012 ,
2 2 2

解得 20122 ? 1 ? x ? 2012 或 ?2012 ? x ? ? 20122 ? 1 ,???????????18 分 而 a, b ? A 且 a ? 0 ? b ,∴ a ? ( ?2012, ? 20122 ? 1) , b ? ( 20122 ? 1,2012) , ∴区间 [a , b] 上的整数的个数为 2011 ? 2 ? 1 ? 4023 个. ?????????????20 分

(2012 年吴川一中“五四”高一数学竞赛试题 第 9 页 共 9 页)


相关文章:
2012年吴川一中五四高一数学竞赛试题及答案
(2012 年吴川一中五四高一数学竞赛试题 第 4 页共 9 页) 2012 年吴川一中五四”高一数学竞赛参考答案及评分标准一.选择题:BACC DB 1.B 可得 A ? {...
2014年吴川一中第五届高一数学竞赛试题及答案
2014年吴川一中第五届高一数学竞赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014...2012年吴川一中五四高一... 暂无评价 9页 免费 2013年吴川一中第四届高... ...
2012高一数学全国联赛试题及答案
2012-2013年高一数学10月... 7页 免费 2012年吴川一中五四高一... 暂无评价...2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案(高一年级) 高一年级)说明: ...
五四竞赛题库
2012年吴川一中五四高一... 暂无评价 9页 免费 邵阳市五四中学高一数学... 3...“五四”知识竞赛题库必答题 1.党的最高理想和最终目标是什么?答:党的最高...
吴川一中2011-2012高一下学期期中考试数学
吴川一中 2011-2012 高一下学期期中考试 数学试卷满分 150 分.考试用时 120 分钟...2 参考答案一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在...
新会一中2012届高一数学摸底测试题
新会一中 2012高一数学摸底测试题答案一、将答案填空入下表(每题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 D 8 D 9 C 10...
新会一中2012届高一数学摸底测试题
新会一中 2012高一数学摸底测试题答案一、将答案填空入下表(每题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 D 8 D 9 C 10...
新会一中2012届高一数学摸底测试题
新会一中 2012高一数学摸底测试题答案一、将答案填空入下表(每题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 D 8 D 9 C 10...
新会一中2012届高一数学摸底测试题
新会一中 2012高一数学摸底测试题答案一、将答案填空入下表(每题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 D 8 D 9 C 10...
更多相关标签:
吴川一中 | 吴川一中知名校友 | 吴川一中吧 | 吴川一中实验学校 | 吴川一中网评系统 | 吴川一中网评 | 吴川一中短号网 | 吴川一中校歌 |