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北师大版数学必修四课件:第3章§3 二倍角的三角函数(1)


§3 二倍角的三角函数(一) 1.知识目标: (1)能够导出二倍角的正弦、余弦、正切公式; (2)掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式; (3)能灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求值和 证明. 2.能力目标:能利用各类公式及化归的思想、等价转换的 思想、方程和分类讨论的思想方法,解决一些综合问题. 3.情感目标:体会公式所蕴含的和谐美、对称美. 4.教学重点:二倍角公式与和差角公式的内在联系,二倍 角的正弦、余弦、正切公式及其变形; 5.教学难点:灵活运用公式进行简单三角函数的化简、求 值和证明. 复 习 两角和与差的正弦和余弦公式 cos(a - b ) = cos a cos b + sin a sin b cos(a + b ) = cos a cos b - sin a sin b sin(a - b ) = sin a cos b - cos a sin b sin(a + b ) = sin a cos b + cos a sin b 以上公式中a和b可以取任意角. 两角和的正切公式 tan a +tan b tan(a + b ) ? 1 - tan a ? tan b tan a -tan b tan(a - b ) ? 1 + tan a ? tan b 以上两个公式中, a 和b 可取使两边都有意义的任意角. 思考1 是特殊角, 和 是倍半关系,利用上述公式 4 4 8 不可以求的三角函数值.如果能推导一组反映倍半关系 ? ? ? 的三角函数公式,将是很有实际意义的. 3 思考2 等腰三角形ABC的底角的余弦值是 ,那么顶角 5 的正弦值是多少? (如图) 3 4 C 解: cos A ? , ? sin A ? . 5 5 sin C ? sin[? - ( A + B )] ? sin( A + B ) A B ? sin 2 A ? sin( A + A) ? sin A cos A + cos A sin A 4 3 24 ? 2sin A cos A ? 2 ? ? ? . 5 5 25 思考 3  两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式,特别 地,当b=a时,这三个公式分别变为什么形式? 二倍角公式的推导 sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos a cos 2a = cos(a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2a – sin2a tan a + tan a tan 2a = tan(a + a) ? 1 - tan a ? tan a ? 2 tan a 1 - tan 2 a 利用 sin2a + cos2a = 1,cos2a 还可变为 cos 2a = cos 2a = cos2a – ( 1 - cos2a ) ( 1- sin2a ) - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a . 二倍角公式 sin 2a ? 2sin a cos a     S2 α cos 2a ? cos 2 a - sin 2 a    cos 2a ? 2cos a - 1 2 C 2α cos 2a ? 1 - 2sin a 2 2tan a tan 2a ?      T2 α 2 1 - tan a 1 例1 已知 tan a ? ,求 tan 2a的值. 2 分析:直接代入二倍角的正切公式.

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