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《函数的单调性的应用》导学案


第7课时 函数的单调性的应用

.. 导. 学 固思

1.理解函数单调性的实质,会用函数单调性解决相关问题.

2.理解复合函数的单调性,并会证明和判断.
3.熟悉单调性在研究函数中的应用.

.. 导. 学 固思

函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内

容之
一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明 函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一 些问题.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识极为密切, 是高考命题的热点.

.. 导. 学 固思

问题1

判断或证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有:

(1) 观察法 ; (2)图像法(即通过画出函数图像,观察图像,确定单调区间);

(3)定义法,其过程是:作差——变形——判断符号,其中难点
是变形.

.. 导. 学 固思

问题2 复合函数的单调性的判断:复合函数f[g(x)]的单调性与构

成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数 单调性 增 增 减 减

u=g(x)

y=f(u)
y=f[g(x)]













即有结论:“同增异减”.

.. 导. 学 固思
单调函数经运算后,所得函数单调性的规律:
问题 3:单调函数经运算后,所得函数单调 性的规律: ①若 f(x),g(x)均为增(减)函数,则 f(x)+g(x)在公共定义域上为 增(减) 函数; ②若 f(x)为增(减)函数,则-f(x) 为 减(增)函数; ③若 f(x)>0,且 f(x)为增函数,则 f(x)为 增 函数,
1 为 f (x )

减 函数.

.. 导. 学 固思
问题4 (一) 函数最大值的定义:

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M . 那么,称M是函数y=f(x)的最大值.函数最大值的几何意义:函数 最高点 图像上 的纵坐标. (二)函数最小值的定义: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1) 对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2) 存在x0∈I,使得f(x0)=M . 那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函 数图像上 最低点 的纵坐标.

.. 导. 学 固思

1

若函数y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函数,那么( C ). A.b>0 B.b<0 C.m>0 D.m<0

【解析】函数y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函数,则其图像应呈上

升趋势,所以m>0,故C正确.
2

已知函数f(x)=8+2x-x2,则( D ). A.f(x)在(-∞,0)上是减函数 C.f(x)是增函数 B.f(x)是减函数

D.f(x)在(-∞,0)上是增函数

【解析】由于函数f(x)=8+2x-x2=-(x-1)2+9,其图像是开口向下 的抛物线,对称轴为x=1,结合其图像可知,该函数的递增区间是(-

∞,1],递减区间是(1,+∞),据此可知,D正确.

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3.函数 y= 在区间[2,6]上的最大值 x -1 2 是 ,最小值是 .
【解析】(法一)设 2≤x1<x2≤6,则有 f(x1)-f(x2)=
2 x 1 -1 x 2 -1

2

-

2

=

2[(x 2 -1)-(x 1 -1)] (x 1 -1)(x 2 -1) 2 x -1

=

2 (x 2 -x 1 )

(x 1 -1)(x 2 -1)

.

∵2≤x1<x2≤6,∴x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0. ∴f(x1)>f(x2),即函数 y= ∴当 x=2 时,函数 y= 当 x=6 时,函数 y=
2 x -1 2 x -1

在区间[2,6]上是减函数.

在区间[2,6]上取得最大值 f(2)=2;
2 5

在区间[2,6]上取得最小值 f(6)= .

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(法二)利用变换法画出函数 y=
2

2

x -1

的图像,只取

在区间[2,6]上的部分.观察可得函数的图像是下降 的.∴当 x=2 时,函数 y= 值 f(2)=2; 当 x=6 时,函数 y= f(6)= .
5 2 2 x -1 x -1

在区间[2,6]上取得最大

在区间[2,6]上取得最小值

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4

已知定义域在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(-x)=f(x),在(0,+∞)上是增函数,且 f(x)<0,则 F(x)=
1 在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证 f (x )

明你的结论.
【解析】任取 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2<0, 则-x1>-x2>0, 因为 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(x)<0, 所以 f(-x2)<f(-x1)<0, 又因为 f(-x)=-f(x),所以 f(-x2)=-f(x2),f(x1)=-f(x1), 所以 f(x2)>f(x1)>0,则 F(x1)F(x2)=
f (x 2 )-f (x 1 ) f (x 1 )f ( x 2 ) 1

>0,即 F(x1)>F(x2). 在(-∞,0)上是减函数.

故 F(x)=

f (x )

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复合函数的单调性 求函数y=(x2-2x-3)3的单调区间.
【解析】令u=x2-2x-3=(x-1)2-4,则y=u3, 根据复合函数单调性判定方法知:

当x<1时,u是关于x的单调递减函数,又y=u3是关于u的单调递增函数,
∴y=(x2-2x-3)3在(-∞,1)上是单调递减函数;

.. 导. 学 固思

当x>1时,u是关于x的单调递增函数,又y=u3是关于u的单调递增

函数,
∴y=(x2-2x-3)3在(1,+∞)上是单调递增函数. ∴y=(x2-2x-3)3的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为 (1,+∞).

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利用单调性求最值

已知函数 y=f(x)(x∈R)为减函数,对任意 m、n∈R 总有 f(m)+f(n)=f(m+n),且当 x>0
2 时,f(x)<0,f(1)=- .求 3

f(x)在[-3,3]上的最值.

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【解析】∵f(x)在R上为减函数,[-3,3]?R,

∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,
故f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3), f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+f(1)=2f(1)+f(1)=3f(1)=-2. m=n=0得,f(0)+f(0)=f(0)可得f(0)=0.m=-3,n=3时,f(-3)+f(3)=f(0), ∴f(-3)=-f(3)+f(0)=2. 故f(x)max=2,f(x)min=-2.

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抽象函数的单调性 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:①当x>1时,f(x)<0; ②对任意正实数x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y),求证:f(x)在

(0,+∞)上是递减函数.

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【解析】设 x1、x2∈(0,+∞),且 x2>x1, 则 2 >1,于是由①知,f( 2 )<0.
x1 x1 x x x2 x1 x2 x1

又由②知,f(x2)=f( ·x1)=f( )+f(x1), ∴f(x2)-f(x1)=f( 2 )<0,即 f(x2)<f(x1),
x1 x

∴f(x)在(0,+∞)上是递减函数.

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求函数 y= + + 的单调区间.
【解析】令 u=x +2x+1=(x+1) ,则 y= u, 当 x<-1 时,u 为单调递减,y= u为单调递 增,∴y= x 2 + 2x + 1在(-∞,-1)上单调递减, 当 x>-1 时,u 为单调递增,y= u为单调递 增,∴y= x 2 + 2x + 1在(-1,+∞)上单调递增, ∴y= x 2 + 2x + 1的单调递减区间为(-∞,-1), 单调递增区间为(-1,+∞).
2 2

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求函数 小值.

y= 在区间[1,2]上的最大值和最 -

【解析】任取 x1,x2,且 1≤x1<x2≤2,则 f(x1)-f(x2)= =
x2 1 x 1 -3 x 2 -3 (x 2 -x 1 )[3(x 1 +x 2 )-x 1 x 2 ] (x 1 -3)(x 2 -3)

-

x2 2

=

2 2 2 x2 1 x 2 -3x 1 -x 1 x 2 +3x 2

(x 1 -3)(x 2 -3)

.

因为 1≤x1<x2≤2,所以 2<x1+x2<4, 即 6<3(x1+x2)<12, 又 1<x1x2<4,x2-x1>0, 故 f(x1)-f(x2)>0, 所以函数 y=
1 x2 x -3

在区间[1,2]上为减函数,

ymax=f(1)=- ,ymin=f(2)=-4.

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定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且f(1-a)+ f(1-a2)<0,若f(x)是(-1,1)上的减函数,求实数a的取值范围.
【解析】利用单调性及 f(-x)=-f(x),脱去 f(12 a)+f(1-a )<0 中的函数记号“f”. 2 2 由 f(1-a)+f(1-a )<0,得 f(1-a)<-f(1-a ), 2 ∵f(-x)=-f(x),x∈(-1,1),∴f(1-a)<f(a -1), 又 f(x)在(-1,1)上为减函数,则 -1 < 1-a < 1, -1 < a2 -1 < 1, 1-a > a2 -1, 解得 0<a<1,故实数 a 的取值范围是(0,1).

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1.已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小,则它的 图像过( C ). A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限
D.第二、三、四象限
【解析】由题知y是减函数,∴k<0,-k>0,∴图像经过第一、二、四象限.

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2.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)上是增函数, 则实数a的取值范围是( C ). A.a≤3 B.a≤-3 C.a≥-3 D.a≤5

【解析】对称轴x=1-a,对称轴与区间端点满足1-a≤4,

所以a≥-3.

3.已知 f(x)=ax2-3ax+a2-1(a<0),则 f(3), 3 3 f(-3),f( )从小到大的顺序是f(-3)<f(3)<f( ) .
2

2

【解析】增区间为(-∞, ),减区间为[ ,+∞),
2 2

3

3

所以 f(-3)<f(3)<f( ).
2

3

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4.已知函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),且在(-2,2) 上单调递增.若 f(2+a)+f(1-2a)>0,求 a 的取值 范围.
【解析】∵f(2+a)+f(1-2a)>0, ∴f(2+a)>-f(1-2a).又∵f(-x)=-f(x), ∴f(2+a)>f(2a-1), 由于 f(x)在(-2,2)上单调递增, -2 < 2 + a < 2, 1 ∴ -2 < 2a-1 < 2, 解得- <a<0. 2 2 + a > 2a-1, ∴a 的取值范围是(- ,0).
2 1

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