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2013年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷


2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
考试时间:2013 年 9 月 14 日上午 9::0——11:30 注意:1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 2.请用钢笔,签字笔或圆珠笔作答; 3.书写不要超过装订线; 4.不得使用计算器; 一.填空题(每题 8 分,共 64 分) 1.函数 f (x) ? | x +1|+| x -1|+ 4 - x 2 的

值域是 2.方程 sin(2013 兀 x)= x 2013 的实数根为 3.化简 sin 12? sin 48? sin 54? =(用数字作答) 4.设数列{ a n }满足 a1 ? a 2 ? 1 , a n ? 3a n ?1 ? a n ? 2 (n ? 3) ,则 a 2013 ?
? ? 2 ? AP ? ( AB ? AC ) 5 5.设Δ ABC 的外接圆圆心 P 满足 ,则 cos ?BAC = z ?1 6.设复数 z=x+yi 满足 的实部和虚部之比为 3 , 其中 i 是虚数单位, z ?1 y x,y ? R ,则 的最大值为 x

7.设 ?1 ? x ? x

2 150

?

= ? ck x k ,其中 c 0 ,..., c300 是常数,则 ? c3k =
k ?0 k ?0

300

300

8.随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为 二.解答题(第 9-10 每题 21 分,第 11-12 题每题 22 分,共 86 分) 9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧面长为 2,求其体积和内切球的半径.

10.求所有函数 f : R ? R ,使得对任意的 x,y 都有
f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 2 xy且x 2 ? x 2 ? f ( x) ? x 2 ? x 2
1 1

11.设 a,b,c 是不全为 0 的实数, F= 求

ab ? bc ? c 2 的取值范围, a,b,c 分别 a 2 ? 2b 2 ? 3c 2

满足什么条件时,F 取最大值和最小值?

2 (1 ? an ?1) a1 ? 1, a2 ? 2, an ? (n ? 3) 12.设数列{ an }满足 an ? 2

(1)求数列{ an }的通项公式; (2)求证:对任意的正整数 k, a2 k ?1 和
a2k 都是整数. 2


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