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角平分线的性质经典教学课件


想一想:
1、假如现在我市新开发区有三个居民小区, 要建一所学校,使它到三个小区的距离相等, 你能画出学校所在的位置吗? (如下图)
A. .B

.C

2、有三条互相交叉的道路,要在道路的附近 建一座加油站,使加油站的位置到三条路的距 离相等,加油站应建在哪里呢? (如图)

L1 L2

L3

(1)在一张纸上任意画一个角∠AOB, 沿角的两边剪下,将这个角对折,使角的两边重合. (2)在折痕(即角平分线) 上任意取一点C; (3) 过点C折OA边的垂线, 其中点D是 得到新的折痕CD, 折痕与OA的交点,即垂足. O B E C C D A A

新的折痕与OB 的交点为E . (4) 将纸打开,

B B

A B

1、在上述操作过程中,你发现了那些相同的线段? 说说你的理由。
2、在角平分线上另取一点,再试一试.
A M D O E N B
● ●

C

P

A

定理:在角的平分线上 的点到这个角的两边的 距离相等
O

D

P

E

B

几何语言:∵P是∠BOA的平分线 PD⊥AO于D,PE⊥OB于E ∴PD=PE(在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等)

下列两图中,能表示角的平分线上的一点P到角 的边上的距离的是( )
N
M

P A

P A

练习1
D A

(1)已知:如图,OC平分∠AOB, CD⊥AO于D,CE⊥OB于E,若 CD=3,则CE=( ) 3
BD平分∠ABC交AC于D,若BD=5,

C O E B

(2)已知:如图,△ABC中∠C=90° BC =4,则点D到AB的距离为( 3) (3)已知:如图,△ABC中, BD平分 ∠ABC交AC于D,若BD=5, BC =4, DC=3,则点D到AB的距离为( 3) A

B

D

C

练一练

A

2cm
O P


B

已知:点P为∠AOB的角平分线上的一 点,它到OA的距离为2cm,那么它到 2cm OB的距离是__________________。

练一练

如图,在 Rt?ABC 中, 是?ABC 的平 BD DE 与 DC 相 分线, ? AB ,垂足为 E , DE 等吗?为什么? A
E D B C

答: DE与DC相等。 ∵BD是∠B的平分线,并且DE⊥AB,垂 足是E,DC ⊥ BC,垂足是C。 ∴DE=DC 理由:角的平分线上的点到这个角的 两边距离相等。

B

例1 已知:如图,点E是∠BAC平 分线上一 点,EB⊥AB,EC⊥AC, B,C是垂足 求证:∠EBC=∠ECB
D A C

E

证明:∵ E是∠BAC平分线上一 点 EB⊥AB,EC⊥AC

∴EB=EC (角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等) ∴∠EBC=∠ECB(在一个三角形中,等边对等角)

试一试

如图,已知△ABC中, AD平分∠BAC, 且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 别是E、F,∠B与∠C相等吗?为什么? 解: AD平分∠BAC ∵

DE⊥AB,DF⊥AC ∴ DE=DF ∵ BD=CD ∴ Rt△BDE ? Rt △CDF ∴ ∠B= C ∠

用一用

如图,直线a,b,c表示三条相交叉的公路,A、B, 表示公路b 与 c 、a与 c的交叉点.若在三条公路 围成的区域内修建一处加油站,使加油站到三条 公路a,b,c的距离相等,则加油站应建在何处? F a

C P

E b

B

A

c

综合应用

某一个星期六,二十一中 初一年级的同学参加义务劳 动,其中有四个班的同学分 别在M、N两处参加劳动, 另外四个班的同学分别在道 路AB、AC两处劳动,现要 在道路AB、AC的交叉区域 A 内设一个荼水供应点P,使P 到两条道路的距离相等,且 使PM=PN,请你找出点P的 位置,并说明理由。

B
P

· M C

· N

逆定理: 到一个角的两边的距离相等的点,在

这个角的平分线上
几何语言:∵PD=PE
PD⊥AO于D,PE⊥OB于E ∴OP是∠BOA的平分线
D A

P

O

E

B

例2 已知:如图,DB⊥AB,DC⊥AC,B,C

B

是垂足,DB=DC
求证:DA平分∠BDC 证明:∵ DB⊥AB,DC⊥AC
A DB=DC ∴DA平分∠BAC(到一个角的两边 的距离相等的点,在这个角的平分线上) ∴∠BAD=∠DAC

D

∵∠B=∠C=90° ∴∠BDA=90 ° -∠BAD ∠ADC=90 ° -∠DAC ∴∠BDA=∠ADC(等角的余角相等) 即DA平分∠BDC

C

总结:
(1)定理:角的平分线上的点到 这个角的两边的距离相等 (2)逆定理:到一个角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上 (3)角的平分线的性质定理和逆定理 给证题提供了新方法 (4)应用角平分线的性质定理和逆定理 解题要注意由三个条件得出相应的结果

(5)角的平分线是到角的两边的距 离相等的所有点的集合.

1、 如图,DE⊥AB,DF⊥BC,垂 足分别是E,F, DE =DF, ∠EDB= 60°,则 ∠EBF= 60

A E

C D

度,BE= BF 。

B F C

2、 如图,AB∥CD, ∠BAC 与 ∠DCA 的平分线交于点O,则O到AB的距离等 于( C ) (A)OA (B)OC
C

A B O D

(C)O到CD 的距离 (D)不能确定


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