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概率论§1.2 古典概型-§1.3 概率的定义


§1.2 古典概型
用概率的统计定义来确定某一事件A 用概率的统计定义来确定某一事件 的概率 P(A),往往要进行大量的试验。而且还保证 ,往往要进行大量的试验。 不了得到P(A)的准确值; 的准确值; 不了得到 的准确值 在某些特殊情况下, 在某些特殊情况下,根据问题本身所具有的 某种“对称性” 分析事件本身的特点, 某种“对称性”,分析事件本身的特点,就 可以直接计算其概率。 可以直接计算其概率。这就是接下来要讲的 古典概型和几何概型。 古典概型和几何概型。

一、古典型随机试验的特征
如果随机试验满足下述两个条件: 如果随机试验满足下述两个条件: (1)(有限性) 样本空间只有有限个样本点; (有限性) 样本空间只有有限个样本点 有限个样本点; (2)(等可能性)每个样本点出现的可能性相同。 (等可能性)每个样本点出现的可能性相同 可能性相同。 则称它为古典型随机试验,简称古典概型。 则称它为古典型随机试验,简称古典概型。 古典概型

比如: 足球比赛中扔硬币挑边; 比如 足球比赛中扔硬币挑边 掷骰子得到的点数。 掷骰子得到的点数。

古典概型的意义
古典概型在概率论中占有重要意义。 古典概型在概率论中占有重要意义。 (1)它简单,对它的研究有助于直观地理解概率论 )它简单, 中的许多基本概念; 中的许多基本概念; (2)它在理论物理和实际问题中有重要应用。 )它在理论物理和实际问题中有重要应用。 例如统计物理学、 例如统计物理学、产品质量的抽样检查等

二、概率的古典定义与实例
定义2 定义 若在某随机现象的试验中共有n个等可能的样 若在某随机现象的试验中共有 个等可能的样 本点,而随机事件A是由其中的 是由其中的m 本点,而随机事件 是由其中的 (0≤m≤n)个样本 个样本 点所组成,则定义事件A的概率为 的概率为: 点所组成,则定义事件A的概率为:

m = A所含的样本点的个数 P( A) = n 样本点总数

古典定义与统计定义是一致的
设古典型随机试验的样本空间 Ω={ω1,ω2,...,ωn}, A是含有 个样本点的事件,A={ωi1,ωi2,...,ωim}. 是含有m个样本点的事件 是含有 个样本点的事件, ={ 由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同, 由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,而 事件的统计概率是反映事件发生的可能性大小的度 故各个样本点的统计概率应相等, 量,故各个样本点的统计概率应相等,即 P({ω1})= ω2})=...=P({ωn}) ({ })=P({ =...= 由统计概率的性质可得

1 = P (? ) = ∑ P (ω i ) = nP (ω k ), 即
i =1

n

1 P (ω k ) = , k = 1,2, L , n, n
从从

m P ( A) = ∑ P (ω ik ) = . n k =1
这说明事件A的统计概率与古典概率是相等的。 这说明事件 的统计概率与古典概率是相等的。

m

注意: 注意
(1)古典概型的判断方法(有限性 、等可性); 古典概型的判断方法( 等可性) 古典概型的判断方法 (2) 古典概率的计算步骤: 古典概率的计算步骤: 理解试验,分析什么是样本点; ①理解试验,分析什么是样本点 求出样本空间与随机事件中的样本点数; ②求出样本空间与随机事件中的样本点数 列出比式进行计算。 ③列出比式进行计算。

将一颗均匀的骰子掷两次, 例7 将一颗均匀的骰子掷两次,观察其先后出现的点 表示事件“ 数。设A表示事件“两次掷出的点数之和为 ,B表示 表示事件 两次掷出的点数之和为5”, 表示 事件“两次掷出的点数中一个恰是另一个的两倍” 事件“两次掷出的点数中一个恰是另一个的两倍”, 试 求P(A)和P(B)。 和 。 解: 随机试验的样本空间为: 随机试验的样本空间为: ?={(i, j) | i, j=1,2,3,4,5,6} 表示“ 其中 (i, j)表示“第一次掷出的点数为 , 第二 表示 第一次掷出的点数为i, 次掷出的点数为j 这一样本点 这一样本点。 次掷出的点数为 ”这一样本点。 个样本点。 ?中包含6×6=36个样本点。 中包含6 6=36个样本点

且由骰子的对称性知 且由骰子的对称性知, 每个样本点发生的可能 性相同。 性相同。

A={(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)} B={(1,2), (2,1), (2,4), (4,2), (3,6), (6,3)} 由定义,可得: 由定义,可得:

4 1 P ( A) = = , 36 9 6 1 P(B) = = . 36 6

注意: 注意:
计算古典概型中事件A的概率时, 计算古典概型中事件 的概率时,如果样本 的概率时 点较多或者问题比较复杂,一般不再将? 点较多或者问题比较复杂,一般不再将?中的 样本点全列出来,而只需分别求出? 样本点全列出来,而只需分别求出?和A中所 中所 包含的样本点的个数,再由定义求出概率。 包含的样本点的个数,再由定义求出概率。 排列与组合的知识 这常常需要利用排列与组合的知识。 这常常需要利用排列与组合的知识。

排列与组合
排列: 不放回地) 排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放回地) 不放回地 按一定的次序排成一排不同的排法共有

A = n( n ? 1)L( n ? m + 1)
m n

全排列: 全排列:

Pnn = n!

可重复排列: 个不同的元素中可重复地取出m 可重复排列:从n个不同的元素中可重复地取出 个不同的元素中可重复地取出 个排成一排, 不同的排法有n 个排成一排, 不同的排法有 m 种。

组合: 组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不 不 回地)组成一组, 放 回地)组成一组, 不同的分法 共有

? n? n! C =? ?= ? m ? m! ( n ? m )! ? ?
m n

加法原理:完成一件事情有 类方法, 加法原理:完成一件事情有n 类方法,第 i 类 种具体的方法, 方法中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情 共有 m1+m2+…+mn 种不同的方法 乘法原理:完成一件事情有n 个步骤,第 i 个 乘法原理:完成一件事情有 个步骤, 步骤中有m 种具体的方法, 步骤中有 i 种具体的方法,则完成这件事情 共有 m1×m2×…×mn种不同的方法 ×

甲袋中有3只白球 只红球 只黑球 只白球, 只红球, 只黑球.乙袋 例2 甲袋中有 只白球 7只红球 15只黑球 乙袋 中有10只白球 只红球 只黑球 只白球, 只红球, 只黑球, 中有 只白球 6只红球 9只黑球 现从两袋中 各取一球, 求两球颜色相同的概率。 各取一球 求两球颜色相同的概率。 事件“取得的两球颜色相同” 解: 设A:事件“取得的两球颜色相同” 从甲、乙两袋中各取一球, 从甲、乙两袋中各取一球,每种取法为一 各样本点的出现是等可能的, 各样本点的出现是等可能的, 样本点, 样本点, 样本点总数为25× 。 样本点总数为 ×25。

从两袋分别取得白球的取法有3× 种 从两袋分别取得白球的取法有 ×10种, 分别取得红球有7× 种 分别取得红球有 ×6种, 分别取得黑球为15× 种 分别取得黑球为 ×9种, 则从甲、乙两袋取得同颜色球的取法有 则从甲、 3×10+7×6+15×9种 × + × + × 种 故
P ( A) = 3 × 10 + 7 × 6 + 15 × 9 = 207 25 × 25 625

件同一种商品, 件次品, 例3 有50件同一种商品 其中有 件次品 从这 件同一种商品 其中有5件次品 从这50 件商品中, 任取出3件 件商品中 任取出 件. 恰好取到2件次品的概率 求: (1) 恰好取到 件次品的概率 (2) 至少取到一件次品的概率

取到2件次品 : 取到 件次品” 解: (1) 令A: “取到 件次品” 则 m=C C
2 5 1 45

2 1 C 5 C 45 故 P ( A) = m = ≈ 0.023 3 n C 50

(2) 令B: “取出的3件商品中有次品” 取出的3 : 取出的 件商品中有次品” 3 全部是次品: 全部是次品: m1 = C 5 恰好有2件次品: 恰好有2件次品:m 2 = C C
2 5 1 45

恰好有1件次品:m 3 = C C 恰好有1件次品:
1 5

2 45
1 45 1 5 2 45

共有: 共有:

m =C +C C +C C
3 5 2 5

m ≈ 0.276 P( B) = n

袋中有a个红球 个红球, 个白球 个白球, 例4 袋中有 个红球,b个白球,现在把球随机地一 个个摸出来,求第k次摸出的一个球是红球的概率 个个摸出来,求第 次摸出的一个球是红球的概率 (1≤k≤a+b). ) 表示事件“ 次摸出的一个球是红球” 表示事件 次摸出的一个球是红球 解: 以A表示事件“第k次摸出的一个球是红球” 把a个红球和 个白球看作是不同的, 个红球和b个白球看作是不同的 个红球和 个白球看作是不同的, 若把摸出的球依次放在排列成一条直线的 a+b个位置上,则可能的排法相当于把 个位置上, + 个位置上 则可能的排法相当于把a+b 个元素全排列。 个元素全排列。将每一种排列方法看成一 个样本点,则各个样本点的出现等可能的, 个样本点,则各个样本点的出现等可能的, 样本点的总数是( 样本点的总数是(a+b)!

下面求A所包含的样本点个数。 下面求 所包含的样本点个数。 所包含的样本点个数 由于第k次摸得红球有 种取法, 次摸得红球有a种取法 由于第 次摸得红球有 种取法,另外 a+b-1 次 摸球相当于a+b-1个球进行全排列,有(a+b-1)!种方 个球进行全排列, 摸球相当于 个球进行全排列 种方 种包含的样、 法。故A种包含的样、本点数为 × (a+b-1)! 种包含的样 本点数为a× 于是

a × (a + b ? 1)! a P ( A) = . = (a + b)! a+b
这个结果与k无关,与我们日常生活中的经验 这个结果与k无关, 是一致的。例如体育比赛中进行抽签时, 是一致的。例如体育比赛中进行抽签时,各个球 队机会均等,与抽签的先后顺序无关。 队机会均等,与抽签的先后顺序无关。

古典概率的性质
1.(非负性)对于任意事件 ,有 0≤P(A)≤1; (非负性)对于任意事件A, ≤ ≤ 2.(规范性) 必然事件 的概率等于 ,即 (规范性) 的概率等于1, P( )=1; 3.(有限可加性)若事件 1,A2,...,Ak两两互不相容,则 (有限可加性)若事件A 两两互不相容, P(A1∪A2∪... ∪Ak)=P (A1)+P (A2)+...+P (Ak)

§1.3 几何概型与概率的定义
概率的古典定义是在样本点个数有限且各个样本 点的出现具有等可能性的情况下给出的 在有些问题中,样本点的个数是无穷多个, 在有些问题中,样本点的个数是无穷多个,古典 定义不再适用, 定义不再适用,需要将其定义进一步推广 例如, 例如, 在射靶, 在射靶,飞镖中 射中阴影部分的概率

S阴 P= S整

几何型随机试验及其特征
若一个随机试验可归结为: 若一个随机试验可归结为: 向某可度量区域?内投掷一点, 向某可度量区域?内投掷一点,落在其中的各 个点是等可能性的,且落在?中任意子区域A的可能 个点是等可能性的,且落在?中任意子区域 的可能 性大小与A的度量 长度、面积、体积等)成正比 而 性大小与 的度量(长度、面积、体积等 成正比, 的度量 长度 成正比 与A的位置与形状无关 的位置与形状无关 则称这个随机试验为几何型随机试验, 则称这个随机试验为几何型随机试验,或称为 几何型随机试验 几何概型。 几何概型。

上面所说的“度量” 注:上面所说的“度量”,指的是有限区间 的长度,可求积平面区域的面积, 的长度,可求积平面区域的面积,可求积空 间区域的体积等,通常用?(?)和?(A)分别表 间区域的体积等,通常用? ? 和 分别表 示区域? 的度量. 示区域?和A的度量 的度量

几何概率的定义
对于几何概型, 对于几何概型,若随机试验的每个样本点是 上的随机点M, 等可能落入区域 上的随机点 ,且A是 中的某 是 个子区域, 点落入A中的概率为 个子区域,则M点落入 中的概率为 点落入 中的概率为:

?(A) A的度量 P(A) = = ?(?) ?的度量
这一概率也称为几何概率。 这一概率也称为几何概率。 几何概率

某人的表停了, 例1 某人的表停了,他打开收音机听电台报 已知电台是整点报时的, 时,已知电台是整点报时的,问他等待报时 的时间短于十分钟的概率。 的时间短于十分钟的概率。
10分钟 分钟

9点 点 P(A)=10/60=1/6

10点 点

两船欲停靠同一个码头, 例2 两船欲停靠同一个码头 设两船到达码头的时间 各不相干, 各不相干,而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能 如果两船到达码头后需在码头停留的时间均为2 的. 如果两船到达码头后需在码头停留的时间均为 小时, 试求在一昼夜内,任一船到达时, 小时 试求在一昼夜内,任一船到达时,需要 等待空出码头的概率。 等待空出码头的概率。 解: 船1 到达码头的时间为 x ,0 ≤ x ≤ 24 设 船2 到达码头的时间为 y ,0 ≤ y ≤ 24 事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头 事件 表示任一船到达码头时需要等待空出码头。 表示任一船到达码头时需要等待空出码头。

?={(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}

Α={(x, y)| (x, y) ∈ ? ,

x? y ≤2

}

24

S? = 24
2

2

SA 24 ?22 ? 11? P(A) = = =1?? ? 2 S? 24 ?12 ?
2

2

24

注意:P(A)=P(B)是否意味着 是否意味着A=B ? 注意 是否意味着
反例: 反例: 在掷骰子试验中, 掷出奇数点} 在掷骰子试验中,记A={掷出奇数点 掷出奇数点 B={掷出偶数点 掷出偶数点} 掷出偶数点 显然, 显然,P(A )=P(B ),但是,A≠B。 ,但是,

注意:概率为 的事件不一定是不可能事件 的事件不一定是不可能事件! 注意:概率为0的事件不一定是不可能事件!

例如 , 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地 刻有[0 上诸数字, 刻有 , 5)上诸数字,在桌面上旋转它,求当它 上诸数字 在桌面上旋转它, 停下来时,圆周上刻度为2的点与桌面接触的 停下来时,圆周上刻度为 的点与桌面接触的 概率等于0,但该事件有可能发生。 概率等于 ,但该事件有可能发生。

注意: 概率为1的事件不一定是必然事件 的事件不一定是必然事件! 注意: “概率为 的事件不一定是必然事件!”
如图,设试验E 如图,设试验 为“ 随机地向边 长为1 的正方形内黄、 长为1 的正方形内黄、蓝两个三 角形投点” 事件A为 点投在黄、 角形投点”,事件 为“点投在黄、 蓝两个三角形内” 蓝两个三角形内”,求 P ( A ) 易知, 易知,P(A)=1 0

Y 1

x 1 但由于点可能投在正方形的

对角线上, 所以事件 事件A未必一 对角线上, 所以事件 未必一 定发生

几何概率的性质
0 ≤ P(Α) ≤ 1 P (? ) = 1
可列可加性: 可列可加性: 设 非负性 规范性

A1 , A2 , K, An K

为可列无限多个两两互不相容事件, 为可列无限多个两两互不相容事件, 则有 ?∞ ? ∞ P?UA ? = ∑P( A ) i? i ? ? i=1 ? i=1

概率公理化定义的提出
前面分别介绍了统计概率定义、 前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何 概率的定义,它们在解决各自相适应的实际问题中, 概率的定义,它们在解决各自相适应的实际问题中, 都起着很重要的作用, 都起着很重要的作用,但它们各自都有一定 局限性. 均要求等可能性 局限性 —均要求等可能性 为了克服这些局限性, 为了克服这些局限性,1933年,俄国数学家柯尔莫 年 哥洛夫在综合前人成果的基础上, 哥洛夫在综合前人成果的基础上,抓住前述概率的 共有特性,提出了概率的公理化定义 概率的公理化定义, 共有特性,提出了概率的公理化定义,为现代概率 论的发展奠定了理论基础。 论的发展奠定了理论基础。

概率的公理化定义
是随机试验, 是它的样本空间。对于E的 设E是随机试验, 是它的样本空间。对于 的 是随机试验 每一个事件A对应着一个实数 记为P(A),如果 对应着一个实数, 每一个事件 对应着一个实数,记为 , 它满足下列条件,就称P(A)为事件 的概率: 为事件A的概率: 它满足下列条件,就称 为事件

(1)非负性:对任一事件A, (1)非负性:对任一事件 ,有0≤P(A) ≤1; 非负性 (2)规范性: ? (2)规范性:P(?)=1; 规范性

(3)可列可加性:对于可列个互不相容的事件 可列可加性: 可列可加性 A1,A2, …, Ak ,…
?∞ ? ∞ P? UA ? = ∑P( A ) k? k ? ? k=1 ? k=1

由概率的公理化定义可以得到下 面的一些性质。 面的一些性质。

概率的性质
(1) P(φ)=0,其中 为不可能事件; 为不可能事件; ,其中φ为不可能事件 注意: 注意:其逆不一定成立 (2) 有限可加性:对于两两互不相容的事件 有限可加性: A1,A2,…,An,有 有 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 特别的, 则有P(A+B)=P(A)+P(B) 特别的,若AB=φ,则有 则有

(3) 事件差的概率:对于事件 和B,如果 包 事件差的概率:对于事件A和 ,如果A包 含在B中 含在 中,则有 P(B-A)=P(B)-P(A); ; 单调不减性: 单调不减性:P(B)≥P(A) 一般的,对于任意两事件 , 均成立 一般的,对于任意两事件A,B均成立 P(B-A)=P(B)-P(AB)

B

A

(4) 加法公式:对于任意两事件 和B,有 加法公式:对于任意两事件A和 , P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) ∪

B

A

推论
(1)

P( A) = 1 ? P( A)

(2) 一般加法公式:对任意 个事件 A1,A2,…,An, 对任意n个事件

P ( U Ak ) = S1 ? S 2 + S 3 ? L + ( ?1) n?1 S n
k =1

n

其中 S1 = ∑ P ( Ak ) S 2 =
k =1

n

1≤ i < j ≤ n

∑ P( A A )
i j

n

S3 =

1≤ i < j < k ≤ n

∑ P( A A A )
i j k

...

Sn=P(A1A2...An)

特别的有 P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB) ∪ ? P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) ∪ ∪ ?P(AB)?P(AC)?P(BC) ? ? +P(ABC) 互斥时, 当A与B互斥时 与 互斥时 P(A∪B)=P(A)+P(B) ∪

课堂练习 1. P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6, 求 , , , P(A-B)。 解:P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以 2. P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3

P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P( -AB)。 , , 。

解:P( -AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)] =1-0.7+0.3=0.6

设事件A、 的概率分别为 的概率分别为1/3和 , 例15 设事件 、B的概率分别为 和1/2,求 的值: 在下列三种情况下 P ( A B ) 的值: 互不相容; (1) A与B互不相容; 与 互不相容 包含在B中 (2) A包含在 中; 包含在 (3) P(AB)=1/8。 。 A与B互斥 解:(1) A与B互斥 ? B ? A ? A B = B (2) A?B ? P ( A B ) = P ( B ? A ) ? = 1? 1 = 1 =P(B)?P(A) 2 3 6 B A ?
? P ( A B) = P ( B) = 1 2

A ? B

(3) P(AB)=1/8
B = AB U A B 且 AB I A B = φ



P ( B ) = P ( AB ) + P ( A B ) ? P ( A B ) = P ( B ) ? P ( AB ) = 1 ? 1 = 3 2 8 8

A ?

B

10到99的整数中随机地取一个数 的整数中随机地取一个数, 例16 在10到99的整数中随机地取一个数,求取 到的整数既不能被2整除,又不能被3整除的概率。 到的整数既不能被2整除,又不能被3整除的概率。 解: 设A:取到的整数能被2整除 :取到的整数能被2 B:取到的整数能被3整除 :取到的整数能被3 则所求概率为: 则所求概率为:

P ( A B ) = P( A U B)

=1?P(A)?P(B)+P(AB) ? ?

一个数同时能被2 一个数同时能被2和3整除 相当于该数能被6 相当于该数能被6整除 10到99这90个数中 个数中: 10到99这90个数中: 能被2整除的有45 45个 能被2整除的有45个 能被3整除的有30个 能被3整除的有30个 30 能被6整除的有15个 能被6整除的有15个 15

P ( A) = 45 , P ( B ) = 30 , P ( AB ) = 15 故: 90 90 90
所求为: 所求为:

P ( A B ) = 1 ? 45 ? 30 + 15 = 1 90 90 90 3


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