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2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第4章§4.4


§4.4 数系的扩充与复数的引入

§ 4.4 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入

双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理 1.复数的有关概念

内容

意义

备注
若_______ b=0 ,则a+bi为实 a=0且b≠0 ,则 数,若____________ a+bi为纯虚数

形如_______________ a+bi(a,b∈R) 的数叫 a ,虚部 复数的概念 复数,其中实部为___ b 为____ a=c且b=d a+bi=c+di?____________ 复数相等 (a、b、c、d∈R) a+bi与c+di共轭 共轭复数
? ?a= c ? (a,b, c,d∈ R) ?d=- b ? ?________________________

复平面

建立平面直角坐标系来表示复 实轴上的点都表示实数; 数的平面,叫作复平面,x轴 除了原点外,虚轴上的点 虚轴 叫________ ,y轴叫________ 实轴 都表示纯虚数
2 2 → a + b 向量 OZ 的模r叫作复数z=a+ |z|=|a+bi|=___________ bi的模

复数的模

思考感悟 任意两个复数都能比较大小吗?

提示:不一定,只有这两个复数全是实数时才能
比较大小.

2.复数的几何意义 Z(a,b) 与平面向量 复数 z=a+bi 与复平面内的点_________ → OZ(a,b∈R)是一一对应的关系.

3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i _______________________ ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i _______________________
③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i _______________________

z1 a+bi ?a+bi?? c- di? ④除法: = = z2 c+ di ? c+ di??c- di? ac+bd bc-ad 2 2+ 2 2i c +d c +d = ___________________ (c+di≠ 0). (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3 z2+z1 ∈ C,都有 z1+ z2= ___________ , z1+(z2+z3) (z1+ z2)+ z3= _________________ .

(3)乘法的运算律 z2· z1 交换律), z1· z2=_______(
z1· (z2· z3) ( z 1· z2)· z3=___________ (结合律), z1z2+z1z3 (乘法对加法的分配律). z1(z2+z3)=__________ (4)正整数指数幂的运算律 zmn , zm+n zm· zn=_________ ,(zm)n=_______

z1n· z 2n (z1z2)n=__________( m,n∈N+).

课前热身 1.(2010年高考北京卷)在复平面内,复数6+5i ,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的 中点,则点C对应的复数是( )

A.4+8i
C.2+4i

B.8+2i
D.4+i

答案:C

2.i是虚数单位,i(1+i)等于(

)

A.1+i
B.-1-i

C.1-i
D.-1+i 答案:D

2 3.(2010 年高考湖南卷)复数 等于( 1- i A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1- i

)

答案:A

4.(教材习题改编)已知z1=2-i,z2=a+bi(a,

b∈R),且z1· z2=1,则z2的共轭复数对应的点位
于第________象限.

答案:四
2i 5.复数 3的虚部为________. 2+ i 4 答案: 5

考点探究?挑战高考

考点突破 复数的概念 复数的概念在考试中常出现的类型有:(1)复数概 念的辨析;(2)复数的有关分类;(3)复数相等条件 的应用;(4)复数与复平面的对应关系.对于具体 题目可结合选项一一分析作答.

(1)(2009 年高考江苏卷 )若复数 z1=4+ 29i, z2 =6+9i,其中 i 是虚数单位, 则复数 (z1- z2)i 的实部为 ______. z+2 (2)(2009 年高考陕西卷 )已知 z 是纯虚数, 是实数, 1- i 那么 z 等于 ( ) A. 2i B. i C.- i D.- 2i

例1

i (3)(2010 年高考陕西卷)复数 z= 在复平面上对应的 1+ i 点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【思路点拨】 正确理解复数的概念,即对于 z= a+ bi(a, b∈ R),其实部为 a,虚部为 b.(1)中首先对算式
进行四则运算,化为最简形式,再确定其实部;(2)要 z+ 2 根据 z 是纯虚数,设出 z,代入 ,根据其为实数列 1- i 方程解决; (3)要把 z 化为最简形式,再根据复数的几 何意义求解.

【解析】 (1)因为 (z1- z2)i= (- 2+20i)i=-20-2i, 所以可知复数(z1- z2)i 的实部为- 20. (2)设 z= yi(y∈ R,且 y≠ 0),则 yi+ 2 ?2- y?+?y+ 2? i = ∈ R, 2 1- i ∴ 2+ y= 0,则 y=- 2,∴ z=- 2i,故选 D. i?1- i? 1+ i 1 1 i (3)因为 z= = = = + i, 所以其对 2 2 1+ i ?1+ i??1- i? 1+1 1 1 应的点 ( , )位于第一象限,故选 A. 2 2

【答案】

(1)-20

(2)D

(3)A

【规律小结】

(1)复数的分类: 实数?b=0?

? ? 复数 a+bi(a,b∈R)? ?纯虚数?a= 0? 虚数?b≠0?? ? ? ?非纯虚数?a≠0?
(2)在复平面内,实数全部落在实轴即x轴上,纯 虚数在除原点外的虚轴即y轴上,而其他复数均 在四个象限内.在第一象限a>0,b>0;第二象限 a<0,b>0;第三象限a<0,b<0;第四象限a>0, b<0.

变式训练1

当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-

2)+(m2+3m+2)i, (1)为纯虚数;(2)为实数;(3)对应的点在复平面 内的第二象限内?

2 ? ?lg? m - 2m-2?= 0, 解:(1)若 z 为纯虚数,则? 2 解得 ? ?m +3m+ 2≠ 0.

m= 3.
? ?m -2m- 2>0 (2)若 z 为实数,则? 2 ,解得 m=- 1 或 ? ?m +3m+ 2= 0
2

m=- 2.
2 ? ?lg? m - 2m-2? <0, (3)若 z 的对应点在第二象限, 则? 2 ? ?m +3m+ 2>0.

解得-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3.

复数的代数运算

复数的加减、乘、法运算类似于多项式的加、减
、乘法运算,而复数的除法是通过分母的实数化

转化为复数的乘法运算.

2 例2 (1)(2010 年高考重庆卷 )已知复数 z=1+ i, 则 z - z=________. (2)(2010 年高考广东卷)若复数 z1= 1+ i, z2= 3- i,则 z1· z2= ( ) A. 4+ 2i B.2+ i C. 2+ 2i D. 3+ i

【思路点拨】

运用复数的四则运算法则求解.

2? 1- i? 2 2 【解析】 (1) - z= - (1+ i)= - (1+ i) z 1+ i ?1+ i??1- i? = (1- i)- (1+ i)=-2i. (2)z1· z2= (1+ i)(3- i)=3- i+ 3i- i2= 4+2i.

【答案】

(1)-2i

(2)A

【方法总结】

复数的四则运算类似于多项式的

四则运算,此时含有虚数单位i的看作一类同类项
,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可,将

结果写成a+bi的形式.

变式训练 2 计算: ?- 1+ i??2+ i? (1) ; i3 ?1+2i? 2+ 3?1- i? (2) ; 2+ i 1- i 1+ i (3) 2+ 2; ?1+ i? ?1- i? 1- 3i (4) 2; ? 3+ i? 1+ i 2009 1- i 2009 (5)( ) +( ) . 2 2

?-1+i??2+i? - 3+ i 解:(1) = =-1- 3i. i3 -i ?1+2i? 2+ 3?1-i? -3+4i+3- 3i (2) = 2+ i 2+ i i?2-i? 1 2 i = = = + i. 5 5 5 2+ i 1- i 1+ i 1- i 1+ i (3) + 2+ 2= 2i - 2i ?1+ i? ?1- i? 1+i - 1+i = + =-1. 2 -2

(4) 2= ? 3+ i? ? 3+ i? 2

1- 3i

? 3+ i??- i?

?- i?? 3- i? = = 4 3+ i -i

1 3 =- - i. 4 4 1+ i 2009 1- i 2009 1 2008 (5)( ) +( ) = · (1 + i) + (1 2009[(1 + i) 2 2 ? 2? - i)2008· (1- i)] 1 1004 1004 = [(2i) · (1 + i) + ( - 2i) · (1- i)] 2009 ? 2? 1 = [(1+ i)+(1- i)]= 2. 2

复数运算的几何意义 结合复数的几何意义、运用数形结合的思想,可 把复数、解析几何有机地结合在一起,达到了学 科内的融合,而且解题方法更灵活.

例3 已知复数z满足|z|=1,求|z-(1+i)|的最大

值与最小值.

【思路点拨】

|z|=1?复数z对应的点是以原点

为圆心,1为半径的圆上的点?所求即为圆上的 点到点(1,1)的距离的最大值、最小值.

【解】 法一:因为 |z|= 1,所以 z 是单位圆 x2+y2= 1 上的点, 而 |z- (1+ i)|表示单位圆上的点到(1,1)点的距离. 所以最大值为 ?0-1? 2+?0- 1?2+ 1= 2+ 1, 最小值为 ?0-1? +?0- 1? - 1= 2- 1.
2 2

法二:设 z= x+ yi(x,y∈ R),则 x2+ y2=1, 令 x= cosθ, y= sinθ, 则 |z- (1+ i)|= ?x-1? 2+? y-1? 2 = x2+ y2-2x- 2y+2= 3-2? x+ y? π = 3-2? cosθ+ sinθ?= 3-2 2sin? θ+ ?. 4 ∴ |z- (1+ i)|max= 3+2 2= 2+ 1, |z- (1+ i)|min= 3-2 2= 2- 1.

【规律小结】

(1)复数点与向量的对应关系;

(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离.
(3)|z1-z2|表示两点间的距离,即表示复数z1与z2 对应点间的距离.

变式训练3

实数m取什么值时,复数z=(m2+

5m+6)+(m2-2m-15)i (1)与复数2-12i相等; (2)与复数12+16i互为共轭复数; (3)对应的点在x轴上方;

(4)对应的点在直线x+y+5=0上.

解:(1)根据复数相等的充要条件得 2 ? ?m +5m+ 6= 2,
? 2 ? ?m -2m- 15=- 12.

解之得 m=-1. (2)根据互为共轭复数的定义得 2 ? m ? +5m+ 6= 12,
? 2 ? ?m -2m- 15=- 16.

解之得 m= 1.

(3)根据复数 z 对应点在 x 轴上方可得 m2-2m-15>0, 解之得 m<-3 或 m>5. (4)复数 z 对应的点(m2+ 5m+6,m2-2m- 15)在直线 x + y+5=0 上, 即(m2+5m+ 6)+ (m2- 2m-15)+5=0, - 3- 41 - 3+ 41 解得 m= 或 m= . 4 4

方法感悟

方法技巧
1.对于复数z=a+bi(a,b∈R)必须强调a,b均 为实数,方可得出实部为a,虚部为b.(如例1) 2.复数z=a+bi(a,b∈R)是由它们的实部和虚 部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复

数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复
数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识 它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的 角度分解成两部分去认识.(如例3)

3.复数问题实数化是解决复数问题最基本的也
是最重要的思想方法,其转化的主要依据就是复 数相等的充要条件.基本思路是:设出复数的代 数形式z=a+bi(a,b∈R),由复数相等可以得到 两个实数等式所组成的方程组,从而可以确定两

个独立的基本量.根据复数相等一般可解决如下
问题:①解复数方程;②方程有解时系数的值; ③求轨迹方程问题.(如例3)

4.复数代数形式的运算是复数部分的重点,其 基本思路就是应用运算法则进行计算.复数的加 减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同 类项),复数的乘除运算是复数运算的难点,在 乘法运算中要注意i的幂的性质,区分(a+bi)2= a2+2abi-b2(a,b∈R)与(a+b)2=a2+2ab+b2; 在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分 母同乘以分母的共轭复数),此时要注意区分(a+ bi)· (a-bi)=a2+b2(a,b∈R)与(a+b)(a-b)=a2 -b2,防止实数中的相关公式与复数运算混淆, 造成计算失误.(如例2)

失误防范 1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、 除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过 程. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量

的三角形法则的方向是应注意的问题,平移往往
和加法、减法相结合.

1 3 3.要记住一些常用的结果,如 i、- + i 的有关性 2 2 质等可简化运算步骤提高运算速度.

4.对于两个复数,若不全是实数,则不能比较
大小,在复数集里一般没有大小之分,但却有相

等与不等之分.
5.数系扩充后,数的概念由实数集扩充到复数 集,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不 一定适用了,如绝对值的性质、绝对值的定义、 偶次方非负等.

考向瞭望?把脉高考

考情分析
复数是每年必考的知识点之一,考查重点是复数 的基本概念、复数相等的充要条件以及复数代数 形式的运算.每套高考试卷都有一道小题,并且 一般在前三题的位置上,主要考查对复数概念的

理解以及复数加减、乘除四则运算.

预测2012年高考仍将以复数的基本概念以及复数
代数运算为主要考点,重点考查运算能力及转化 与化归思想.

真题透析


(2010 年 高 考 课 标 全 国 卷 ) 已 知 复 数 z =


3+ i ?1- 3i? 1 A. 4 C. 1

2,

z 是 z 的共轭复数,则 z· z =( 1 B. 2 D. 2

)

【解析】 ∵ z= = = 2= ?1- 3i? - 2- 2 3i - 2?1+ 3i? - ? 3+ i??1- 3i? 2 3- 2i 3- i 3+ i = = ,∴z = , -8 -4 -4 - 2?1+ 3i??1- 3i? 1 ∴ z·z = |z| = , 故选 A. 4
2

3+ i

3+ i

3+ i

【答案】

A

【名师点评】 (1)本题易失误的是: ①对复数的除法, 乘方法则掌握不清,不会运算,导致求错 z;②不知


道 z 是什么符号,导致无从下手;③没有审清题意, 化简完 z ,发现没有选项,再重新算起费工费时.

(2)在复数的除法运算中,共轭复数是一个重要的概 念, 通过它能将分母中的虚数单位 i 化去, 因 (a+ bi)(a - bi)= a2+b2(a, b∈ R),所以复数 z=a+bi 的共轭 复数为 z =a-bi,这与实数中的互为有理化因数类 似,所以在复数的四则运算中,可类比二次根式的运 算,从而更好地掌握共轭复数.

名师预测
1+2i 1.复数 的虚部是( 1+ i 1 A. 2i B. 2 1 C. i 2 3 D. 2 )

1+2i ?1+2i??1-i? 3+i 3 1 解析:选 B. = = = + i,故选 B. 2 2 2 1+ i ?1+ i??1-i?

5 2.复数 在复平面内对应的点位于( i- 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

)

5 5 解析:选 C.因为 =-2-i,所以复数 在复平面 i- 2 i- 2 内对应的点位于第三象限.

3.若复数(1+ai)2(i为虚数单位,a∈R)是纯虚数
,则复数1+ai的模是________.
解析:因为(1+ai)2=1-a2+2ai 是纯虚数,所以 1-a2 =0,a2=1,复数 1+ai 的模为 1+a2= 2.

答案: 2

4.复数z0=5+2i(i为虚数单位),复数z满足z· z0=
5z+z0,则z=________.
5+2i z0 5 解析:由题知 z= = =1- i. 2i 2 z0-5 5 答案:1- i 2

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