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余弦定理(2)


余弦定理(2)
一、教学目标 1.能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题; 2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题,并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角 公式解决这些问题. 二、教学重点,难点 能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题,并能够正确实施边 与角的转化 三、教学过程 (一)复习与回顾 1.正弦定理及其解决的三角形问题 (1)已知两角和任一边(2)已知两边和其中一边的对角 2.余弦定理及其解决的三角形问题 (1)已知三边(2)已知两边一角 (二)例题分析 题型一、利用正、余弦定理判断三角形的形状 例 1.在 ?ABC 中,根据下列条件判断△ABC 的形状 (1) sin A ? 2sin B cos C (2) a ? 2b cos C

(3) a ? b ? c ? ab 且 2cos A sin B ? sin C
2 2 2

(4) b 2 tan A ? a 2 tan B

题型二、余弦定理的综合应用 例 2. (1) AM 是 ?ABC 中 BC 边上的中线,求证: AM ?

1 2( AB 2 ? AC 2 ) ? BC 2 2

变式: (射影定理) 求证: 在 ?ABC 中, (1)a ? b cos C ? c cos B (2) b ? c cos A ? a cos C (3) c ? a cos B ? b cos A

1

(2)(2010 江苏高考)在锐角△ABC 中,

b a tan C tan C ? ? 6 cos C ,求 ? a b tan A tan B

变式:在△ABC 中, c ? 4, b ? 7 ,中线 AD ?

7 ,求边 a 2

例 3 . 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD ? CD , AD ? 10 , AB ? 14 , ?BDA ? 60 , ?BCD ? 135 ,求 BC 的长. D C

A

B

例 4.在长江某渡口处,江水以 5km / h 的速度向东流,一渡船在江南岸的 A 码头出发, 预定要在 0.1h 后到达江北岸 B 码头,设 AN 为正北方向,已知 B 码头在 A 码头的北偏东

150 ,并与 A 码头相距 1.2km .该渡船应按什么方向航行?速度是多少(角度精确到 0.10 , 速度精确到 0.1km / h )?

(四)练习:书第 16 页 练习 (五)小结: 1.正、余弦定理是解三角形的有力工具,要区别两个定理的不同作用,在解题时正确选用; 2.应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式; 3.应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算,还可以判断三角形的形状.
2

余弦定理(2)作业
1、在△ABC 中,若 c ? a ? b ? ab ,则内角 C 等于
2 2 2

2、在△ ABC 中,已知 sinA:sinB:sinC=3:5:7,且周长为 30,则 S? ABC =

3、在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角是

4. 在△ABC 中,三边与面积的关系式: s ?

1 2 (a ? b 2 ? c 2 ) ,则角 C ? 4

5、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 ,A=60°,则 BC 边的长是

6、若一个锐角三角形的三边分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是_______________

7、在△ABC 中,A=600,最大边和最小边的长是方程 3x ? 27 x ? 32 ? 0 的两实根,那么
2

BC 边长等于 8、在 ?ABC 中,根据下列条件判断△ABC 的形状(1)B= 60 , b ? ac
2
?

(2) (a+b+c) (b+c-a)=3bc,且 sinA=2sinBcosC

10、用余弦定理证明;平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。

3

11、已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积。
A B

D

C

12、在如图所示的四边形中,已知 AB ? BD, AC ? CD, AC ? 1, AB ? 2, ?BAC ? 120? , 求 AD 的长。

B D C A

13、在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 为( 3 -1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°方向距离 A 为 2 海里的 C 处有我方一艘辑私艇奉命以 10 3 海里/小 时的速度追截走私船, 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向 逃窜,问辑私艇沿什么方向,才能最快追上走私船?需要多长时间?

D

30o

C

o 75o 45

B

A

思考:△ABC 中,若 a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 则∠C 的度数是
4


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