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数列通项公式的方法教学设计


数列通项公式的方法教学设计
一、教学内容的地位和作用 在高考中数列部分是必考内容,近四年的高考中,2010、2011 年在 17 题的 位置考查了数列的解答题,2012、2013 年均考查了 2—3 道数列的小题,数列部 分在高考中所占分值均在 10—15 分之间,可以说高考对于数列的考查是重点且 难度不大, 是高考中容易得分的部分。而不论是选择题或填空题中对基础知识的 检验, 还是解答题中与数列知识的综合, 抓住数列的通项公式通常是解题的关键。 二教学目标: 知识与技能:1、要求理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式 的求法; 2、掌握并能熟练应用数列通项公式的常用求法:公式法、累加法、累 乘法 、由和求通项以及加数构造等比的方法。 过程与方法: 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法,明确不同的方法 适用不同的前提、形式,使学生形成解决数列通项公式的通法。 情感态度与价值观:感受知识的产生过程,通过方法的归纳,形成事物及知识间 联系与区别的哲学观点。 三、教学重难点: 重点:数列通项公式的常见求法 难点: 加数构造等比的方法的归纳和应用,以及针对形式的不同恰当选择通项公 式的求法。 四、教学手段与方法 教学采用导学案教学模式,启发、引导、归纳的方法。突出学生的主体地位,充 分发挥学生的学习自主性, 教师引导学生分析例题及变式, 并由学生归纳得到相 应方法适用的形式特点,从而形成解决该类问题的通法,多媒体辅助教学,规范 学生的答题过程。 五、教学过程 (一)考情分析 2012、2013 年均考查了 2—3 道数列的小题,数列部分在高考中所占分值均在 10—15 分之间,可以说高考对于数列的考查是重点且难度不大,是高考中容易 得分的部分。 而不论是选择题或填空题中对基础知识的检验,还是解答题中与数 列知识的综合,抓住数列的通项公式通常是解题的关键。 设计意图: 使学生明确本节教学的重要性, 并为本章的复习打下良好的思想基础。 (二)基础知识梳理 1、数列 ?an ?的常用表示方法: 2、通项公式: 即项 与项数 间的关系。 。 , 。 。

3、等差数列的通项公式:

等比数列的通项公式: 4、递推公式



所谓递推公式即项与项间的关系, 多为相邻两项差或商间的关系 (或为常数或为 与含项数的表达式形式) 。 5、数列 ?an ?的前 n 项和 S n =

S n?1 =

a n 与 S n 的关系:
设计意图:回顾以学习过的知识,从中明确知识体系,发现知识间的联系,为本 节课的教学奠定知识基础。 (三)典例教学 公式法 例 1 (1)已知数列 ?an ?中 a1 ? 1 , an ? an?1 ? 2 ,求 a n (2)已知数列 ?an ?中 a1 ? 1 , a n ? 2a n?1 ,求 a n 设计意图: 掌握等差数列和等比数列的定义及通项公式, 难度较低, 由学生完成, 增加学生的自信。 累加法 例2 已知数列 ?an ?中 a1 ? 3 , an?1 ? an ? n ,求 a n

2 n ?1 变式:已知数列 ?an ?中 a1 ? 1 , an ? an?1 ? 3 ,求 a n

设计意图: 引导学生归纳累加法的使用条件及形式特点,明确其与等差数列的区 别和联系。 小结:累加法求通项,其递推公式往往具有 an ? an?1 ? f (n) 形式。 累乘法 已知数列 ?an ?中 a1 ?
2 a ? n a , n ?1 n ,求 a n n ?1 3

例3

例3

变式:已知数列 ?an ?中 a1 ? 1 , a n ? nan?1 ,求 a n

设计意图: 归纳累乘法的使用条件及形式特点, 明确其与等比数列的区别和联系。 小结:累乘法求通项,其递推公式往往具有 a n ? a n?1 f (n) 形式。 构造法 例4 已知数列 ?an ?中 a1 ? 1 , a n?1 ? 2a n ? 1,求 a n

n 变式:已知数列 ?an ?中 a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2 ,求 a n

设计意图: 感受知识的产生过程,体会知识间的相互联系以及解决办法的衍生过 程,归纳该法的使用条件及形式特点及解决问题的通法。 。 由和求通项法 例5 已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n

? n 2 ? n ,求 an

变式 1:已知数列 ?an ?满足 an ? 5S n ? 3 ,求 a n 变式 1:已知数列 ?an ?中 a1 ? 1 且 an ? 5S n ? 3S n?1 ,求 a n 设计意图:温故而知新,体会基础知识的重要性,由定义产生的方法是必考的内 容,要求重视教材,发散思维。 小结:与数列前 n 项和 S n 相关求通项公式的题型可大致分为两类 (1)给出数列前 n 项和 S n 与项数 n 的关系,可以直接由 S n 和 a n 的关系

a n = S n - S n?1 (n≥2)来求通项公式。
(2)递推关系中含有 S n ,通常是用 S n 和 a n 的关系 a n = S n - S n?1 (n≥2)来求通 项公式,具体来说有两类:一是通过 a n = S n - S n?1 将递推关系转化为项与项的关 系,再根据新的递推关系求出通项公式;二是通过 a n = S n - S n?1 将递推关系转化 为前 n 项和与前 n-1 项和的关系,再根据新的递推关系求出通项公式 a n 。

注意:所求得的通项公式中 n 的范围,并讨论一下不在范围内的项 S1 是否可以

?S n ? S n ?1 a ? 合并,若不能合并,要把通项公式写成分段函数 n ? 的形式。 ?S 1
(四)达标测试: 1、数列 1, ? ,
(A)

1 1 1 , ? , ??? 的一个通项公式为( B 2 3 4



( ?1) n n

( ?1) n ?1 (B) n

( ?1) n (C) n ?1

( ?1) n ?1 (D) n ?1

2、数列 ?an ? 的首项为 3,?bn ? 为等差数列,且 bn

? an?1 ? an (n ? N ? ) ,若 b3 ? ?2 ,

b10 ? 12 ,则 a8 ? ( B
(A)0 (B)3

) (C)8 (D)11

3、已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? n(2n ? 1) ,则过点 P(3, a3 ),Q(4, a 4 )的直 线斜率为( (A)4 A ) (B)
1 4 1 4

(C)-4

(D)- )

4、已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? ln(1 ? (A) 2 ? ln n (B) 2 ? (n ? 1) ln n

1 ) ,则 a n =( A n

(C) 2 ? n ln n

(D) 1 ? n ? ln n

5、已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n 满足 an ? S n S n?1 列 ?an ?的通项公式为

( n ? 2 ),且 a1 ? ?1 ,则数 。

设计意图:巩固当堂所复习的内容,学以致用,体会解觉问题的成功感。 思考: 1、设数列 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且满足 (n ? 1)an?1 ? nan ? an?1an ? 0
2 2

则数列 ?an ?的通项公式为



2、已知数列 ?an ?中, a1 ? 2 , an?1 ? (?1)(an ? 2) ,求数列 ?an ?的通项公式。

3、已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? ? nan ? n(n ? 1)(n ? 2) ,求 a n 设计意图:将所学方法进一步变形,发散思维。 六、板书设计 课题 一、公式法 四、加数构造等比 二、累加法 三、累乘法 五、由和求通项 七、教学反思:数列是高考中必考的内容之一,而研究数列,要通项先行。本节 课只是复习归纳了几种常见的求数列通项公式的方法,可以看到,求数列(特别 是以递推关系式给出的数列) 通项公式的确具有很强的技巧性,与我们所学的基 本知识与技能、基本思想与方法有很大关系,因而在平日教与学的过程中,既要 加强基本知识、基本方法、基本技能和基本思想的学习,又要注意培养和提高数 学素质与能力和创新精神。 这就要求无论教师还是学生都必须提高课堂的教与学 的效率,注意多加总结和反思,注意联想和对比分析,做到触类旁通,将一些看 起来毫不起眼的基础性命题进行横向的拓宽与纵向的深入, 通过弱化或强化条件 与结论, 揭示出它与某类问题的联系与区别并变更为出新的命题。这样无论从内 容的发散,还是解题思维的深入,都能收到固本拓新之用,从而有利于形成和发 展创新的思维。 从本节的教学效果看, 基本的预设目标均已达成, 教学效果明显。


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