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高二文科数学竞赛试题2


高二文科数学竞赛试题
第Ⅰ卷 (选择题)

一、选择题 本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知 sin ? ? (A) ?

2 ,则 cos(? ? 2? ) ? 3
(B) ?

5 3

1 9

(C)

1 9

(D)

5 3

2.如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +?+ a7 = (A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35

3.若集合

A ? {x ?? ? ? x ?? ? ?}, B ? {x

x?? ? ?} x ,则 A ? B ?
B. {x ? ? x ??} D. {x ? ? x ??}

A. {x ??? x ? ?} C.

{x ? ? x ? ?}
8 65 8 65

4.a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于 (A) (B) ? (C)

16 65

(D) ?

16 65

? y ? 1, ? 5.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 6. 若互不相等的实数 a , b , c 成等差数列, c , a , b 成等比数列, 且 a+3b+c=10, 则

a 等于
A.4 B.2 C.-2 D.-4

2 (a ? b) ? c 2 ? 4 ,且 C=60°,则 ab 7.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足

的值为

4 A. 3

B. 8 ? 4 3

C. 1

2 D. 3

1 4 ? 8.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= a b 的最小值是 7 9 A. 2 B.4 C. 2
1? x

D.5

?2 , x ? 1 f ( x) ? ? ?1 ? log 2 x, x ? 1 ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 9.设函数 (A) [ ?1 ,2] (B)[0,2] (C)[1,+ ? ) (D)[0,+ ? )
10. 定义平面向量之间的一种运算“ e ”如下:对任意的 a ? ( m, n) , b ? ( p, q) , 令 .下面说法错误的是 a e b ? mq? mp (A)若 a与b 共线,则 a e b ? 0 (B) a e b ? b e a

e b=?(a e b) (C)对任意的 ? ? R, 有(?a)
2 2 (D) ( a e b) ? ( a ? b) ? a b 2 2

第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.已知 ? 是第二象限的角, tan ? ? 12.

1 ,则 cos? ? ___________. 2

1 1 1 ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

?

1 ? n ? (n ? 1)

13.已知向量 a= ( 3, 1) , b= (0, -1) , c= ( k, 3 ) .若 a-2b 与 c 共线, 则 k=________________. 14. ?ABC 中, B ? 120?, AC ? 7, AB ? 5 ,则 ?ABC 的面积为_________. 15.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为 。

三 .解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分 12 分) 在山顶铁塔上 B 的俯角 处测得地面上一点 ,已知铁塔

A 的俯角 ?
部分高32

? 60 ,在塔底
米,求山高

C


处测得点

A

? ? 45

BC

CD

17. (本小题满分 12 分)
· b ,其中向量 a ? (m, cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2 x,1) , x ? R ,且 y ? f ( x) 的 设函数 f ( x) ? a

图象经过点 ? , 2? . (1)求实数 m 的值; (2)求 f ( x) 的最小正周期. (3)求 f ( x) 在[0,

?π ?4

? ?

? ]上的单调增区间. 2

18.(本小题满分 1 2 分) 已知等比数列 (I)求数列

{an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .

{an} 的通项公式.
1 { } ? log3 an ,求证:数列 bn 的前 n 项和小于-2.
(t 为参数) 解析式中参数 t 的取值范围; ,求参数 t 的取值范围。

(II)设

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

19.(本小题满分 1 2 分)已知函数 (1)写出函数 (2)当 (3)当 的定义域和值域; 时,求函数 时,如果

20.(本小题满分 13分) 已知数列 {an }的前n项和为S n , 且有a1 ? 2,3S n ? 5an ? an?1 ? 3S n?1 (n ? 2). (Ⅰ)求数列 an 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? (2n ? 1)an , 求数列 {bn } 的前 n 项和 21.(本小题满分14分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一 般情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的 函数。当桥上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流 密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时, 车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位: 辆/每小时) f ? x ? ? x.v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)


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