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3.等差数列1


成都铁路工程学校教案
任 课 老 师 班《数学》课 科 目 要 重 难 需 时 目 的 求 点 点 要 2 课时 间 教 类 型 学 过 程 和 内 教研组长批准 程丽霞 2016 年 2016 年

共 月 月

页 日 日

6.2 等差数列及其通项公式 1.理解等差数列的概念; 2.掌握等差数列的通项公式

,并会根据它进行有关计算。 等差数列的概念以及通项公式; 已知 a1、d、n、an 中的 3 个量,用通项公式求出未知量
教 学 单一型 方 法 容 教 学

讲练

(包括时间分配﹑教具使用﹑板书设计等)

组织教学(时间:3 分钟) 清点人数,整顿课堂秩序。 复习旧课(时间: 5 分钟) 观察下列数列,写出通项公式
4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,……;

① ②

3 , 0 , ?3 , ?6 ,……,

对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 1 ; 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 ?3 ; 导入新课: (时间:3 分钟) 上述数列共同特征:从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。 讲授新课(时间:54 分钟) 1.等差数列定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一
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个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或

an?1 ? an ? d (n ? 1) .
2.等差数列的通项公式: 已知等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,求 an .

? 由等差数列的定义: a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d , a4 ? a3 ? d ,……
∴ a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d , a4 ? a1 ? 3d ,…… 所以,该等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d . 说明: 等差数列的单调性:d ? 0 为递增数列,d ? 0 为常数列,d ? 0 为 递减数列。 3.等差中项的概念: (1)如果在 a 与 b 中间插入一个数 A ,使得 a , A ,b 成等差数列,那么 A 应 满足什么条件? 解:由 a , A , b 成等差数列,得 A ? a ? b ? A ,所以 A ?
a?b ,反之成立。 2

(2)定义:如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差 a?b a?b 中项。其中 A ? 。 a , A , b 成等差数列 ? A ? . 2 2 4.等差数列的性质: (1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列。 如: a1 , a3 , a5 , a7 ,……; a3 , a8 , a13 , a18 ,……; (3)在等差数列 ?an ? 中,对任意 m , n ? N ? , an ? am ? (n ? m)d ,
d? an ? am (m ? n) ; n?m

( 4 ) 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 若 m , n , p , q ? N ? 且 m ? n ? p ? q , 则

am ? an ? ap ? aq
5.例题分析: 例 1. (1)求等差数列 8 , 5 , 2 ,……的第 20 项; (2) ?401 是不是 ?5 , ?9 , ?13 ,……的项?如果是,是第几项?
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解: (1)由 a1 ? 8 , d ? ?3 , n ? 20 得 a20 ? 8 ? (20 ?1) ? (?3) ? ?49 (2)由 a1 ? ?5 , d ? ?4 得这个数列的通项公式: an ? ?5 ? 4(n ?1) , 由题意知,本题是要回答是否存在正整数 n ,使得 ?401 ? ?5 ? 4(n ? 1) 成立, 解得 n ? 100 ,即 ?401 是这个数列的第 100 项。 例 2.在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31 ,求首项 a1 与公差 d .
? a1 ? 4d ? 10 解:由题意可知: ? ,解得 a1 ? ?2 , d ? 3 , ? a1 ? 11d ? 31

即这等差数列的首项是 ?2 ,公差是 3 . 例 3.梯形的最高一级宽 33 cm,最低一级宽 110 cm,中间还有 10 级,各级 的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度。 解:用 ?an ? 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列, 由已知得: a1 ? 33 , a12 ? 110 , n ? 12 , 由通项公式得: a12 ? a1 ? (12 ?1)d , 即 110 ? 33 ? 11d , ∴d ? 7, 所以, a2 ? 40 , a3 ? 47 , a4 ? 54 , a5 ? 61 , a6 ? 68 ,

a7 ? 75 , a8 ? 82 , a9 ? 89 , a10 ? 96 , a11 ? 103 .
47 cm, 54 cm, 61 cm, 68 cm, 答: 梯形中间各级的宽度从上而下依次是 40 cm, 75 cm, 82 cm, 89 cm, 96 cm, 103 cm.

例 4.已知数列的通项公式为 an ? pn ? q ,其中 p , q 是常数,且 p ? 0 , 那么这个数列是否一定是等差数列?若是,求它的首项与公差。 解:取数列 ?an ? 中的任意相邻两项 an ?1 与 an ( n ? 2 ) ,

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ?1) ? q] ? p ,
∵ p 是一个与 n 无关的常数,故 ?an ? 是等差数列,且公差是 p , 所以,这个等差数列的首项是 a1 ? p ? q ,公差是 p . 例 5.在 ?1 与 7 中间插入三个数 a , b , c ,使得这 5 个数成等差数列,求 a,b ,c. 解:用 ?an ? 表示这 5 个数所成的等差数列,
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由已知得: a5 ? 7 , a1 ? ?1 , ∴ 7 ? ?1 ? (5 ? 1)d , d ? 2 , 所以, a ? 1 , b ? 3 , c ? 5 . 例 6.在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? 10 , a7 ? 19 ,求 a18 .
? a1 ? 3d ? 10 解: (法一)设首项 a1 ,公差为 d ,则 ? ? a1 ? 6d ? 19

∴ d ? 3 , a1 ? 1 , ∴ a18 ? 1 ? 17d ? 52 . (法二) d ?
a7 ? a4 19 ? 10 ? ? 3 , a18 ? a7 ? 11d ? 52 . 3 3

例 7.①在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a7 ? a8 ? a13 ? 6 ,求 a6 ? a9 . ②在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 ,求 a3 ? a13 的值。 解:①由条件: a6 ? a9 ? a7 ? a8 ? a2 ? a13 ? 3 ; ②:由条件:∵ 2a8 ? a1 ? a15 ? a4 ? a12 ∴ a8 ? ?2 ∴ a3 ? a13 ? 2a8 ? ?4 . 巩固新课 (时间:5 分钟) 能准确叙述等差数列的定义;会求等差数列的公差及通项公式;能用定 义判断数列是否为等差数列。 布置作业(时间:10 分钟) P11 A 组 1-5 题

教 学 反 思

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