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3.2一元二次不等式及其解法(2)


课题:一元二次不等式解法(一) 3.2 一元二次不等式及其解法 制作: 石泉中学 (2)
王立民 陈勇

红兴隆一中高一数学组

2003年9月

通过讨论,得出结论
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 ax2+bx+c=0 的根 ⊿>0 ⊿=0 ⊿<0

x1

x2

x1(x2) 无实根

有两个相 有两个不等实 等实根 根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0(a>0) ﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜ 的解集

R Φ

ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集

Φ

例1:解不等式2x2-3x-2>0
解: 因为△=(-3)2-4×3× (-2)>0 方程2x2-3x-2=0的解是 x1=-1/2 ; x2=2 所以原不等式的解集为{x|x<-1/2或x>2}

例2:解不等式-3x2+6x>2
解: 整理,得 3x2-6x+2<0 因为△=(-6)2-4*3*2=12>0 方程3x2-6x+2=0的解是
所以原不等式的解集为
3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? 3 3

3 3 {x | 1 ? ? x ? 1? } 3 3

例3:解不等式4x2-4x+1>0
解: 因为△=16-16=0

方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2
所以原不等式的解集为{x|x≠1/2}

例4:解不等式- x2+2x-3>0
解:整理,得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程2x2-3x-2=0无实数根 所以原不等式的解集为ф

1.化不等式为标准式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<O(a>0)
2.计算?的值,确定方程 ax2 ? bx ? c ? 0的根的情况

3.根据图象写出不等式的解集

课堂练习. x是什么实数时,函数y=x2-4x+1的值 (1) 等于0? (2) 是正数? (3) 是负数?
解:1)函数值等于0,即x2-4x+1=0,解得: 即,当 x1 ? 2 ? 3, x2 ? 2 ? 3 时,原函数的值 等于0。 2)函数值是正数,即x2-4x+1>0,解得:

x1 ? 2 ? 3, x2 ? 2 ? 3

{x | x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3} ,即,当

x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3时,原函数的值是正数。
3)函数值是负数,即x2-4x+1<0,解得: {x | 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3} ,即,当

2 ? 3 ? x ? 2 ? 3 时,原函数的值是负数。

课堂练习. x是什么实数时,

x ? x ? 12 有意义?
2
2

解:要想原式有意义,即要使 x ? x ? 12 ? 0 , 解这个不等式得:{x|x≤-4或x≥3} 所以,原式当x≤-4或x≥3时有意义。

课堂练习:P80练习第2题

例5:解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0
解:? ? (a ? 1) ? 4a ? (a ? 1)
2 2

(1)当a ? 1时 ,? ? 0, 原 不 等 式 即 为 x 2 ? 2x ? 1 ? 0, 其 解 集 为 {x x ? 1}

分类讨论!
变形1:解关于x的不等式 x2-ax - (a+1) >0 (a≠0)

引申1:解关于x的不等式 ax2-(a+1)x+1>0 (a≠0)

变形2:求函数

y ? lg( x2 ? 5x ?14) 的定义域。

(??,?2) ? (7 ,??)
引申2:若y 范围。

? lg( x ? 5x ? b)的定义域为R,求b
25 b ? ( ?? ,? ) 4

2

拓展:若 y ? lg( x 围。

2

? 5x ? b) 的值域为R,求b范

25 b ? [ ? ,?? ) 4

巩固与提高:
1.已知一元二次不等式ax ? bx ? c ? 0的解集是
2

?? ?,4?? ?1,???,求不等式ax 2 ? cx ? b ? 0的解集。
2)已知一元二次不等式ax ? bx ? c ? 0的解集是
2

?? 8,5?,求a : b : c。

作业:P80习题3.2A组第2,3题,B组第2题


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