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2017年全国二卷理科数学高考真题及详解(全word版)


2017 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
本试卷共 23 题,共 150 分,共 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘 贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写 的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 3?i 1. ? 1? i A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i 2 2. 设集合 A ? ? 1, 2, 4?, B ? x ? 4 x ? m ? 0 ,若 A ? B ? ?? 1 ,则 B ? A. ? B. . ? C. ? D. ? 1, ? 3? 1, 0? 1, 3? 1, 5? 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加 增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯 A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 4.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何 体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得, 则该几何体的体积为 A. 90? B. 63? C. 42? D. 36?

?

?

?2 x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 5.设 x、 y 满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 3 ? 0,则 z ? 2 x ? y 的最小值是 ? y ? 3 ? 0, ?

A. ? 15 B. ? 9 C. 1 D. 9 6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同 的安排方式共有 A.12 种 B.18 种 C. 24 种 D.36 种

理科数学试题 第 1 页(共 4 页)

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说:你们四人中 有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲 的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图,如果输入的 a ? ?1 ,则输出的 S ? 开始 A.2 输入a B.3 C.4 S=0,K=1 D.5 否
K ?6 是 S=S+a?K a=-a K=K+1 输出S 开始

x2 y2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的一条渐近线被圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦 a2 b2 长为 2 ,则 C 的离心率为 2 3 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 ? AB ? 2 10.已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC ? 120 , , BC ? CC1 ? 1 , 则异面直 线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为
9.若双曲线 C :

10 3 D. 5 3 2 x ?1 11.若 x ? ?2 是函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 1)e 的极值点,则 f ( x) 的极小值为 A. ? 1 B. ? 2e ?3 C. 5e ?3 D. 1 12.已知 ?ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点,则 PA? (PB ? PC) 的 最小值是 3 4 A. ? 2 B. ? C. ? D. ? 1 2 3 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.一批产品的二等品率为 0.02 ,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次, X 表示抽到二等品件数,则 DX ? . 3 ? 14.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 cos x ? ( x ? [0, ]) 的最大值是 . 4 2 n 1 15.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a3 ? 3 , S 4 ? 10 ,则 ? ? . k ?1 S k
A. B. C. 16.已知 F 是抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点, M 是 C 上一点, FM 的延长线交 y 轴于点 N . 若 M 为 FN 的中点,则 FN ? . 理科数学试题 第 2 页(共 4 页)

3 2

15 5

三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答。第 22/23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) B ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 sin( A ? C ) ? 8 sin 2 . 2 (1)求 cos B ; (2)若 a ? c ? 6 , ?ABC 的面积为 2 ,求 b .

18.(12 分) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:
频率/组距

频率/组距 0.068 0.046 0.044

0.040 0.034 0.032 0.024 0.020 0.014 0.012 0 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg 旧养殖法

0.020 0.010 0.008 0.004

0

35 40 45 50 55 60 65 70 箱产量/kg 新养殖法

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg,新养殖法的箱产量不低于 50kg”,估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关; 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确 到 0.01).

附:

K2 ?

n(ad ? bc) 2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

理科数学试题 第 3 页(共 4 页)

19.(12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 为等边三 1 角形且垂直于地面 ABCD , AB ? BC ? AD , 2 ? ?BAD ? ?ABC ? 90 , E 是 PD 的中点. (1)证明:直线 CE ∥ 平面PAB ; (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45? ,求二面角 M ? AB ? D 的余弦值.

P M A B C E D

20.(12 分) 设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C :
x2 ? y 2 ? 1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N , 2

点 P 满足 NP ? 2 NM . (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x ? ?3 上,且 OP ? PQ ? 1 . 证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F .

21.(12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ax ? x ln x ,且 f ( x) ? 0 . (1)求 a ; (2)证明: f ( x) 存在唯一的极大值点 x0 ,且 e ?2 ? f ( x0 ) ? 2?2 .

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做则按所做 的第一题计分。 22.[选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos? ? 4 . (1) M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 OM ? OP ? 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; ? (2)设点 A 的极坐标为 ( 2 , ) ,点 B 在曲线 C2 上,求 ?OAB 面积的最大值. 3

23.[选修 4 ? 5 :不等式选讲](10 分) 已知 a ? 0,b ? 0,a 3 ? b 3 ? 2 .证明: (1) (a ? b)(a 5 ? b5 ) ? 4 ; (2) a ? b ? 2 .

理科数学试题 第 4 页(共 4 页)

2017 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 参考答案
一、选择题 1.D 2.C 7.D 8.B

3.B 9.A

4.B 10.C

5.A 11.A

6.D 12.B

二、填空题 13. 1.96 14. 1 15.
2n n ?1

16. 6

三、解答题 17.(1)由 A ? C ? ? ? B 得 sin B ? 8 sin 2
? tan
B B B ,即 cos ? 4 sin , 2 2 2

B 1 8 15 ,则有 cos B ? . ? ,得 tan B ? 2 4 15 17 8 1 17 ,则 S ?ABC ? ac sin B ? 2 ,得 ac ? , 17 2 2
30 ac ? 4 ,则 b ? 2 . 17

(2)由(1)可知 sin B ?

又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) 2 ? 2ac ?

18.(1)旧养殖法箱产量低于 50kg 的频率为
(0.012 ? 0.014 ? 0.024 ? 0.034 ? 0.040) ? 5 ? 0.62,

新养殖法箱产量不低于 50kg 的频率为
(0.068? 0.046? 0.010? 0.008) ? 5 ? 0.66 ,

而两种箱产量相互独立,则 P( A) ? 0.62 ? 0.66 ? 0.4092. (2)由频率分布直方图可得列联表 旧养殖法 新养殖法 箱产量<50kg 62 34 箱产量≥50kg 38 66

200(62 ? 66 ? 34 ? 38) 2 ? 15.705 ? 6.635, 100? 100? 96 ? 104 所以有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)新养殖法箱产量低于 50kg 的面积为 (0.004? 0.020? 0.044) ? 5 ? 0.34 ? 0.5 ,

则 K2 ?

产量低于 55kg 的面积为 (0.004? 0.020? 0.044? 0.068) ? 5 ? 0.68 ? 0.5 ,

? 0.5 ? 0.34 ? 所以新养殖法箱产量的中位数估计值为 ? ? ? 5 ? 50 ? 52.35 (kg). ? 0.34 ?

1 19.(1)取 PA 中点 F ,连结 EF、BF .因为 E 为 PD 中点,则 EF∥ AD .而由题可知 2 1 BC∥ AD ,则 EF∥BC ,即四边形 BCEF 为平行四边形,所以 EC ∥ FB .又 2 EC ? 面PAB,FB ? 面PAB ,故 CE ∥ 面PAB .

z

(2)因为 AB ? AD ,则以 A 为坐标原点, AB、AD 所在直线分别为 x、 y 轴建立空间直角 坐标系 A ? xyz ,如图所示. 取 AB ? 1 ,设 CM ? ?CP(0 ? ? ? 1) 则得
A(0, 0, 0),B(1 , 0, 0),C (1 , 1 , 0) , P(0, 1 ,3) ,则

P FM E D C

A

CP ? (?1, 0,3) , CM ? (??, 0,3?) ,可得点
1 ,3?) . M (1 ? ?, 1 ,3? ) ,所以 BM ? (??,

x B

y

取底面 ABCD 的法向量为 n ? (0, 0, 1) ,则 cos? BM, n? ?

3?

? ? 1 ? 3?
2

2

? sin 45? ,解得

??

2 2 6 , 1, ) .因为 AB ? (1 ,则 BM ? (? , 0, 0) ,设面 MAB 的法向量为 2 2 2 ?x ? 0 ? ? ?m ? AB ? 0 得? ,取 z ? 2 得 m ? (0, m ? ( x,y,z) ,由 ? ? 6, 2) , 2 6 ? x ? y ? z ? 0 ? m ? BM ? 0 ? ? 2 ? 2

n? ? 则 cos? m,

m?n mn

?

10 10 .故二面角 M ? AB ? D 的余弦值为 . 5 5

2 x2 y2 20.(1)设 P( x,y) ,则 M ( x, y ) ,将点 M 代入 C 中得 ? ? 1 ,所以点 P 的轨迹 2 2 2 方程为 x 2 ? y 2 ? 2 .
(2)由题可知 F (?1, PF ? (?1 ? m, ? n) , 0) ,设 Q(?3,t ),P(m,n) ,则 OQ ? (?3,t ),

OP ? (m,n), PQ ? (?3 ? m,t ? n) .由 OP ? OQ ? 1 得 ? 3m ? m2 ? tn ? n 2 ? 1 ,由
(1)有 m2 ? n 2 ? 2 ,则有 3 ? 3m ? tn ? 0 ,所以 OQ ? PF ? 3 ? 3m ? tn ? 0 ,即过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F . 21.(1) f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) ,则 f ( x) ? 0 等价于 ax ? a ? ln x ? 0 . 1 1 设 g ( x) ? ax ? a ? ln x ,则 g ?( x) ? a ? .由题可知 a ? 0 ,则由 g ?( x) ? 0 解得 x ? , x a 1 1 1 所以 g ( x) 为 ( , ? ? ) 上的增函数,为 (0, ) 上的减函数.则有 g min ( x) ? g ( ) ? a a a 1 ? a ? ln a ? 0 ,解得 a ? 1 . (2)由(1)可知 f ( x) ? x 2 ? x ? x ln x ,则 f ?( x) ? 2 x ? 2 ? ln x . 1 1 1 设 h( x) ? 2 x ? 2 ? ln x ,则 h?( x) ? 2 ? .由 h(? x) ? 0 解得 x ? ,所以 h( x) 为 ( , ? ?) x 2 2 1 1 上的增函数,为 (0, ) 上的减函数.又因为 h( ) ? ln 2 ? 1 ? 0,h(1) ? 0 ,则 h( x) 在 2 2 1 (0, ) 上存在唯一零点 x0 使得 2x0 ? 2 ? ln x0 ? 0 ,即 2 x0 ? 2 ? ln x0 ,且 f ( x) 为 (0,x0 ) , 2 1 1) 上的减函数,则 f ( x) 极大值为 f ( x0 ) ? x0 (1 ? x0 ) ? . (1 , ? ?) 上的增函数,为 ( x0, 4 而 e?1 ? (0, 1),x0 ? e?1 ,所以 f ( x0 ) ? f (e?1 ) ? e?2 .
?2 ?2 综上, e ? f ( x0 ) ? 2 .

22.(1)设 P 极坐标为 ( ?,? )(? ? 0) , M 极坐标为 ( ?1,? )(?1 ? 0) .则 OP ? ? ,
4 .由 OM ? OP ? 16 得 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? ( ? ? 0) .所以 C2 cos ? 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4( x ? 0) . OM ? ?1 ?

(2)设 B 极标为 ( ?2,? )(?2 ? 0) ,由题可知 OA ? 2,?2 ? 4 cos? ,则有
S ?OAB ? 1 ? ? 3 OA ? ? 2 ? sin(? ? ) ? 2 sin(2? ? ) ? ? 2? 3. 2 3 3 2

即当 ? ? ?

?
12

时, ?OAB 面积的最大值为 2 ? 3 .

23.(1) (a ? b)(a5 ? b5 ) ? a 6 ? ab5 ? a5b ? b6

? (a3 ? b3 )2 ? 2a3b3 ? ab(a 4 ? b4 )

? 4 ? ab(a 2 ? b2 )2
?4

(2)因为 (a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3
? 2 ? 3ab(a ? b)

? 2?

3(a ? b) 2 ( a ? b) 4

? 2?

3(a ? b) 3 , 4

所以 (a ? b)3 ? 8 ,解得 a ? b ? 2 .


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