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湖北省广水市文华高中2015届高三上学期12月月考数学(理)试题 word版


湖北省广水市文华高中 2015 届高三上学期 12 月月考数学 (理) 试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,满分 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1. 已 知 集 合 A= {x|(x+ 1)(x- 2)≤0}, 集 合 B为 整 数 集 , 则 A ∩B = ( )

A. {- 1, 0} C. {- 2, - 1, 0, 1} 2.复数

B. {0, 1} D. {- 1, 0, 1, 2}

5i ? 1 ? 2i
B. ?2 ? i C. 1 ? 2i D. ?1 ? 2i

A. 2 ? i

3.设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的 A.必要不充分条件 C. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 D. 既非充分又非必要条件

4. 在等差数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 4 ,记 an 的前 n 项和为 Sn ,则 S8 ? A.12 B.16 C .24 D.48

5. 已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是 A.若 m // ? , n // ? , 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

6. 执行下面的框图,若输入的 N 是 6 ,则输出 p 的值是

A.120
2 2

B.720

C.1440

D.5040

x y 7.双曲线 - =1 的焦距为( ). 10 2 A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3

D. 4 3

8. 若函数 f ? x ? ? ka ? a
x

?x

? ?? 上既是奇 函数又 是增函 数,则 ? a ? 0且a ? 1? 在? ??,

g ? x ? ? loga ? x ? k ? 的图象是

A
5

B
2

C ). D. 10 ).

D

9. (1+ 2x) 的 展 开 式 中 , x的 系 数 等 于 ( A. 80 B. 40 C. 20

10. 若 f(x)= x2 - 2x- 4ln x, 则 f ′(x)> 0的 解 集 为 ( A. (0, + ∞) C. (2, + ∞) B. (- 1,0)∪(2, + ∞) D. (- 1,0)

第Ⅱ卷(非选择题,满分 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。

?1? 2 11. log 2 6 ? log 4 9 ? 27 ? ? ? = ?4? r r r r r r 12.已知向量 a, b 的夹角为 60°,且 a ? 2, b ? 1,则 a ? b ?
π 13.△ABC的 三 个 内 角 A, B, C所 对 边 的 长 分 别 为 a, b, c, 已 知 c= 3, C= , a= 2b, 则 b的 值 为 _____ 3 14.已 知 命 题 p: ?x∈R, x2 + 2x+ a≤0. 若 命 题 p是 假 命 题 , 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 ________(用 区 间 表 示 ). 15. 抛 物 线 y= 4x的 准 线 方 程 为 ________. 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设 x ? R ,函数 f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin 2 x . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( ) ?
2

2 3

?

1

?

2

1 ? 2? ,( ? ? ? ), 求 sin ? . 2 6 3

17.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF ? 平 面 ABCD, EF // AB, ?BAF ? 90 , AD ? 2, AB ? AF ? 2 EF ? 1, 点 P
o

在棱 DF 上. (1)若 P 为 DF 的中点,求证: BF //平面 ACP ; (2)若二面角 D ? AP ? C 的余弦值为 ,求 PF 的长度. 3 F E P D C

6

A B

18. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 =2, an?1 ? 2Sn ? 2 .

n n (2)若数列 ?bn ? 的各项均为正数,且 bn 是 an 与 an ? 2 的等比中项,求 bn 的前 n 项和为 Tn 。

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

19. (本小题满分 13 分) x2 y2 1 已 知 椭 圆 2+ 2 = 1(a> b> 0)经 过 点 (0, 3), 离 心 率 为, 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1 (- c, 0), F 2(c, 0). a b 2 (1)求 椭 圆 的 方 程 ; (2)若 直 线 l: y= - 5 3 = , 求 直 线 l的 方 程 . 4 1 |AB | x+ m与 椭 圆 交 于 A, B两 点 , 与 以 F1 F 2 为 直 径 的 圆 交 于 C, D两 点 , 且 满 足 2 |CD|

20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在,求 出 b 的取值范围;若不存在,说明理由。

参考答案及评分意见
一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案 1 2 3 A 4 C 5 B 6 B 7 D 8 A 9 C 10 C D B 二、填空题(5 ? 5=25 分) 11. -6 13.解析 12.

3

π ∵c2 =a2 +b2 -2abcos C,∴9=a2 +b2 -2abcos ,因为 a=2b, 3

可得 b2 =3,∴b= 3. 答案 14. 答案 3 解析 据题意知 x 2 +2x +a>0 恒成立,故有 4-4a<0,解得 a>1.

(1, + ∞)

p 15. x= - 1 [解析] 易 知 抛 物 线 y2= 4x的 准 线 方 程 为 x= -= - 1. 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分)
2 解: (1) f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? cos x ? sin x

2

2

? ………………3 分 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 ? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? z , 解得 k? ? ? x ? k? ? , k ? z 2 6 2 6 3
所以函数 f ( x) 的单调增区间是 k? ? ? (2)由 f ( ) ? 2sin(? ?

? ?

?
6

, k? ?

??

? k?z. 3?

………………6 分

?

?

6 2? ? ? 由 ?? ? 得0 ?? ? ? 6 3 6 2

?

2

)?

1 ? 1 得 sin(? ? ) ? 2 6 4

? ? 15 ? cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 6 6 4

………………9 分

? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ?(? ? ) ? ) ? ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin 6 6 6 6 6 6 ? ?
=

1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? ? 4 2 4 2 8

………………12 分

17.(本小题满分 12 分) 解 : (1)证明:连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OP. 因为 P 是 DF 中点,O 为矩形 ABCD 对角线的交点, 所以 OP 为三角形 BDF 中位线,
A D O C E F P

所以 BF // OP, 因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面 ACP, 所以 BF // 平面 ACP. ………………5 分
B

(2)因为∠BAF=90?,所以 AF⊥AB, 又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD, 从而 AF⊥AB,AF⊥AD 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AB⊥AD 以 A 为坐标原点, AB, AD, AF 分别为 x, y, z 轴, 建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz . 所以 A(0, 0, 0) B (1, 0, 0) C (1, 2, 0), F (0, 0,1) 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) ,其中 0<t≤1 在平面 APC 中, AP ? (0, 2 ? 2t , t ) , AC ? (1, 2, 0) , ………………7 分

u r 因为 AB⊥平面 ADF,所以平面 DAP 的法向量为 n1 ? (1, 0, 0) . ………………8 分
uu u r uuu r

所以 平面 APC 的法向量为 n2 ? (?2,1,

u u r

u r u u r u r u u r | n1 gn2 | r u u r , 所以 |cos ? n1 , n2 ? | ? u | n1 | ? | n2 |

2t ? 2 ), t
E

z F P

A

D y

?

2 (?2) 2 ? 1 ? ( 2t ? 2 2 ) t

?

6 3

B x C

解得 t ?

2 ,或 t ? 2 (舍) . 3

此时 | PF |?

5 . 3

………………12 分

18.(本小题满分 12 分) 解: (1)当 n≥2 时,由 an?1 ? 2Sn ? 2 ,得 an ? 2Sn?1 ? 2 , 两 式 相 减 得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an , 故

an ?1 ? 3(n ? 2) , 当 n ? 1 时 , an

a2 ? 2S1 ? 2 ? 2a1 ? 2 ? 6 ,此时
故当 n ? 1时,

a2 ?3, a1

a n ?1 ? 3 ,则数列 ?an ?是首项为 2,公比为 3 的等比数列, an
………………6 分 (没有检验当 n ? 1 时扣 2 分)

∴ an ? 2 ? 3n?1 . (2) bn ?

n n n n n ? ? ? ? . n ?1 n ?1 an an ? 2 2?3 2?3 2 ? 3n

………………8 分

1 1 2 n ( ? 2 ? ...? n ) . 2 3 3 3 1 2 3 n 2 1 2 3 n 则 2Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n . ①,则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 . ② 3 3 3 3 3 3 3 3 3
所以 Tn ? 则①-②得:

1 1 [1 ? ( ) n ] 4 1 1 1 1 n 3 ? n ? 1 ? 2n ? 3 . Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n?1 ? 3 1 3 3 3 3 3 3 3n ?1 2 2 ? 3n?1 1? 3 3 2n ? 3 所以 Tn ? ? ………………12 分 8 8 ? 3n
19.(本小题满分 13 分)

解:

b= 3, ?a=2, ? ?c 1 ? (1)由题设知? = , 解得?b= 3, a 2 ? ? ?b =a -c , ?c=1,
2 2 2

x2 y2 ∴椭 圆 的 方 程 为 + = 1. 4 3 (2)由 题 设 , 以 F 1 F2 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 x+ y= 1, 2|m| ∴圆 心 (0, 0)到 直 线 l的 距 离 d= . 5 由 d<1, 得 |m|< 5 , (*) 2
2 2 2

∴|CD|= 2 1- d= 2

4 2 2 2 1- m = 5- 4m . 5 5

设 A (x1 , y1), B (x2 , y2 ), x+ m, ?y=-1 2 由 得 x- mx+ m- 3= 0, ?x y ? 4 +3 =1
2 2 2 2

由 根 与 系 数 的 关 系 得 x1 + x2 = m, x1 x2 = m- 3, ∴|AB |=
2 15 ? 1+?-1? ?[ m2 -4(m2 -3)= ] 4- m2 . ? ? 2? ? 2

2

|AB | 5 3 由 = , 得 |CD| 4

4- m2 = 1, 5- 4m2

3 解 得 m= ± , 满 足 (*). 3 1 3 ∴直 线 l的 方 程 为 y= - x+ 或 2 3 1 3 y= - x- . 2 3 20.(本小题满分 14 分) 解: (1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x

∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0 ?

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0
………………4 分

∴ f ( x) ?

x ? ln(1 ? x), 1? x

∴ f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2

当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;

当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 (2)由已知得: g ?( x) ? ………………8 分

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

①若 b ? 1 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ②若 b ? 0 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ③若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x) ? 当 x ? ? 0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , ∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; 综上所述, b 的取值范围是 x ? ?1, ?? ? ………………14 分


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