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10.3平行与垂直的综合


第3讲

空间角
?
2
(2)异面直线垂直:记作 a ? b 。 ]。

一、基础梳理
1.两条异面直线所成的角 (1)异面直线所成的角的范围: (0,

(3)求异面直线所成的角的方法: 通过平移,在一条直线上(或空间)找一点,过该点作另一(或两条)直线的平行线; 平移技巧有:

平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2.直线和平面所成的角(简称“线面角” ) (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成 的角。直线和平面所成角范围:?0,

? ?。 2

(2)最小角定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 3.二面角 (1)二面角的平面角: 过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA, OB ,则 ?AOB 叫做二 ...... 面角 ? ? l ? ? 的平面角。 说明:①二面角的平面角范围是 ? 0, ? ? , ②二面角的平面角为直角时,则称为直二面角, (2)二面角的求法: (一)直接法:作二面角的平面角的作法: ①定义法;②三垂线定理或逆定理法;

l O O' B B'

?
A A'

(二)间接法:面积射影定理的方法。 ? (4)面积射影定理: 面积射影定理:已知 ?ABC 的边 BC 在平面 ? 内,顶点 A ?? 。设 ?ABC 的面积为 S ,它 A 在 平 面 ? 内 的 射 影 面 积 为 S1 , 且 平 面 ? 与 ?ABC 所 在 平 面 所 成 的 二 面 角 为

? (00 ? ? ? 900 ) ,则 cos ? ?

S1 。 S
B
D1 A1

S

注:①面积射影定理反映了斜面面积、射影面积和这两个平面所成 二面角的平面角间的关系; ?ABC 可以推广到任意的多边形。 ②在二面角的平面角不易作时,经常采用“面积射影定理法” 。

? A1
D
S1

?
C

二、能力巩固
考点一:异面直线所成的角 例 1. 如图所示, A1 B1C1 ? ABC 是直三棱柱,

B1

C1

F1

?BCA ? 900 ,点 D1、F1 分别是 A1 B1 和 A1C1 的中点,若 BC ? CA ? CC1 ,求 BD1 与 AF1 所
成角的余弦值。 (答案:

30 ) 10

B
C
1

A

变式训练 1.正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为 BB1 , CC1 的中点,则 AE , BF 所成 角的余弦值为_____. 考点二:直线和平面所成的角 例 2..如图在正方体 AC1 中, (1) 求 BC1 与平面 ACC1A1 所成的角; (2) 求 A1B1 与平面 A1C1B 所成的角正弦值.
A1

D1

C1 B1

D C A B

例 3. 已知直三棱住 ABC-A1B1C1,AB=AC, F为棱BB1 上一点,BF∶FB1=2∶1, BF=BC= 2a . (1) 若 D 为 BC 的中点,E 为线段 AD 上不同于 A、D 的任意一点,证明:EF⊥FC1; (2)试问:若 ο AB= 2a ,在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C 成 60 角,为什么?证明你的结论.
A E B A1 C1 D C

F B1

(4)① AB 为平面 ? 的斜线,则平面 ? 内过 A 点的直线 l 与 AB 所成角 ? 的范围为______。 ②设直线 l ? 平面 ? ,过平面 ? 外一点 A 与 l , ? 都成 30 角的直线有且只有( (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
0

)

考点三:平面和平面所成的角——二面角的求法 例 4. 设 A 在 平 面 B C D内 的 射 影 是 直 角 三 角 形 BCD 的 斜 边 BD 的 中 点 O ,

AC ? BC ? 1, CD ? 2 ,
求(1)AC 与平面 BCD 所成角的大小; (2)二面角 A ? BC ? D 的大小; (3)异面直线 AB 和 CD 所成角的大小。

A

例 5.如图,把等腰直角三角形 ABC 以斜边 AB 为轴旋转, 使 C 点移动的距离等于 AC 时停止,并记为点 P. (1)求证:面 ABP⊥面 ABC; (2)求二面角 C-BP-A 的余弦

F B E O C D
值.答案

3 3

2

例 6.如图所示,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, E ? BB1 ,截面 A1 EC ? 侧面 AC1 . (1)求证: BE ? EB1 ; (2)若 AA1 ? A1 B1 ,求平面 A1 EC 与平面 A1 B1C1 所成二面角(锐角)的度数. 答案 45°

变式训练 4:(08 山东卷 20)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点。 (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 的余弦值。

6 ,求二面角 E—AF—C 2

3

C

课后作业: 1.已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1B⊥CB1,则 A1B 与 AC1 所成的角为( (A)450 )

A

B

C1 A1 B1

(B)600

(C)900

(D)1200

4

2. (08 全国Ⅱ10) 已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角的余弦值为( ) 2 3 1 2 A. B. C. D. 3 3 3 3 3. Rt ?ABC 的斜边在平面 ? 内,顶点 A 在 ? 外, ?BAC 在平面 ? 内的射影是 ?BA? C ,则 ?BA?C 的范围是________________。

4.PA、PB、PC 是从 P 点引出的三条射线,每两条夹角都是 60°,那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是( ) D1 2 6 3 1 A. B. C. D. 2 3 3 2 A B1 1 5.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N 分别是 A1 A, AB 上的点,若 ?NMC1 ? 900 ,那么 ?NMB1 的大小是( ) M D 0 0 0 A.大于 90 B.小于 90 C. 90 D.不能确定 A N B 6.如果直角三角形的斜边与平面 ? 平行, 两条直角边所在直线与平面 ? 所成的角 分别为 ? 1和? 2 ,则( ) A. sin 2 ? 1 ? sin 2 ? 2 ? 1 B. sin 2 ? 1 ? sin 2 ? 2 ? 1 C. sin 2 ? 1 ? sin 2 ? 2 ? 1 D. sin 2 ? 1 ? sin 2 ? 2 ? 1 7、如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AD 上移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 ? 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为 . 4
D1 A1 D A E B B1 C C1

C1

C

5


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