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高中数学必修三总结及经典例题解析(全)


高一数学必修 3 公式总结以及例题 §1 算法初步 ?
秦九韶算法: 通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值, 对于一个 n 次多项式,只要作 n 次乘法和 n 次加法即可。表达式如下:

an x n ? an?1 x n?1 ? ... ? a1 ? ????an x ? an?1 ?x ? an?2 ?x ? ...?x ? a2 ?x ? a1
例题: 3x 6 ? 4x 5 ? 5x 4 ? 6x 3 ? 7 x 2 ? 8x ? 1 , 当 x ? 0.4 时,
需要做几次加法和乘法 运算? 答案: 6 , 6

即:

?????3x ? 4?x ? 5?x ? 6?x ? 7?x ? 8?x ? 1

?

理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,

其意义具有广泛的含义,如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,空调说明 书是空调使用的算法… (algorithm) 1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码). 2. 算法的特征: ①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 ②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可 以是一个或多个。没有输出的算法是无意义的。 ③可行性: 算法的每一步都必须是可执行的, 即每一步都可以通过手工或者机器在 一定时间内可以完成,在时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等②
控制结构:顺序结构,选择结构,循环结构

?

流程图: (flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及
程序结构的一种图形程序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改。 注意:1. 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯 2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇 到判断框时,往往临界的范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流 程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是否取等号的问题,这时候也就可以有几种书 写方法了。 3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起, 一起终结到结束框。

?

算法结构: 顺序结构,选择结构,循环结构
A B p

A

A p Y N
-1-

Y A

N B

N

p Y

N

直到型循环 环

当型循

Ⅰ.顺序结构(sequence

structure ) :是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、

控制转移和重复执行的操作, 一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行 的。

Ⅱ.选择结构(selection

structure ) :或者称为分支结构。其中的判断框,书写时主要

是注意临界条件的确定。它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不 能同时执行,其中的 A,B 两语句可以有一个为空,既不执行任何操作,只是表明在 某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行其它语句。 Ⅲ.循环结构 (cycle structure) : 它用来解决现实生活中的重复操作问题, 分直到型 (until) 和当型(while)两种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不 知道循环次数时)用当型循环。

?

基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo

code) ,且是使用 BASIC

语言编写的,是介于自然语言和机器语言之间的文字和符号,是表达算法 的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的格式,只要书写清楚,易于理 解即可,但也要注意符号要相对统一,避免引起混淆。如:赋值语句中可 以用 x ? y , 也可以用
x? y ;
表示两变量相乘时可以用 “*” , 也可以用 “? ”

Ⅰ. 赋值语句(assignment statement) :用 ? 表示, 如: x ? y ,表示将 y 的值
赋给 x,其中 x 是一个变量,y 是一个与 x 同类型的变量或者表达式.

一般格式: “ 变量 ? 表达式 ” ,有时在伪代码的书写时也可以用 “ x ? y ” ,
但此时的 “ = ”不是数学运算中的等号,而应理解为一个赋值号。 注: 1. 赋值号左边只能是变量, 不能是常数或者表达式, 右边可以是常数或者表达式。 “ = ”具有计算功能。如: 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的,而 a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3 都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如:a = b = c = 2 , a , b , c =2 都是错误的,而 a = 3 是正确的.

例题:将 x 和 y 的值交换
p?x x? y y? p
, 同样的如果交换三个变量 x,y,z 的值 :

p?x x? y y?z z? p

Ⅱ.

输入语句 (input statement) : Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b 输出语句(out statement) :Print x ,y 表示一次输出 运算结果 x ,y
-2-

注:1.支持多个输入和输出,但是中间要用逗号隔开!2. Read 语句输入的只能是变 量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句,意旨不能在 Print 语句中用 “ = ” 4. Print 语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语句在一行书写时用 “ ; ”
隔开.

例题:当 x 等于 5 时,Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5 Ⅲ.条件语句(conditional statement) : 1. 行 If 语句: If A Then B 注:没有 End If 2. 块 If 语句: 注:①不要忘记结束语句 End If ,当有 If 语句嵌套使
用时,有几个 If ,就必须要有几个 End If ②. Else If 是对上一个条件的否定, 即已经不属于上面的条件, 另外 Else If 后面也要有 End If ③ 注意每个条件 的临界性,即某个值是属于上一个条件里,还是属于下一个条件。④ 为了使得书写 清晰易懂,应缩进书写。格式如下: If Else C End If 例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法. Read a , b , c If a?b Then If a?c Then Print a Else Print c End If Else If b?c Then Print b Else Print c 数 End If End If Read a , b , c If a?b and a?c Then Print a Else If b?c Then Print b Else Print c End If A Then B If A Then B Else If C Then D End If

或者

注: 1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的

Ⅳ.循环语句( cycle statement) : ? 当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即 使是 N 次也是已知次数的循环 ? 当循环次数不确定时用 While 循环 ? Do 循环有
两种表达形式,与循环结构的两种循环相对应. For I From 初值 to 终值 Step 步长 … End For For 循环 While A … End While

While 循环
-3-

Do

While … Loop

p 当型 Do 循环

Do … Loop Until p 直到型 Do 循环

说明:1. While 循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一 般在解决有关问题时,可以写成 While 循环,较为简单,因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用 While 循环书写的循环都能用 For 循环书写 3. While 循环和 Do 循环可以相 互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化,转化时条件要相应变化 5. 注意临界条
件的判定.

. (见课本 P21 ) 例题: 设计计算 1? 3 ? 5 ? ...? 99 的一个算法

S ?1 For I From 3 T o 99 Step 2 S ? S? I End For Pr int S

S ?1 I ?1 While I ? 97 I?I?2 S ? S? I End While Print S

S ?1 I ?1 While I ? 99 S ? S? I I?I?2 End While Print S
? ? ?

S ?1 I ?1 Do S ? S? I I?I?2 Loop Until I ? 100 (或者 I ? 99 ) Pr int S
?

S ?1 I ?1 Do I?I?2 S ? S? I Loop Until I ? 99 P r int S
?

-4-

S ?1 I ?1 Do While I ? 99 (或者I ? 100 S ? S? I I?I?2 Loop P r int S
?

S ?1 I ?1 ) Do While I ? 97 (或者I ? 99 ) I?I?2 S ? S? I Loop P r int S
?

友情提醒:1. 一定要看清题意,看题目让你干什么,有的只要写出算法,有的只要求写出 伪代码,而有的题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。 2. 在具体做题时,可能好多的同学感觉先画流程图较为简单,但也有的算法伪代码 比较好写,你也可以在草稿纸上按照你自己的思路先做出来,然后根据题目要求作答。 一般是先写算法,后画流程图,最后写伪代码。 3. 书写程序时一定要规范化,使用统一的符号,最好与教材一致,由于是新教材的 原因,再加上各种版本,可能同学会看到各种参考书上的书写格式不一样,而且有时还 会碰到我们没有见过的语言,希望大家能以课本为依据,不要被铺天盖地的资料所淹没!

Ex: 1. 对于任意给定的 N , 一定存在自然数 n , 使得1 ? 2. 3.
设计一个计算 1 ? 用循环语句写出求 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ? N 2 3 n

1 1 1 1 ? ? ... ? 的一个算法 . 2 3 4 100







1 1 1 ? ? ... ? 的一个算法 , 并画出流程图 , 写出伪代码 . 2 3 100 Re ad N S ?0 S?0 a ?1 n?0 For I From 1 t o 100 While S ? N a S ? S? 1 2. n ? n ?1 I 1 ? a ? a ? 1? S?S? n End For End Whlie P rint S P rint n

S1

算法 : S?0

S2 I ? 1 3. S 如果 I ? 100 则 3 1 I ? I ? 1 转 S3 I 否则输出 S S ?S?

-5-

流程图: 开始

S ?0
I ?1

I ? I ?1

S?S?

1 I

I ? 100

N 输出 S

Y

伪代码:

S ?0
S ?0 For I From 1 to100 1 S?S? 或者 I End F or P rint S

I ?1 While I ? 100 1 I I ? I ?1 End W hile S?S? P rint S

? 典型例题:
1. 下面的伪代码输出的结果是: I?2 For n from 2 To 10 Step 2 I?2I+1 If I > 20 Then I ? I - 20 End If End for Print I 2. 下面的伪代码的目的是 10 Read m , n 20 If m/n = Int(m/n) Then Go to 70 30 c ? m -Int(m/n)*n 40 m ? n 50 n ? c 60 Go to 20 70 Print n 3. 与下列为代码对应的 数学表达式是 Read n e?0 S?1 For I from 1To n S= S*I e?e+1/S End for Print e
-6-

4. 下面的程序输出的是 Read n I?1 While I ? n If n / I = Int( n / I ) Then S?I I=I+1 End if Print S End while

5. I ?0 For n From 1 to 100 If Int ( n / 7 ) = n / 7 then I ?I+1 End If End For Print I 上面一段为代码的目的是:

6.

a?1 b?2 c?3 a?b b ?c c? a Print a ,b ,c a= b= c=

7. 市话话费计算方式为:自接通起。3 分钟内(含 3 分钟)0.2 元,超过 3 分钟的部分每分
钟 0.1 元(不足 1 分钟按 1 分钟计) ,输入一个证书作为通话时长,用条件语句描述通话话 费。 8. 某电视机厂 2002 年全年生产电视机 60 万台,计划从 2003 年开始每年的产量比上一年 增长 15%,设计一个算法,计算从哪一年开始,该厂的电视机产量超过 300 万台,只写 出伪代码. 9. (斐波那契数列) 假定一对大兔子没一个月可以生一对小兔子,而小兔子出生后两个 月就有生育能力, 问从一对小兔子开始, 一年后能繁殖多少兔子?这就是著名的斐波那契 数列问题,其规律是从第三个月开始,每个月的兔子数量都是前两个月的兔子数量的和。 用循环语句描述这一算法。 10. 一个三位数的十位和个位上的数字交换,得到一个新的三位数,新旧两个三位时都能被 4 整除,设计一个算法求满足条件的三位数的个数,并写出伪代码. 11. 若 x , y 是 两 个 互 质 的 数 , 则 一 定 存 在 整 数 u , v , 使 得

u x ? vy ? 1 , 设 x ? 33, y ? 35设计

一个算法求出一组满足 条件的u , v , 并用伪代码表示 .
答案:1. 约数 5. 7. 解: 计算 1——100 能被 7 整除的数的个数 6. a= 2 8. 解: b= 3 c= 2 15 2. 求 m , n 的最大公约数 3.

e ?1?

1 1 1 ? ? ... ? 4. n 的所有 2! 3! n!

-7-

Re ad X If X ? 3 T hen Y ? 0.2

Else If Int?X - 3? ? ? ?X - 3? T hen Y ? 0.2 ? ?Int?X - 3? ? 1? ? 0.1 Else Y ? 0.2 ? Int?X - 3? ? 0.1 End If P r int Y
9.解:

S ? 60 I ? 2002 While S ? 300

S ? ?1 ? 0.15? ? S I ? I ?1 End W hile P rint I

S ?1 T ?1 For I From 1 to12 P ?S?T S?T T ?P End F or P rint P

或者

a ?1 b ?1 S ?2 For I From 3 t o12 C?a?b S? S ?C a?b b ?C End F or P rint S

10.解:

I ?0 For N From 100 to 999 step 4 X ? Int N 100 Y ? Int?? N ? 100X ? / 10? Z ? N - 100X- 10Y If Int??100X? 10Z ? Y ? / 4? ? ?100X? 10Z ? Y ? / 4 T hen

?

?

I ? I ?1 End If End F or P rint I
11.解:

-8-

While Int??1 - 35v? / 33? ? ? ?1 - 35v? / 33 v ? v ?1 End While u ? ?1 - 35v? / 33 P r int u , v

v ?1

? 算法案例
这一节要求较低, 但要掌握几个重要的算法,对于今后的进一步学习和提高 数学的素养都有着重要的意义。 (要求掌握的用矩形框框起来)

1.求最大公约数(greatest common factor)
Excel 宏程序
Sub 求最大公约() a = InputBox("输入第一个自然数") b = InputBox("输入第二个自然数") While a Mod b <> 0 r = a Mod b a=b b=r Wend MsgBox ("最大公约数为:" & b) End Sub

辗转相除法----Euclid algorithm

Read a , b While Mod (a , b ) ≠ 0 r = a Mod b a=b b=r End While Print b

辗转相除法-----VB 程序
Private Sub Command1_Click() Dim M As Long, N As Long, r As Long M = Val(Text1.Text) '取数据 M N = Val(Text2.Text) '取数据 N If M <> Int(M) Or M < 1 Or N <> Int(N) Or N < 1 Then ' 检验数据合法性! Text3.Text = "数据错误!" Else Do
-9-

r = M Mod N M=N N=r Loop Until r = 0 Text3.Text = CStr(M) End If End Sub

'求出最大公约数

Private Sub Command2_Click() If Text1.Text <> "" Then Text1.Text = "" If Text2.Text <> "" Then Text2.Text = "" If Text3.Text <> "" Then Text3.Text = "" End Sub Private Sub Command3_Click() End End Sub

'清除文本框 1 '清除文本框 2 '清除文本框 3

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
Private Sub Command1_Click() a = InputBox("输入第一个自然数") b = InputBox("输入第二个自然数") While a Mod b <> 0 r = a Mod b a=b b=r Wend MsgBox ("最大公约数为:" & b) End Sub Private Sub Command2_Click() End End Sub

2.孙子定理-----VB 程序
Private Sub Command1_Click() m=2 While m Mod 3 <> 2 Or m Mod 5 <> 3 Or m Mod 7 <> 2 m=m+1 Wend MsgBox "不定方程的一个解为" & m End Sub

- 10 -

Private Sub Command2_Click() End End Sub Private Sub Command3_Click() m=2 Do While m < 10000 Do m=m+1 Loop Until m Mod 3 = 2 And m Mod 5 = 3 And m Mod 7 = 2 Print m Loop End Sub

孙子问题-----Excel 宏程序
Sub 孙子问题() m=2 While m Mod 3 <> 2 Or m Mod 5 <> 3 Or m Mod 7 <> 2 m=m+1 Wend MsgBox "不定方程的一个解为" & m End Sub m?2 While Mod( m , 3 ) ≠ 2 或 Mod (m , 5 ) ≠ 3 或 Mod (m ,7 )≠ 2 m=m+1 End While Print m 说明:孙子问题被称为“孙生剩余定理” ,或“中国 剩余定理” ,出自《孙子算经》 ,后来我国南宋数学家 秦九韶作出比较完整的阐述, 并发明 “大衍求一术” , 是解决一次同余式的关键。 1592 年明朝程大位的 《算 法统宗》 里有一首 “数学诗” 暗示了孙子问题的解法: 三人同行七十稀, 五树梅花廿一枝, 七字团圆正半月, 除百零五便得知。

它的运算涉及到数轮的知识,如数轮倒数,同余式等,这在以后的高校中会有更深入地介 绍。 其表述有如下几种方式 Mod( m , 3 ) =2 Mod (m , 5 ) = 3 Mod (m , 7 ) =2 意义为: m Mod 3 = 2 m Mod 5 = 3 m Mod 7 = 2 m ≡ 2 (Mod 3 ) m ≡ 3 (Mod 5 ) m ≡ 2 (Mod 7 )

3m ? 2

5m ?3

7m?2

3.

二分法问题不作要求,有兴趣的同学可以自行阅读,它是一种很重的数学

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思想,我们以后在高校里会再学习。 (见课本 P29 )
说明:里面出现了跳转语句的表达方法:也就是在各语句的前面标上标号,在需要运 行跳转时就可用 “ Go to X ” ,其中 X 表示某行语句的标号。 这种表达方式比较自 由,在不知用何种语句才能实现想到达的地方时,就可以以 Go to…直接跳转,方便易 行,但在以后的编程终究要尽量少用这种跳转,因为特别是对于大型的程序设计,Go to 语句用多了,就不易于检查,而且它破坏了语言结构的规范性,容易出错。由于我们高一 阶段的要求比较低,所以也就不要有这种担心。

?
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

一些常用的函数

Int(x) :求小于等于 x 的最大整数 Fix(x) :返回 x 的整数部分 Cint(x) :将 x 的小数部分四舍五入取整 Exp(x) :求 e 的 x 次方 Sqr(x) :求 x 的平方根 Sgn(x) :符号函数,即当 x>0 时,返回 1;0;当 x<0 时,返回-1 RND(x) : 产生一个(0 ,1)之间的随机数,当 x<0 时,返回相同的随机数;当 x>0 时,返回随机系列的下一个随机数; 当 x>0 时,返回上一次生成的随机数 8. Int(Rand((上界-下界)+1))+1 产生上界——下界之间的随机数 说明:不要求大家都记忆,以后在计算机语言的学习中还会再学习

§2 统计 ?
基本定义:
(1)总体:在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. (2) 个体:在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量.

?

抽样方法:

(1)简单随机抽样(simple random sampling) :设一个总体的个数为 N.如果通过逐个 抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为 简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.(关于制签和随机数表的 制作,请参照课本第 41 页) (2)系统抽样(systematic sampling):将总体平均分成几个部分,然后按照一定的规则,从 每一部分抽取一个个体作为样本。 先用随机的方法将总体进行编号, 如果 N不能被n整除 就
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从中用随机数表法剔除几个个体,使得能整除,然后分组,一般是样本容量是多少,就分几 组,间隔 k ?

N ,然后从第一组中用简单实际抽样的方法抽取一个个体,假设编号为 l , n

然后就可以将编号为

l , l ? k , l ? 2k ? ... ? l ? ?n ? 1?k 的个体抽出作为样本,实际就是从每一组抽取与第一组相

同编号的个体。 (3)分层抽样(stratifed sampling) :当已知总体是由有差异明显的几部分组成时,常将总 体分成几部分,然后按各部分所占的比例进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中所分成的 各部分叫做层. 样本容量越大,估计越精确! 颜老师友情提醒:1. 把每一种抽样的具体步骤看清楚,要求会写过程 2. 个体数 N 的总体中抽取一个样本容量为 n 的样本,那么在整个抽样过程中每个个体 被抽到的概率都相等,且等于

n .其实三种抽样的每一个个体都是等几率的被抽到的 N

3. 三种抽样都是不放回的抽样 4. 在具体问题中对于样本, 总体, 个体应该时代单位的,如考察一个班级的学生的视力 状况,从中抽取 20 个同学,则个体应该是 20 名同学的视力,而不是 20 名同学,样本容量 则为 20,同样的总体也是全班级同学的视力

?

两种抽样方法的区别与联系: 共同点 各自特点 从总体中逐个抽取 抽取过程 中每个个体 被抽取的概 率相等 将总体分成几层 进行抽取 将总体平均分成 几部分,按事先确 定的规则分别在各 部分抽取 各层抽样可采 用简单随机抽样 或系统抽样 在起始部分抽 样时采用简单随 机抽样 相互联系 适用范围 总体中个体数较少 总体有差异明显的几 部分组成

类别 简单随机抽 样 分层 抽样

系统抽样

总体中的个体较多

★ 典型例题剖析: 例 1、一个总体含有 6 个个体,从中抽取一个样本容量为 2 的样本,说明为什么在整个 抽样过程中每个个体被抽到的概率相等. 解:设任意一个个体为α ,那么个体α 被抽到分两种情况: (1)第一次被抽到:根据等可能事件概率得 P 1 =

1 , 6

(2)第二次被抽到:即是个体α 第一次没被抽到、第二次被抽到这两件事都发生.

5 1 , 个体α 第一次没被抽第二次被抽到的概率是 . 6 5 5 根据相互独立事件同时发生的概率公式 , 个体 α 第二次被抽到的概率是 P 2 = × 6 1 1 = .(也可这样分析:根据等可能事件的概率求得,一共取了两次,根据分步原理所有可 5 6
个体α 第一次没被抽到的概率是 能结果为 6×5=30,个体α 第一次没被抽到第二次被抽到这个随机事件所含的可能结果为 5

- 13 -

×1=5,所以个体α 第二次被抽到的概率是 P 2 =

5 1 = ) 30 6
1 1 1 + = . 6 6 3 1 ) 3

个体α 在第一次被抽到与在第二次被抽到是互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式,在 先后抽取 2 个个体的过程中,个体α 被抽到的概率 P= P 1 + P 2 =

由个体α 的任意性,说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等(都等于

点评:注意区分“任一个个体α 每次抽取时被抽到的概率”与“任一个个体α 在整个抽样 过程中个体α 被抽到的概率”的区别,一般地,如果用简单随机抽样从个体数为 N 的总体中抽 取一个容量为 n 的样本,那么“任一个个体α 每次抽取时被抽到的概率”都相等且等于 一个个体α 在整个抽样过程中被抽到的概率”为

1 ,“任 N

n . N

例 2、 (1)在 120 个零件中,一级品 24 个,二级品 36 个,三级品 60 个,从中抽取一 个容量为 20 的一个样本, 求 ① 每个个体被抽到的概率, ② 若有简单随机抽样方法抽取时,其中个体α 第 15 次被抽到的的概率, ③ 若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率. 解:① 因为总体个数为 120,样本容量为 20,则每个个体被抽到的概率 P 1 = ② 因为总体个数为 120,则体α 第 15 次被抽到的的概率 P 2 = ③ 用分层抽样方法: 按比例

20 1 = 120 6

1 120

20 1 1 = 分别在一级品、 二级品、 三级品中抽取 24× =4 120 6 6 1 1 4 1 个,36× =6 个,60× =10,所以一级品中的每个个体被抽到的概率为 P 3 = = . 6 6 24 6 1 注:其实用分层抽样方法抽取时二级品、三级品中每个体被抽到的概率也都为 . 6
点评:本题说明两种抽样方法都能保证在抽样过程中,每个个体被抽到的概率都相等.且为

n . N
例 3、某地区有 3000 人参加今年的高考,现从中抽取一个样本对他们进行分析,每个 考生被抽到的概率为

1 ,求这个样本容量. 10 n 1 解:设样本容量为 n,则 = ,所以 n=300. 3000 10 n 这一结论的逆用. N

点评:“在整个抽样过程中个体α 被抽到的概率”为

例 4、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由. (1) 从无限多个个体中抽取 50 个个体作样本. (2) 盒子里共有 100 个零件,从中选出 5 个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿 出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里. 解:(1) 不是简单随机抽样.由于被抽取样本的总体个数是无限的. (2) 不是简单随机抽样.由于不符合“逐个抽取”的原则,且抽出的结果可能是只有一 个零件重复出现. 点评:简单随机抽样的特点: (1) 它要求被抽取样本的总体个数是有限的.
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(2) 它是从总体中逐个地进行抽取. (3) 它是一种不放回抽样. 例 5、 某校有学生 1200 人,为了调查午休对学习成绩的影响情况,计划抽取一个样本容 量为 60 的样本,问此样本若采用简单随机抽样将如何进行? 解:可用两种方法: 方法一: (抽签法) (1)编号: 将 1200 名学生进行随机编号为 1,2, ?,1200, (可按学生的学号或按 学生的生日进行编号). (2)制签:做 1200 个大小、形状相同的号签,分别写上这 1200 个数,放在个容器里, 并进行均匀搅拌. (3)逐个抽取:连续抽取 60 个号签,号签对应的同学即为样本. 方法二: (随机数表法) (1)编号: 将 1200 名学生进行编号分别为 0000,0001,?, 1199, (2)选数:在课本附表 1 随机数表中任选一个数作为开始.(如从第 11 行第 7 列的数 9 开始) (3) 读数:从选定的数开始向右(或向上、向下、向左)读下去,选取介于范围的号 码,直到满 60 个号码为止. (4) 抽取:抽取与读出的号码相对应的学生进行分析. 点评:抽签法和随机数表法是常见的两种简单随机抽样方法,本问题显然用随机数表 法更方便一些,因为总体个数较多.另外随机数表法编号时,位数要一样,首数确定后,可向左、 向右、向上、向下各个确定的方向进行抽取. 例 6、某工厂中共有职工 3000 人,其中,中、青、老职工的比例为 5∶3∶2,从所有职工 中抽取一个样本容量为 400 的样本,应采取哪种抽样方法较合理?且中、青、老年职工应分 别抽取多少人? 解:采用分层抽抽样样方法较为合理.由样本容量为 400,中、青、老职工的比例为 5∶ 3∶2,所以应抽取中年职工为 400× 应抽取青年职工为 400× 例 6. 见课本 P43 例 1.

5 3 =200 人, 应抽取青年职工为 400× =120 人, 10 10

2 =80 人. 10

点评: 因为总体由三类差异较明显的个体构成, 所以应采用分层抽抽样样方法进行抽取.

?
ⅰ.频率分布表:见课本第 51 页:

总体分布的估计
★ 例1

1. 注意全距,组距的确定。一般是先查出最大值,最小值,其差值取适当的量作为全 距,正常情况下分为十组左右, 组距 ?

全距 ,也就是合理分组 组数

2. 分组的时候一般取左闭右开区间,最后一个区间取闭区间,然后填写分组、频数、 频率、合计 3. 如果全距不利于分组(如不能被组数整除)就可适当的增大全距,即在左右两端增 加相同的量 4.分组过少,总体的特征不明显;分组过多,总体特征不利于比较

ⅱ.频率分布直方图:1.横轴表示数据的内容,每一线段表示一个组的组距,注意横轴要
有单位

- 15 -

2.纵轴表示的是:

频率 组距

3.每个小矩形的面积都是该组所对应的频率

ⅲ.频率分布折线图:

1. 由频率分布直方图直接得到,取值区间的两端点分别向外延伸

半个组距并取此组距上再 x 轴上的点, 然后顺次连接直方图中每一个小矩形上底边的 中点,形成折线图 2.当样本容量足够大,分组的组距取得足够小时,折线图取与 一条平滑的曲线,称这条曲线为总体分布的密度曲线,而且曲线与横轴围成的面积为 1 3. 在总体密度曲线中,总体在区间(a,b)内取值的可能性就是直线 x=a , x=b , y=0 和总体密度曲线围成的面积 4. 累计频率分布曲线上任意一点 P?a, b ? 的纵

坐标标 b 表示的连续型总体,取小于等于 a 的值的可能性

ⅳ.

三者的特点

频率分布表:数据翔实、具体、清晰明了,便于查阅 频率分布直方图:形象直观,对比效果强烈 频率分布折线图:能够反映变化趋势

ⅴ.茎叶图的特点:

优点——简单易行,杂乱的数据在用茎叶图表示后能直观地反映出数

据的水平状况、稳定程度;所有的数据都可以在茎叶图中找到. 缺点——分析只 是粗略的,对差异不大的两组数据不易分析,另外,对位数较多的数据不易操作, 数据较多时效果不是很好. 注意点: 1. 对重复出现的数据要重复记录,不能遗漏 2. 茎要从小到大自上而下的排 列,中间用一条竖线隔开 3. 叶也要按照从小到大的顺序排列,对于两组数据的 可以用两条竖线把茎和叶隔开,左边的叶最好按照从大到小的顺序排列,右边的 叶按照从小到大的顺序排列 4. 茎叶图一般在衡量一位或者两位运动员在比赛 时的得分情况 ( 例题见课本

P58



?
ⅰ.平均数(average)
其原理: 最小二乘法

总体特征数的估计
反映总体某种特征的量较总体特征数,比如平均数、中位数、方差、众数等 或均值(mean) : a?

a1 ? a 2 ? . . ? . an 1 n ? ? ai n n i ?1
x 则它与这 n 个实验数据的离

——设与实验数据近似的值为

差为 x ? a1 , x ? a2 , x ? a3 , ..., x ? an 由于上面的离差有正有负, 故不易直接相加, 就 考虑离差的平方和 f ?x? ? ?x ? a1 ? ? ?x ? a2 ? ? ... ? ?x ? an ?
2 2 2

? nx2 ? 2?a1 ? a2 ? ...? an ?x ? a1 ? a2 ? ...? an
2 2

- 16 -

所以当 x ?

a1 ? a 2 ? ... ? a n 1 n 离差的平方和的函数取得最小, 误差也就最小, ? ? ai 时, n n i ?1

故而用

a1 ? a 2 ? ... ? a n 作为这组数据的理想近似值. n
题目类型有离散型和连续型两种情况 ② 加 权 平 均 数 :

ⅱ.平均数的求法:


x?

x1 ? x2 ? ... ? xn 1 n ? ? xi n n i ?1
n

x ? x1 p1 ? x2 p2 ? ... ? xn pn ? ? xi pi
i ?1

(其中 p1 , p 2 , ..., p i 为 x1 , x2 , ..., x i 对应的频率) ,这里也是为我们今后将要学习 的数学期望作铺垫

见 课 本 例 2 P64 ?65

注:特别地,对于连续型的随机变量在分好组后,其

x1 , x2 , ..., xi 应该取每一组的组中值近似的表示

ⅲ.样本方差(variance): s 2 ?

1 n ? xi ? x n i ?1
1 n
2

?

?

2

= [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ?
2 2

? ( xn ? x) 2 ]

样本标准差(standard deviation): s ?

1 n ? xi ? x n i ?1

?

?

2

说明:1. 平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的统计量 2. 方差、 标准差是反映一组数据波动大小或稳定程度或各个数据与平均数的离 散程度的统计量, 记住它们的表达形式, 在选择题中常出现关于它们的判断 3. 4. 5. 一个重要结论: s ?
2 2 1 n 2 xi ? x ? n i ?1

方差与越大,稳定性越差 关于它们的运算,分连续型和离散型两种情况,见课本

P67 ?68 对于离

散型的随机变量也要注意选择组中值 例题:从两块玉米地里各抽取 10 株玉米苗,分别测得它们的株高如下(单位:cm ): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 根据以上数据回答下面的问题: (1)哪种玉米苗长得高?
- 17 -

(2)哪种玉米苗长得齐? [分析] :看哪种玉米苗长得高,只要比较甲乙两种玉米苗的平均高度即可;要比较哪 种玉米苗长得齐,只要比较哪种玉米苗高的方差即可,方差越小,越整齐,因为方差反映 的是一组数据的稳定程度

1 ?25 ? 41 ? 40 ? 37 ? 22 ? 14 ? 19 ? 39 ? 21 ? 42? ? 30?cm? 10 解: (1) 1 x乙 ? ?27 ? 16 ? 44 ? 27 ? 44 ? 16 ? 40 ? 40 ? 16 ? 40? ? 31?cm? 10 x甲 ?

? x甲 ? x乙 ? 乙种玉米长得高

2 甲

2



2 2 2 2 2 2 1 ??25 ? 30? ? ?41 ? 30? ? ?40 ? 30? ? ?37 ? 30? ? ?22 ? 30? ? ?14 ? 30? ? ? s ? ? ? 2 2 2 2 10 ? ??19 ? 30? ? ?39 ? 30? ? ?21 ? 30? ? ?42 ? 30? ? ?

? 104.2 cm2
2 s乙 ?

? ?

1 2 2 2 2 2 ? ?27 ? 31? ? 3 ? ?16 ? 31? ? 3 ? ?40 ? 31? ? 2 ? ?44 ? 31? ? 128 .8 cm 2 10

?

?

?

?

2 2 ? x甲 ? x乙 ? 甲种玉米长得齐

评: 1. 特别注意本题中的两问的说法的不同,所以算法就不同 2. 一般的说哪组数据齐、 稳定、波动情况等都是通过方差来判断

ⅳ.几个重要的结论: 对于一组数据 x1 , x2 , ..., x n 的平均数为 x
为s ① 若 xi , ?i ? 1, 2 , ... , n ? 都增加 a ,则平均数为 x ? a 方差为

方差为 s

2

标准差

s2

标准差为

s

也可以这样解释:同时增加 a ,也就是相当数据平移了,不会改变数据的波动程度,所以 方差和标准差都不会变. ②若 xi , ?i ? 1, 2 , ... , n ? 都递增 a %,则平均数为 ?1 ? a%?x 准差为 方差为

?1 ? a%?2 s 2



?1 ? a%?s
方差为

③若 xi , ?i ? 1, 2 , ..., n ? 都变为原来的 a 倍,则平均数为 a x

a2s2

标准差为

as
例题 : 已知 x1 , x2 , ..., x n 的方差为 2 ,则 2 x1 ? 3 , 2x2 ? 3 , ..., 2xn ? 3 的标准差 为 ? 解法 1: (公式推导法)

- 18 -

?

x1 ? x 2 ? ... ? x n ?x n

?

?2 x1 ? 3? ? ?2 x2 ? 3? ? ... ? ?2 xn ? 3?
n

? 2x ? 3

1 n ? 方差 ? ? ?2 xi ? 3? ? 2 x ? 3 6 i ?1
?标准差 ? 2 2

?

?

??

2

1 n ? 4 ? ? xi ? x ? 4 ? s 2 ? 4 ? 2 ? 8 6 i ?1

?

?

2

解法 2: (推理法) 因为数据的每一项都是先 2 倍后加上 3,而加上 3 对方差没有影响,2 倍后则 方差变为原来的 4 倍,即方差标为 8 ,则标准差为 2 2 .

?

线性回归方程

ⅰ.变量之间的关系:① 确定的函数关系 ② 相关关系(有一定的关系,但不能用函数表达 出来) ⅱ. 对于一组数据探讨它们满足的关系,可以先画出散点图,看它们的大致趋势,然后选择 一种函数进行数据拟合, 电脑和计算器一般给出 6 种拟合函数, 也就是说对于一组数据可 以用各种函数模型来拟合,只不过拟合度不同而已,当拟合度 R 越接近于 1 则拟合得越 好,本教材之研究线性拟合,也就是求线性回归方程 ⅲ. 线性回归分析:理论依据——最小二乘法 ⅳ. 设线性回归方程为 见课本
2

P72

? y ? bx ? a ,关键在于求 a , b

n ? n ?? n ? n ? x i y i ? ?? x i ? ?? y i ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? b ? i ?1 2 n ? n ? 2 n ? x i ? ?? x i ? i ?1 ? i ?1 ?

? xi y i ? n x y
i ?1 n

n

? x ? nx
i ?1 2 i

?

? ?x
n i ?1 n

i

? x yi ? y
i

??

?

2

? ?x
i ?1

?x

?

2

a ? y ? bx

ⅴ. 相关系数:

r?

?x y
i ?1 i

n

i

?nx y

? n 2 ?? n 2 ? ? ? xi ? n x 2 ?? ? y i ? n y 2 ? ? i ?1 ?? i ?1 ?

称为 y与x的样本相关系数

?

当 r ? 0时, 正相关 ; 当r ? 0时, 负相关; 并且r ? 1 , r 越接近于 1线性相关程度越高 r 越接近于 0线性相关程度越低
ⅵ.说明: 1. 由于公式的复杂,数据有的也较多,所以在具体做题目时可以列出表格来,对应填 进去,然后用公式计算,这样就不会产生慌乱的感觉
- 19 -

2.做题目时要细心,不要乱,在我们高一阶段一般只给出 5~6 组数据,算起来已经不 是很难了 3. 当然这种拟合(我们主要学习线性拟合——就是求线性回归方程)在电脑里都可作 出来图像来,而且求出相应的拟合度,有兴趣的同学可以在 Excel 软件里试一试 4.表格形式:

i
1 2 ? n 合计

xi

yi

xi

2

yi

2

xi yi

?x
i ?1

n

i

?y
i ?1

n

i

?x
i ?1 n 2 i n

n

2 i

?y
i ?1 2 i

n

2 i

?x y
i ?1 i

n

i

x?

1 n ? yi n i ?1

y?

1 n ? yi n i ?1

?x
i ?1

?y
i ?1

?x y
i ?1 i

n

i

然后代入公式计算

§3.
? ?
可能事件( impossible event )

概率

事件:随机事件( random event ) ,确定性事件: 必然事件( certain event )和不

随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,

当实验的次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P ? A? ?

m n

说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重 复事件时某个事件是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然 性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事 件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常 数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的幅度越来越小,而这个接近的某个 常数,我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是 一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值,频率是概率 的近似值

?

概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件 A ,有 0 ? P? A? ? 1

② 用?和?分别表示必然事件和不 可能事件, 则有P??? ? 1, P??? ? 0 ③如果事件

A和B互斥, 则有 : P? A ? B? ? P? A? ? P?B?

?

古典概率(Classical probability model) :① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事 件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型
- 20 -

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n , 则每一个基本事件发生的概率都是

1 ,如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为 n m P ? A? ? n

?

几何概型 (geomegtric probability model) : 一般地, 一个几何区域 D 中随机地取一点, 记事件“改点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为

P ? A? ?

d的 侧 度 D的 侧 度

( 这里要求 D 的侧度不为 0, 其中侧度的意义由 D 确定, 一般地,

线段的侧度为该线段的长度; 平面多变形的侧度为该图形的面积; 立体图像的侧度为其 体积 ) 几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界, 在区域 D 内随机地取点,指的是该点落在区域 D 内任何一处都是等可能的,落在任何 部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。

?互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件(complementary events) :两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 件 ,事件 A 的对立事件 记为: A

?独立事件的概率: 若A , B 为相互独立的事件事件 , 则 P?AB? ? P? A?P?B? ,
若 A1 , A2 , ..., An 为两两独立的事件 , 则 P?A1A 2 ...An ? ? P?A1 ?P?A 2 ?...P?A n ? 颜老师说明: ① 若 A , B 为互斥事件 , 则 A , B 中最多有一个发生 , 可能都不发生, 但不可能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空 集 ② 对立事件是指的两个事件, 而且必须有一个发生, 而互斥事件可能指的很多事 件, 但最多只有一个发生, 可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来 看: 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集, 但两个对立事件的并集是全集 , 而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 , 而两个 互斥事件的概率之和小于或者等于 1 ⑥ 若 事 件 A, B 是 互 斥 事 件 , 则 有

P? A ? B? ? P? A? ? P?B? ⑦

一般地,如果

A1 , A2 ,..., An 两 两 互 斥 , 则 有


P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ?

P? A? ? 1 ? P A ⑨ 在

??

本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A2 ,...,An 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题 中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解题,就按照那种概型 的书写格式,最重要的是要设出所求的事件来 ,具体的格式请参照我们课本上(新课 标试验教科书-苏教版)的例题
- 21 -

?例题选讲:
例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个,求所选的 2 个球至少有 一个是红球的概率? 【分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球,2 个其它颜色的球,我们可以根据不同的思路 有不同的解法 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 2 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A 意义为“选取 2 个球都是其它颜色球”

?PA ?

? ?

1 (6 ? 5)

? 2

1 1 14 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - ? 15 15 15

? ?

14 . 15 6?5 ? 15 种情况,设事件 A 为“选 解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 2 4?3 ? 14 取 2 个球至少有 1 个是红球”, 而事件 A 所含有的基本事件数有 4 ? 2 ? 2 14 所以 P ? A? ? 15 14 答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 . 15 解法 3: (独立事件概率)不妨把其它颜色的球设为白色求,设事件 A 为“选取 2 个球至 少有 1 个是红球” ,事件 A 有三种可能的情况:1 红 1 白;1 白 1 红;2 红,对应的概率分 4 2 2 4 4 3 4 2 2 4 4 3 14 , ? , ? , 则有 P? A? ? ? ? ? ? ? ? 别为: ? 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 15 14 答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 . 15
答:所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 评价:本题重点考察我们对于概率基本知识的理解,综合所学的方法,根据自己的理解用 不同的方法,但是基本的解题步骤不能少! 变式训练 1: 在大小相同的 6 个球中,2 个是红球,4 个是白球,若从中任意选取 3 个,求 至少有 1 个是红球的概率? 解法 1: (互斥事件)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则其互斥事件为 A , 意义为“选取 3 个球都是白球”

?PA ?

? ?

4 ? 3? 2 3 C4 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? P?A ? ? 1 - P A ? 1 - 1 ? 4 ? 3 6 5 4 5 5 5 C 6 (6 ? 5 ? 4) 3 ? 2 ?1

? ?

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

4 . 5
3

解法 2: (古典概型)由题意知,所有的基本事件有 C 6 ?

6?5? 4 ? 20 种情况,设事件 A 3 ? 2 ?1 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,而事件 A 所含有的基本事件数有
- 22 -

2 2 ? C4 ? 1? 4 ? 2 ?

4?3 ? 16 , 所以 2

P ? A? ?
4 . 5

16 4 ? 20 5

答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

解法 3: (独立事件概率)设事件 A 为“选取 3 个球至少有 1 个是红球” ,则事件 A 的情 况如下:

2 4 3 1 ? ? ? 6 5 4 5 4 3 2 1 ? ? ? 1红2白 白 白 红 6 5 4 5 4 2 3 1 ? ? ? 白 红 白 6 5 4 5 2 1 4 1 ? ? ? 红 红 白 6 5 4 15 2 4 1 1 ? ? ? 2红1白 红 白 红 6 5 4 15 4 2 1 1 ? ? ? 白 红 红 6 5 4 15 1 1 4 ? 所以 P? A? ? 3 ? ? 3 ? 5 15 5
红 白 白 答:所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为

4 . 5

变式训练 2:盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回的从中任抽 2 次,每次 抽取 1 只,试求下列事件的概率: (1)第 1 次抽到的是次品 (2)抽到的 2 次中,正品、次品各一次 解:设事件 A 为“第 1 次抽到的是次品” , 事件 B 为“抽到的 2 次中,正品、次品各一次”

4? 2 ? 2? 4 4 2 4 4 2 4 ? (或者 P?B ? ? ? ? ? ? ) 6?6 9 6 6 6 6 9 1 4 答:第 1 次抽到的是次品的概率为 ,抽到的 2 次中,正品、次品各一次的概率为 3 9
则 P ? A? ?

2 1 ? 6 3

, P ?B ? ?

变式训练 3:甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题,3 道填空题,每人抽一道题,抽到后 不放回, 求 (1) 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率? (2) 求至少 1 人抽到选择题的概率? 【分析】 (1)由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的, 所以可以用独立事件的概率(2)事件“至少 1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题” 时互斥事件,所以可以用互斥事件的概率来 解:设事件 A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题” ,事件 B 为“至少 1 人抽到选择题” ,则 B 为“两人都抽到填空题” (1) P ? A? ?

3 3 3 ? ? 6 5 10

? P31 P31 3 ? 3 3 ? ? ? ? 或者 P A ? ? ? ? ? 6 ? 5 10 ? P62 ? ? ? P32 1 ? ? 或者 P B ? ? ? ? P62 5 ? ? ?

(2) P B ?

??

3 2 1 ? ? 6 5 5

??

则 P ?B ? ? 1 ? P B ? 1 ?

??

1 4 ? 5 5

- 23 -

答:甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为

4 3 ,少 1 人抽到选择题的概率为 . 5 10

变式训练 4:一只口袋里装有 5 个大小形状相同的球,其中 3 个红球,2 个黄球,从中不放 回摸出 2 个球,球两个球颜色不同的概率? 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 1 红 1 球,要么是 1 黄 1 球 略解: P ? A? ?

3 2 2 3 3 ? 6 3? ? ? ? ? ? ? ? ? 或者 P A ? ? 2 ? 5 4 5 4 5 ? 5 C 5 ? ?

变式训练 5:设盒子中有 6 个球,其中 4 个红球,2 个白球,每次人抽一个,然后放回, 若连续抽两次,则抽到 1 个红球 1 个白球的概率是多少? 略解: P? A? ?

4 2 2 4 4? 2 2? 4 4 ? ? ? ? ? ? 6 6 6 6 6?6 6?6 9

例 2. 急救飞机向一个边长为 1 千米的正方形急救区域空头急救物品,在该区域内有一个长 宽分别为 80 米和 50 米的水池,当急救物品落在水池及距离水池 10 米的范围内时,物品会 失效, 假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的 (不考虑落在正方形区域范围之 外的) ,求发放急救物品无效的概率? 【分析】为题属于几何概型,切是平面图形,其测度用面积来衡量 解:如图,设急救物品投放的所有可能的区域,即边长为 1 千米的正方形为区域 D ,事件 “发放急救物品无效”为 A ,距离水池 10 米范围为区域 d ,即为图中的阴影部分, 则 有 P? A? ?

d 测度 D测度

?

80 ? 50 ? 2 ? 80 ? 10 ? 2 ? 50 ? 10 ? 4 ? 1000? 1000

? ?10?2
4

答:略 说明:这种题目要看清题目意思,为了利用 几何概率,题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件,但如果涉及到网格的现象是一 般则不需要这个条件,因为超出一个网格,就会进入 另外一个网格,分析是同样的 变式训练 1:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚 硬币的直径的 2 倍, 向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计, 求硬币完全落在正 方形内的概率? 略解: P? A? ?

d 测度 D测度

?

22 4 ? 2 2 32 ? ? 4 ? 4 ? 1? 4 ? ? 1

变式训练 2:如图,设有一个正方形网格,其中每个小正三角形的边长都是 a , 现有一直径 等于 a 的硬币落在此网格上,求硬币落下后与网格有公共点的概率?

2

【分析】因为圆的位置由圆心确定,所以要与网格线有公共点 只要圆心到网格线的距离小于等于半径
- 24 -

解:如图,正三角形 ABC 内有一正三角形 A1 B1C1

,其中

AB ? a , A1 D ? B1 E ? A1 F ?

A1 D 1 a , AD ? BE ? 6 tan30 ?

?

? 3 3? 3 ?a a?? 1 ? a ,? A 1 B1 ? AB ? 2 AD ? a ? ? ? 3 3 6 ? ?

C

当圆心落在三角形 A1 B1C1 之外时,硬币与网格有公共点

C1

? 有公共点的概率 P ?

S?ABC - S?A1B1C1 S ?A1B1C1
2
A

F

A1 D a

3 2 3? 3? 2 ?1 ? ? a a ? ? 4 4 ? 3 ? ? ? ? 0.82 3 2 a 4
答:硬币落下后与网格有公共点的概率为 0.82 .

a/6

B1 E B

变 式 训 练 3 : 如 图 , 已 知 矩 形 ABCD 中 , AB ? 5 , AC ? 7 , 在正方形内

任取一点 P , 求 ?APB ? 90? 的概率?
1 ?5? ?? ? 5? 2 ?2? 略解: P? A? ? ? 5? 7 56
变式训练 4:平面上画了彼此相距 2a 的平行线把一枚半径 r < a 的 硬币,任意的抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相 碰的概率? 解:设事件 A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币 的位置,有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线 OM ,垂足 为 M , 线段 OM 的长度的取值范围为 ? 0 , a
2
A B

P

D

C

?

,其长度就是

M

几何概型所有的可能性构成的区域 D 的几何测度,只有当 0 ? OM ? a 时,硬币不与平行线相碰,其长度就是满足 事件 A 的区域 d 的几何测度,所以

2a

r

P ? A? ?

?r, a?的长度 ? a ? r ?0, a?的长度 a
a?r a

答:硬币不与任何一条平行线相碰的概率为

【评价与链接】该题是几何概型的典型题目,要求我们正确确认区域 D 和区域 d ,理解它 们的关系以及它们的测度如何来刻画。
- 25 -

蒲丰投针问题:平面上画有等距离的一系列的平行线,平行线间距离为 2 a ( a ? 0 ) , 向平面内任意的投掷一枚长为 l

?l

? 2a ? 的针,求针与平行线相交的概率?

解:以 x 表示针的中点与最近的一条平行线的距离,又以 ? 表示针与此直线的交角,如图 易知 0 ? x ? a , 0 ? ? ? ? ,有这两式可以确定 x - ? 平面上的一个矩形 ? ,这是 为了针与平行线相交,其充要条件为 x ?

l Sin? ,有这个不等式表示的区域 A 为图中的 2

阴影部分,由等可能性知

P ? A? ?

SA ? S?

?

?

0

l Sin ? d? l 2 ? ? ?a ?a

2a

如果 l , a 已知, 则以?值代入上式即可计算 P? A?的值 , 反过来, 如果已知P? A?的值,

则也可以利用上式来求 ? ,而关于 P? A? 的值,则可以用实验的方法,用频率去近似它,
既: 如果 投针 N 次,其中平行线相交的次数为 n 次,则频率为

n N

,于是,

P ? A? ?

l

?a

?

n lN 于是 , ? ? N a n

注释: 这也是历史上有名的问题之一, 用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出 概率,再用频率近似概率来建立等式,进而求出 ? . 在历史上有好多的数学家用不同的方法 来计算 ? ,如中国的祖冲之父子俩,还有撒豆试验,也是可以用来求 ? 的. 会面问题:甲乙两人约定在 6 时到 7 时在某地会面,并约定先到者等候另一人一刻钟,过时 即可离去,求两人能会面的概率? 解:设“两人能会面”为事件 A ,以 x 和 y 分别表示 甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的充 要条件为: x ? y ? 15 在平面上建立如图所示的 坐标系,则 ? x, y ? 的所有可能的结果是边长为 60 的 正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示, 由几何概型知, P? A? ?

S A 602 ? 452 7 ? ? 2 S? 16 60

答:两人能会面的概率

7 . 16
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◆ 课本上一道例题的变式训练:如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一 点 M ,求 AM ? AC 的概率? 【分析】点 M 随机的落在线段 AB 上,故线段 AB 为区域

D ,当点 M 位于如图的 AC ' 内时 AM ? AC ,故线段

AC ' 即为区域 d
解: 在 AB 上截取 AC ? AC ,于是
'

AC ' AC 2 P( AM ? AC) ? P AM ? AC ? ? ? AB AB 2
'

?

?

答: AM ? AC 的概率为

2 2

【变式训练】如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在 ?ACB 内部任意作一条射线 CM ,与 线段 AB 交于点 M ,求 AM ? AC 的概率?

CB 内部任意作一条射线 CM ,满足条件的 M 看 错解: 在 AB 上截取 AC ? AC , 在 ?A
'

作是在线段 AC 上任取一点 M ,则有

'

AC P( AM ? AC) ? P?AM ? AC ? ? AB
'

'

?

AC 2 ? AB 2

【分析】这种解法看似很有道理,但仔细一看值得深思,我们再看看题目的条件已经发生了 改变,虽然在线段上取点是等可能的,但过和任取得一点所作的射线是均匀的,所以不能把 等可能的取点看作是等可能的取射线,在确定基本事件时一定要注意观察角度, 注意基本 事件的等可能性. 正解: 在 ?ACB 内的射线是均匀分布的, 所以射线 CM 作在任何位置都是等可能的, 在 AB

67 .5 ? 0.75 90 评价:这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度,确定区域 D 和 d ,求出其测度,
上截取 AC ? AC ,则 ?ACC ? 67.5? ,故满足条件的概率为
' '

再利用几何概型来求概率. 例3. 利用随机模拟法计算曲线 y ? x , y ? 0, 和x ? 2 所围成的图形的面积.
2 2

【分析】在直角坐标系中作出长方形( y ? x , y ? 0, y ? 4, x ? 2 所围成的部分,用随机 模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值) 解: (1)利用计算机或者计算器生成两组 0 到 1 区间上 的随机数, a0 ? rand, b0 ? rand (2)进行平移变换: a ? 2a0 , b ? 4b0 ,其中 a , b 分 别随机点的横坐标和纵坐标
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(3)假如作 N 次试验,数处落在阴影部分的点数 N1 , 用几何概型公式计算阴影部分的面积 由

S N1 ? 8 N

得出

S ?8

N1 ? 2.7 N

评价:这是一种用计算机模拟试验的方法,结合几何概型 公式来计算若干函数围成的图形面积,其基本原理还是 利用我们教材上介绍的撒豆试验,只是用随机数来代替豆子而已,另外要求我们理解用试 验的频率来近似概率的思想. 另外这种题目到我们学习了积分,还可以有下面的解法:

S ? ? x 2 dx ?
0

2

x3 3

2 0

? 2.7

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