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高中数学配套同课异构1.5.2 汽车行驶的路程 课件(人教A版选修2-2)


第一章 导数及其应用

1.5.2

汽车行驶的路程

复习回顾 1.用极限逼近思想求曲边梯形面积 的基本步骤是什么?

分割→近似代替→求和→取极限.


2.若已知物体的运动路程s与时间t 的函数关系:s=f(t),如何求物体在某 时刻t0的瞬时速度? v=f ′(t0)

3.若已知物体的运动速度v与时间t 的函数关系:v=f(t),那么f ′(t0)的含 义是什么?

f ′(t0)表示加速度

思考:汽车行驶的路程

汽车以速度v作匀速直线运动,经过时间 t所行驶的路程为多少?如果汽车作变速 直线运动,那么在相同时间内所行驶的 路程相等吗?
s = vt 不相等

思考:已知汽车作变速直线运动,在时 刻t(单位:h)的速度为v(t)=-t2+2 (单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段时 间内行驶的路程s是多少?

为了计算汽车在0≤t≤1时段内行驶 的路程,将区间[0,1]等分成n个小 区间,那么各个小区间对应的时段

分别是:

1 1 2 n- 1 [0, ],[ , ], L [ ,1] n n n n

当n很大时,在每个小区间上,由于v(t) 的变化很小,可以认为汽车近似于以左 端点时刻对应的速度作匀速直线运动, 则汽车在上述各时段内行驶的路程的近 似值分别为:
1 1 1 2 2? [- ( ) + 2]? , [, n n n n- 12 …, [- ( ) + 2]? n

2 2 1 ( ) + 2]? , n n
1 n

计算汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程 的近似值结果是:

(n - 1)n (2n - 1) sn = + 2 3 6n
利用极限逼近思想,汽车在0≤t≤1时 段内行驶的路程为:
1 1 1 5 s = lim sn = - lim (1 - )(2 - ) + 2 = (km ) n? n? 6 n n 3

若汽车在时刻t的速度为v(t)=t2+2, 那么汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程 为:
1 1 1 7 s = lim sn = lim (1 - )(2 - ) + 2 = (km ) n? n? 6 n n 3

汽车行驶路程的拓展探究 思考1:在每个小区间上,如果认为汽车 近似于以右端点时刻对应的速度作匀速 直线运动,那么汽车在前述各时段内行 驶的路程的近似值分别为多少?

1 2 1 2 2 1 [- ( ) + 2]? , [- ( ) + 2]? , L , n n n n 1 n- 12 1 [- ( ) + 2]? , 1? . n n n

思考2:汽车在0≤t≤1时段内行驶的路 程如何计算?其结果是什么?

(n - 1)n (2n - 1) 2n - 1 sn = + 3 6n n

5 s = lim sn = (km ) n? 3

思考3:由直线t=0,t=1,v=0和曲线 v=-t2+2围成一个曲边梯形,那么图 中各小矩形的面积有什么物理意义? 汽车在各时段内 行驶的路程的近 似值.
2
y y=-t2+2

O

1

t

思考4:汽车在0≤t≤1时段内行驶的路 程,在数值上与这个曲边梯形的面积有 什么关系? 相等

理论迁移

6 刻t(单位:h)的速度为v(t)= t 2

例 一辆汽车作变速直线运动,在时

(单位:km/h),求汽车在1≤t≤2时段内 行驶的路程. y 6 v = 2 t s= 3
O
1 2

t

小结作业 1.求变速直线运动的物体在某时段内 所走过的路程,可以用“以匀代变”和 “极限逼近”的数学思想求解,其操作 步骤仍然是:分割→近似代替→求和→ 取极限. 2.在平面直角坐标系中,若横轴表示 时间,纵轴表示速度,那么求变速直线 运动的物体在某时段内所走过的路程, 可转化为求曲边梯形的面积,二者对立 统一.


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