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学业水平复习25——直线、平面垂直的判定与性质


直线、平面垂直的判定与性质
一、基础知识
1、直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 ②判定定理: 一条直线和一个平面内的两条_____ ___直线都垂直, 则该直线和此平面垂直.

③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也________这个 平面. (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平

面,则垂直于平面内___ ②垂直于同一个平面的两条直线____ ③垂直于同一直线的两平面___ 2、平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②判定定理:一个平面过另一个平面的____________,则这两个平面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直,则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直. ____. _____. _____直线.

三、典型例题
例 1、 (1)下列结论:① a ∥ b , a ⊥ ? ? b ⊥ ? ;② a ⊥ ? , b ⊥ ? ? a ∥ b ; ③ a ⊥ ? , a ⊥ b ? b ∥ ? ; ④ a ∥ ? , a ⊥ b ? b ⊥ ? .其中正确的结论为( A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ (2)已知直线 a ⊥平面 ? , m 表示直线, ? 表示平面,有以下四个结论: ①? ⊥ ? ? a ∥ ? ; ② a ∥ m , m ? ? ? ? ⊥ ? ; ④若 a 与 ? 相交,则 ? 必与 ? 相交. A.4 B.3 ③ m ∥? ? a ⊥ m ; ( D.1 ) )

其中正确的结论个数有 C.2

例 2、过 ?ABC 所在平面 ? 外一点 P ,作 PD ? ? ,垂足为 D,连接 PA, PB, PC . (1)若 PA ? PB ? PC ,则点 D 是 ?ABC 的 心. 心.

(2)若 PA ? PB, PB ? PC , PC ? PA ,则点 D 是 ?ABC 的

1

例 3、如图,AB 是⊙ O 的直径,PA 垂直于⊙ O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任 意一点, (1)求证:BC⊥平面 PAC (2)求证:平面 PAC⊥平面 PBC;

例 4、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PCD 是边长为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 为菱形,且∠ADC ? 60? . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)求证 PA⊥CD.

例 5、如图,已知 ?ABC 是正三角形, EA、CD 都垂直于平面 ABC ,且 EA ? AB ? 2a , DC ? a , F 是 BE 的中点,求证: (1) FD / / 平面 ABC ; (2) AF ? 平面 EDB .

2

三、基础训练
1.两个平面 ? 与 ? 相交但不垂直,直线 m 在平面 ? 内,则在平面 ? 内 A.一定存在与直线 m 平行的直线 C.一定存在与直线 m 垂直的直线 ( )

B.一定不存在与直线 m 平行的直线 D.不一定存在与直线 m 垂直的直线 ( )

2.设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则能得到 a ? b 的一个条件是 A. a ? ? , b // ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? , b // ? , ? ? ?

3.已知 m 和 n 是两条不同的直线,? 和 ? 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一 定能推出 m ? ? 的是 A. ? ? ? ,且 m ? ? C. ? ? ? ,且 m ∥ ? B. m ∥ n ,且 n ? ? D. m ? n ,且 n ∥ ? ( ) ( )

4.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于 A. AC B. BD C. A1D

D. A1 D1

5. 在正四面体 P - ABC 中, D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中 不成立 的是 ( ) ... A. BC//平面PDF C. 平面PDF ^ 平面ABC B. DF ^ 平面PAE D. 平面PAE ^ 平面ABC

6. 如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE、 AF 及 EF 把这个正 方形折成一个空间图形,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 H,那 么,在这个空间图形中必有 ( ) A、HG⊥△AEF 所在平面 B、AG⊥△EFH 所在平面 C、HF⊥△AEF 所在平面 D、AH⊥△EFH 所在平面 7. 已知四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是一个正方形,PD 垂直于底面 ABCD,则这个四棱 锥的五个面中,互相垂直的平面共有 对。

8. 已知三条不重合的直线 m、n、l,两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题: ①若 l ? m , m // n ,则 l ? n ; ③若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; 其中正确的命题的序号是_____ __ ②若 l ? ? , m ? ?且l // m, 则? // ? ; ④若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? .

9.关于直线 m , n 与平面 ? , ? ,有以下四个命题,其中真命题的序号是____ _____ ①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ③若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n .
3

10. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面ABCD , 且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB ∥平面 AEC .

11. 如图, 侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?BAC ? 90? ,AB ? a ,AA1 ? 2a ,

D 为棱 BB1 的中点,求证: A1D ? 平面 ADC .

12. 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,?PAC 和 ?PBC 都是边长为 2 的等边三角形,AB ? 2 . (1)求证: AB ? PC ; (2)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC . P

A B

C

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