当前位置:首页 >> 数学 >>

2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.2直线的方程、直线的交点坐标与距离公式--教师用


思行教育
§9.2 直线的方程、直线的交点坐标与距离公式 ★知识梳理★ 1.直线方程的五种形式: 点斜式方程是 y-y0=k(x-x0);不能表示的直线为垂直于 x 轴的直线 斜截式方程为 y ? kx ? b ;不能表示的直线为垂直于 x 轴的直线 两点式方程为

y ? y1 x ? x1 ;不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线 ? y2 ? y1

x2 ? x1
x y ? ?1; 不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直 a b

截距式方程为 线.

一般式方程为 ax ? by ? c ? 0 . 2.几种特殊直线的方程: ①过点 P(a, b) 垂直于 x 轴的直线方程为 x=a;过 P(a, b) 垂直于 y 轴的直线方程 为 y=b ②已知直线的纵截距为 b ,可设其方程为 y ? kx ? b ; ③已知直线的横截距为 a ,可设其方程为 x ? my ? a ; ④过原点的直线且斜率是 k 的直线方程为 y=kx 3.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论) ①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜 率不存在,另一条直线的斜率为 0,则这两条直线垂直. ②已知直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2: y ? k2 x ? b2 , 若 l1 ,与 l 2 相交,则 k1 ? k2 ; 若 l1 ? l2 ,则 k1 ? k2 ? ?1 ;

若 l1 // l2 ,则 k1 ? k2 且 b1 ? b2 ; 若 l1 与 l 2 重合,则 k1 ? k2 , 且 b1 ? b2 4.几个公式 ①已知两点 P ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,则 | P P2 |? 1 1
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

② 设 点 A( x0 , y0 ) , 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0, 点 A 到 直 线 l 的 距 离 为

第 1 页 共 13 页

思行教育
d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

③设直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0, l2 : Ax ? By ? C? ? 0(C ? C?), 则 l1 与 l 2 间的距离 d ? 5.直线系 ① 与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程为 Ax ? By ? C? ? 0 ; ②与直线 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系方程为 Bx ? Ay ? C? ? 0 ; ③ 过 两 直 线 l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0, l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 的 交 点 的 直 线 系 方 程 为

| C ? C? | A2 ? B 2

a1x ? b1 y ? c1 ? ? (a2 x ? b2 y ? c2 ) ? 0, (?为参数)
★重难点突破★ 重点: 熟练利用五种形式求直线方程;掌握两条直线的平行与垂直的充要条件; 掌握两点之间的距离公式, 点到直线的距离公式, 会求两条平行线之间的距离。 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用;判断两条直线位置关 系时的分类讨论以及综合运用平行与垂直的充要条件、距离公式解题。 重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直 线方程;综合运用平行与垂直的充要条件和三个距离公式,进行合理转化之后 求直线方程。

基础自测

1.下列四个命题中真命题的序号是 . ①经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 ②经过任意两个不同点 P1 x1,y1) 2(x2,y2)的直线都可以用方程 ( ,P (y-y1)(x2 -x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 ③不经过原点的直线都可以用方程 x ? y ? 1 表示
a b

④经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示

第 2 页 共 13 页

思行教育
2.A、B 是 x 轴上两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程 为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程为 .

3.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为

.

4.过点 P(-1,2)且方向向量为 a=(-1,2)的直线方程为

.

5.一条直线经过点 A(-2,2) ,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则 此直线的方程为 .

例 1 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2) ,且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3) ,倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍.

例 2 过点 P(2,1)的直线 l 交 x 轴、y 轴正半轴于 A、B 两点,求使: (1)△AOB 面积最小时 l 的方程; (2)|PA|·|PB|最小时 l 的方程.

第 3 页 共 13 页

思行教育

例 3 (14 分)已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行线 l1:x+y+1=0,l2:x +y+6=0 截得的线段长为 5,求直线 l 的方程.

例4

求直线 l1:y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线 l2 的方程.

第 4 页 共 13 页

思行教育

1.(1)求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍 的直线方程; (2)过点 A(8,6)引三条直线 l1,l2,l3,它们的倾斜角之比为 1∶2∶4, 若直线 l2 的方程是 y= 3 x,求直线 l1,l3 的方程.
4

2.直线 l 经过点 P(3,2)且与 x,y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,△OAB 的面积为 12,求直线 l 的方程.

第 5 页 共 13 页

思行教育
3.已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a>0),直线 l2:4x-2y-1=0 和直线 l3:x +y-1=0,且 l1 与 l2 的距离是
7 5. 10

(1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的 1 ;③P 点到
2

l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 明理由.

2



5

.若能,求 P 点坐标;若不能,说

4.光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y+7=0 后反射,求反射 光线所在的直线方程.

第 6 页 共 13 页

思行教育
基础自测答案 1. ② 2.x+y-5=0 3.
5

4. 2x+y=0 5. x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 例题答案与解析 例 1.解 (1)方法一 设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2) , ∴l 的方程为 y= 2 x,即 2x-3y=0.
3

若 a≠0,则设 l 的方程为 x ? y ? 1 ,
a b

∵l 过点(3,2) ,∴ 3 ? 2 ? 1 ,
a a

∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 方法二 由题意知,所求直线的斜率 k 存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 令 y=0,得 x=3- 2 ,令 x=0,得 y=2-3k,
k

由已知 3- 2 =2-3k,解得 k=-1 或 k= 2 ,
k

3

∴直线 l 的方程为: y-2=-(x-3)或 y-2= 2 (x-3),
3

即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. (2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 ? , 则所求直线的倾斜角为 2 ? . ∵tan ? =3,∴tan2 ? =
2 tan ? 1 ? tan ?
2

=- 3 .
4

又直线经过点 A(-1,-3) , 因此所求直线方程为 y+3=- 3 (x+1),
4

第 7 页 共 13 页

思行教育
即 3x+4y+15=0.

例 2.解

方法一

设直线的方程为 x ? y ? 1 (a>2,b>1),
a b

由已知可得 2 ? 1 ? 1 .
a b

(1)∵2

2 1 ? a b

≤ 2 ? 1 =1,∴ab≥8.
a b

∴S△AOB= 1 ab≥4.
2

当且仅当 2 = 1 = 1 ,即 a=4,b=2 时,S△AOB 取最小值 4,此时直线 l 的方程为
a

b

2

x y ? 4 2

=1,即 x+2y-4=0.
a

(2)由 2 + 1 =1,得 ab-a-2b=0,
b

变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|·|PB|= (2 ? a)2 ? (1 ? 0)2 · =·[(2 ? a) 2 ? 1] ≥ ·
[(1 ? b) 2 ? 4]

(2 ? 0) 2 ? (1 ? b) 2

2(a ? 2) 4(b ? 1)

.

当且仅当 a-2=1,b-1=2, 即 a=3,b=3 时,|PA|·|PB|取最小值 4. 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0. 方法二 设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2) (k<0), 则 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A ? 2 ? 1 ,0 ? 、B(0,1-2k). ? ?
? k ?

(1)S△AOB= 1
?

1? ? ? 2 ? ? (1-2k) 2 ? k?
k ?

= 1 × ?4 ? (?4k ) ? (? 1 )? ? ?
2

≥ 1 (4+4)=4.
2

当且仅当-4k=- 1 ,即 k=- 1 时取最小值,此时直线 l 的方程为 y-1=
k

2

- 1 (x-2),即 x+2y-4=0.
2

第 8 页 共 13 页

思行教育
(2)|PA|·|PB|= ( 1 ) 2 ? 1 · k =
4 k2 ? 4k 2 ? 8 ≥4,

4 ? 4k 2

当且仅当

4 k
2

=4k2,即 k=-1 时取得最小值,

此时直线 l 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0.

例 3. 解 方法一 若直线 l 的斜率不存在, 则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1,l2 的交点分别是 A(3,-4) ,B(3,-9) , 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 若直线 l 的斜率存在时, 则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1, 分别与直线 l1,l2 的方程联立, 由?
? y ? k ( x ? 3) ? 1 , ?x ? y ? 1 ? 0
? k ?1 k ?1 ?

解得 A ? 3k ? 2 , 1 ? 4k ? . ? ? 由?
? y ? k ( x ? 3) ? 1 ,解得 ?x ? y ? 6 ? 0
2

B ? 3k ? 7 ,1 ? 9k ? , ? ?
? k ?1 k ?1 ?
2

由两点间的距离公式,得
? 3k ? 2 3k ? 7 ? ? ? ? k ?1 ? ? k ?1

+ ? 1 ? 4k ? 1 ? 9k ? =25, ? ?
? k ?1 k ?1 ?

解得 k=0,即所求直线方程为 y=1. 综上可知,直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 方法二 设直线 l 与 l1,l2 分别相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+y1+1=0,x2+y2+6=0, 两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5 ① 2 2 又(x1-x2) +(y1-y2) =25 ② 联立①②可得 ?
? x1 ? x 2 ? 5 ?x ? x ? 0 或? 1 2 , ? y1 ? y 2 ? 0 ? y1 ? y 2 ? 5

由上可知,直线 l 的倾斜角分别为 0°和 90°, 故所求的直线方程为 x=3 或 y=1.

例 4.解

方法一

由?

? y ? 2x ? 3 ?y ? x ? 1

第 9 页 共 13 页

思行教育
知直线 l1 与 l 的交点坐标为(-2,-1) , ∴设直线 l2 的方程为 y+1=k(x+2), 即 kx-y+2k-1=0. 在直线 l 上任取一点(1,2) , 由题设知点(1,2)到直线 l1、l2 的距离相等, 由点到直线的距离公式得
k ? 2 ? 2k ? 1 1 ?k
2 2



2?2?3 2 ? (?1)
2 2

,解得 k= 1 (k=2 舍去),
2

∴直线 l2 的方程为 x-2y=0. 方法二 设所求直线上一点 P(x,y), 则在直线 l1 上必存在一点 P1(x0,y0)与点 P 关于直线 l 对称. 由题设:直线 PP1 与直线 l 垂直,且线段 PP1 的中点 P2 ? x ? x0 , y ? y0 ? 在直线 l 上. ? ? ? ?
? 2 2 ?
? y0 ? y ? 1 ? ?1 ? ?x ? y ? 1 ∴ ? x0 ? x ,变形得 ? 0 , ? ? y0 ? x ? 1 ? y ? y 0 ? x ? x0 ? 1 ? 2 2 ?

代入直线 l1:y=2x+3,得 x+1=2×(y-1)+3, 整理得 x-2y=0. 所以所求直线方程为 x-2y=0.

知能迁移答案与解析 1. 解 (1)①当直线 l 在 x、y 轴上的截距都为零时, 设所求的直线方程为 y=kx, 将(-5,2)代入 y=kx 中,得 k=- 2 ,此时,直线方程为 y=- 2 x,
5 5

第 10 页 共 13 页

思行教育
即 2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时, 设所求直线方程为
y x ? 2a a

=1,将(-5,2)代入所设方程,解得 a=- 1 ,
2

此时,直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0. (2)设直线 l2 的倾斜角为 ? ,则 tan ? = 3 .
4

于是

tan ? 2

= 1 ? cos? sin ?



1?

4 5 ?1 3 3 5

,

3 4 ? 24 ? tan2 ? = 7 1 ? tan 2 ? 1 ? ( 3 ) 2 4 2 tan ? 2?

,

所以所求直线 l1 的方程为 y-6= 1 (x-8),
3

即 x-3y+10=0,l3 的方程为 y-6= 24 (x-8), 即 24x-7y-150=0.
7

2. 解 方法一

设直线 l 的方程为 x ?
a

y ? 1 (a>0,b>0), b

∴A(a,0),B(0,b), ∴ ? 3 ?

?ab ? 24, ?a ? 6, 解得 ? 2 ? a ? b ? 1. ?b ? 4. ?

∴所求的直线方程为 x ? y =1,
6 4

即 2x+3y-12=0. 方法二 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3), 令 y=0,得直线 l 在 x 轴上的截距 a=3- 2 ,
k

令 x=0,得直线 l 在 y 轴上的截距 b=2-3k. ∴ ? 3 ? 2 ? (2-3k)=24.解得 k=- 2 . ∴所求直线方程为 y-2=- 2 (x-3). ? ?
? k?
3 3

即 2x+3y-12=0.

3. 解

(1)l2 即为 2x-y- 1 =0,
2

∴l1 与 l2 的距离 d=

1 a ? (? ) 2 2 2 ? (?1) 2

7 5 ? 10

a?

,



1 2

=7

5

5 10

,∴ a ? 1 = 7 ,
2
2

∵a>0,∴a=3. (2)假设存在这样的 P 点.
第 11 页 共 13 页

思行教育
设点 P(x0,y0),若 P 点满足条件②,则 P 点在与 l1、l2 平行的直线 l′:2x -y+C=0 上, 且
C ?3 5



1 2

C? 5

1 2

,即 C= 13 或 C= 11 ,
2

6

∴2x0-y0+ 13 =0 或 2x0-y0+ 11 =0;
2

6

若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式

2 x0 ? y0 ? 3 5



2 5

×

x0 ? y0 ? 1 2



即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0; 由于 P 点在第一象限,∴3x0+2=0 不满足题意. 联立方程 ? ?
? 13 ?0 , 2 ? x0 ? 2 y 0 ? 4 ? 0 ? 2 x0 ? y 0 ?

解得 ? ?

? x0 ? ?3, 1 ? y0 ? 2 , ?

(舍去).

11 ? 2 x ? y ? ? 0, 由? 0 0 6 ? ? x0 ? 2 y0 ? 4 ? 0, ?

1 ? ? x0 ? 9 ? 解得 ? ? y ? 37 ? 0 18 ?

∴假设成立,P ? 1 , 37 ? 即为同时满足三个条件的点. ? ?
? 9 18 ?

4. 解 方法一 得?
? x ? ?1, ? y ? 2.

由?

? x ? 2 y ? 5 ? 0, ?3x ? 2 y ? 7 ? 0.

∴反射点 M 的坐标为(-1,2). 又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0) ,设 P 关于直线 l 的对称点 P′(x0,y0),由 PP′⊥l 可知,kPP′=- 2 =
3

y0 x0 ? 5

.

而 PP′的中点 Q 的坐标为 ? ? ? Q 点在 l 上,∴3·
x0 ? 5 2

x0 ? 5 y 0 ? ?, , 2 ? ? 2 ?
y0 2

-2·

+7=0.

? y0 2 17 ? ?x ?5 ? ? 3 , ? x 0 ? ? 13 , ? ? 0 由? 得? ? y ? ? 32 . ? 3 ( x ? 5) ? y ? 7 ? 0. 0 ? 0 ?2 0 13 ? ?

根据直线的两点式方程可得 l 的方程为
第 12 页 共 13 页

思行教育
29x-2y+33=0. 方法二 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点为 P′(x,y), 则
y0 ? y x0 ? x ?? 2 3

,
x ? x0 y ? y 0 ? ?在 , 2 ? ? 2 ?
y ? y0 2

又 PP′的中点 Q ? ? ? ∴3×
x ? x0 2

l 上,

-2×

+7=0, P 点的坐标为 x0= ?5x ? 12 y ? 42 ,y0= 12 x ? 5 y ? 28 ,
13 13

? y0 ? y 2 ?x ?x ?? 3 由? 0 可得 ? ?3 ? x0 ? x ? ( y ? y ) ? 7 ? 0 0 ? 2 ?

代入方程 x-2y+5=0 中, 化简得 29x-2y+33=0, 即为所求反射光线所在的直线方程.

第 13 页 共 13 页


相关文章:
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.2直线的方程、直线的交点坐标与距离公式--教师用
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.2直线的方程直线的交点坐标与距离公式--教师用 隐藏>> 思行教育§9.2 直线的方程、直线的交点坐标与距离公式 ...
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.2直线的方程、直线的交点坐标与距离公式--学生用
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.2直线的方程直线的交点坐标与距离公式--学生用 文科复习学案文科复习学案隐藏>> 信心、专心、 信心、专心、恒心...
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.3圆的方程--学生用
信心、专心、 信心、专心、恒心 2011 年高考数学一轮复习精品学案(人教版 A 版) 年高考数学一轮复习精品学案( §9.3 圆的方程★知识梳理★ 知识梳理★ 1. 圆...
数学:3.3《直线的交点坐标与距离公式》学案(新人教A版必修2)
数学:3.3《直线的交点坐标与距离公式》学案(人教A版必修2)_数学_高中教育_...应用:可以利用两直线的 的位置关系: 个数判断两直线 (1) 若二元一次方程组...
2012年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――直线与圆的方程
年高考数学一轮复习精品学案(人教版 A 版) 直线与...圆与方程 回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中...的截距 b;令 y = 0 得出 x 轴上的截 距 a...
2012年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――直线与圆的位置关系
年高考数学一轮复习精品学案(人教版 A 版) 直线、...1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标; 2....圆与圆的位置关系:依平面几何的圆心距|O1O2|与两...
3.3《直线的交点坐标和距离公式》导学案(人教A版必修2)
3.3《直线的交点坐标和距离公式》导学案(人教A版必修2)_数学_高中教育_教育专区...例 1 求下列两直线交点坐标: ,交点坐标与二元一次方程组的 l1 :3x+4y-2...
高二数学学案(直线方程)3.3直线的交点坐标与距离公式
高二数学学案(直线方程)3.3直线的交点坐标与距离公式_数学_高中教育_教育专区。...试一试:两点 A(?1,3), B(2,5) 之间的距离为___. 二、合作探究 例 ...
高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---函数与方程
(人教版 A 版)高考数学一轮复习精品学案---函数与方程 一.【课标要求】 1.结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的 零点...
更多相关标签:

相关文章