当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

对一个竞赛题目的思考


维普资讯 http://www.cqvip.com

± ! 兰  

中 学 生 数 学  

2 0 0 4 年1 O 月 上  

正方形肉钟的正+=边形 
江西省新 干县新干 中学 2 0 0 2 届特 招班( 3 3 1 3 0 0 )  李   智 

在学

习数学 的过程 中, 我们其 实正接受着  数学美 的熏 陶. 如果 我们 平 常善 于观 察 、 敢 于 

根据 图形 的对 称性 可 知此 十二 边形 为正 十 二 
边形.  

探索, 那么我们也许能得到更多美的享受. 例 
如, 对于一 个正 方形 , 我们 只要 稍 加修 饰 也许  能得到意想不到 的结果.   如图 1 , 由正方形 

如图 2 , 如 果 我 

们将 “ 向外侧” 改为  “ 向内侧” , 此猜想依 
然是成 立 的 , 证 法 类  似. 但 我们发现 AK、   B K、 …、 AN 的 中点  即为 所 做 等 边 三 角  形 的交点 , 这并不是巧合 .  
。 ?

A B C D分别 向外侧作  等边 三 角 形 A B K,  
B C L, C D M, D A N. 猜 M  

想四条线段 KL 、 L M、   MN、 NK 的 中点 及八  条线 段 A K、 B K、 B L 、  
C L、 C M 、 DM 、 DN 、   图 1  

图2  

。  

BC L一 / M C D一 6 0   ,  
BCD 一 9 O 。 ,  


. . 

/MC L一  DC L一 3 0 。 .  

AN 的中点围成一个正十二边形.   下面我们来证 明这猜想是否成立.  
P 1 P 2 一 l AD




. . 

MD 的 中点 P。 即为 C L与 D M 的交 

点, 其他位置 的点亦 同理有此式.  

1 AN
一 —

P3 P  一 1 AK

— P2 P3 ,  

根据以上一例的简单探索和研究 , 我们明  白对数学的探索并不一定是很高深 , 可望而不  可及 的. 所以, 我们 应该 培 养 自己乐 于发 散 思  维的兴趣 , 用 自己敏锐的双眼发现一些美的事  物, 而这也一定能激发出我们进一步探索的渴 
望, 最终能提高我们 的能力. ( 责审   余炯 沛)  

. 

P1 P2 = P2 P3 一 P3 P4,  

P 1 尸 2 P3一 / P1 P2 A+ / AP2 P3   —1 2 0 。 +3 0 。 一1 5 0 。 ,   P2 尸 3 P   一/ P 2 AP   =1 5 0 。 .  



个 
指导教师 计惠方  

的恩考 

浙江省湖州市双林中学高二( 9 ) 班( 3 1 3 0 1 2 )   钱欢欢等 

题 目   设 实 数 集 R 上 定 义 的 函 数   一 

J 群  ’ ? ’   z ∈ R,  ( z ) +f ( 一z ) 一1 ,  
?

,( z ) , 对 于任 何 z∈R 都 有 f( z ) + f( 一z ) 一 
1 , 则 这 个 函数 的 图像 (  
1  





) .  


[ 厂 ( z ) 一 号 ] + [ 厂 ( 一 z ) 一   1 ] 一 o ,  
F( z ) 一 厂( z ) 一  1
,  

( A)关 于 原 点 对 称  ( B )关 于 y轴 对 称 

( c )关 于 点 ( O , 去) 对 称 
厶 

则  F ( 一z ) 一厂 ( 一z ) 一去,  


( D)关 于 点 ( O , 1 ) 对 称  ( 湖州市第三届“ 立方杯” 高 中数 学 竞 赛 题 )  

?

? 

F( z ) + F( 一  ) 一0 ,   一 F( z ) 为 奇 函 

数, 其 图像 关 于 原 点 对 称 .  

( 下转 第 3 7页 )  

圃 

维普资讯 http://www.cqvip.com

2 0 0 4 年1 O月上 

中学生数 学 

中学 生习作  



类 数 列 

求 和 

江苏省 盱眙县 中学 高三( 1 ) 班( 2 1 1 7 0 3 )   王r忘  
学 习数列 时 , 我 们需 要 不断 的 归 纳 总结.   请看下 面的例子.   ① 已知 a   一, z ( , z +1 ) 求 S   .   ② 已知 a   一, z ( , z +1 ) ( , z +2 ) 求 S   .   常用解法
。 . 。 

( , z +2 ) ( , z +3 ) ( , z +4 ) ? o   o ( , z +8 ) 这 类 高 次 的 就 不  容易了 , 况 且对 , z  求 和 的 公 式 尚 未 有 人 给 出 .   - V面 给 出 一 个 较 方 便 的 解 法 : ( 以② 为例 ) .   ② 解 
S 一 1× 2× 3+ 2× 3× 4+ 3× 4× 5+ …  

① 解 

a   一, z ( , z + 1 ) 一, z   + , z ,  
S  一 1  + 2  + 3  + … +   , z  + 1+ 2+ 3+ … + , z  


+, z ( , z + 1 ) ( , z +2 )  
1   二


.  . 

( 1× 2× 3× 4— 0× 1 × 2× 3 ) + 

, z ( , z + 1 ) ( 2 , z + 1 ) ., z ( , z + 1 )  
6   。   2  

1  


5( 2 ×3 ×4 ×5 —1 ×2 ×3 ×4 ) +…  
1  

一   , z 。 + , z   + . 詈 - , z .  
②解
‘ . . 

+÷[ , z ( , z +1 ) ( , z +2 ) ( , z +3 ) 一( , z 一1 )  
, z ( , z +1 ) ( , z +2 )l  
1  


a  一 , z ( , z +1 ) ( , z +2 )  
一, z   + 3 n  + 2n。   S  : = : 1 。 + 2 。 +3 。+ … + , z 。 +  3(1  + 2  + 3  + … + 

÷, z ( , z +1 ) ( , z +2 ) ( , z +3 ) .  
4 

化 简 后 和 上 解 相 同.  

, z   ) + 2 ( 1 +2 + 3 + … + , z )  


这种解法显然要方便 多 了, 用 它 能 够 解 决 
类 问题. 由 一 般 地 我 们 可 以得 到 : 若a   一 ( n  
+1 ) ( , z +2 ) +…+(  +  ) , 则 
1  



[ 丛 
L   n  

] z +3.  
  0

± 
6  


±  

9 . 丝  ± 
。一   2  

s   一—{ , z ( , z +1 ) ( , z +2 ) …( , z +  + 1 ) .  
1 tt   I   L 

÷ , z   + 导 , z 。 +   , z   + 萼 , z .  

同时 , 我们还 可 以看 出这 个公 式 与 , z  和  的公 式 有 一 定 的 联 系 , 这 可 从 用 常 用 解 法 解 ①  与 ② 的 过 程 中 反 映 出来 , 有 兴 趣 的 同 学 不 妨 试 


但 这 种 解 法 只对 于 较 少 的 连 续 自然 数 积 求 
和 比较 方便 , 而对 于复 杂 一 些 的 如 a   一, z ( , z +1 )   ( 上接第 3 6页 )  
。 . ‘ 

试.  

( 责审   余炯 沛)  

的图像关于原点对称 ; 从 而  —f( z ) 的 图像 关  于点 ( n, 0 ) 对称 ,  —f( z ) 的 图像 由 (  —F( z)   的图像平移 } a} 个单 位得 到 , 其中a > 0时 , 向 
右; n < O时 , 向左 . )  
1  

— f( z) 的图像 由   — F( z ) 的 图 像 
1  
厶 

向上 平 移 ÷ 个 单 位 得 到 ,  
.  . 

一, ( z ) 的图像关于 ( o , ÷) 对称.  
厶  

结论 3   设 实 数 集 R 上 定 义 的 函 数  = = :  

上 述 解 法 中有 一 点 值 得 重 视 , 即 回归 到 奇  函数 的 定 义 , 利 用 这 种 方 法 我 们 可 以得 到 上 述 
题 目的 几 个 一 般 性 结 论 .  

, ( z ) , 对 任 何 z∈ R 都 有 f( z ) + ,( 2 a— z) 一  

c , 则这个 函数 的图像 关于点( a , ÷) 对称.  
厶 

简析

设 a —z —t , 则 f( a— t ) + f( a +t )  

结论 1   设 实 数 集 R 上 定 义 的 函 数  —  f ( x) , 对 任 何 z∈ R 都 有 f( z) + f( 一  ) 一C ,  

一C , 利用结论 1 , 2可 得 结 果 .   结论 4   设 实 数 集 R 上 定 义 的 函 数   一 

则这 个函数 的图像关 于点 ( o , ÷) 对称.  
厶 

, ( z ) , 对任何 z ∈R, 都有 f ( a +z ) +f ( b —z ) = = :   c , 则 这 个 函数 的 图像关 于点 (   a -  ̄ - b C) 对称
,  
.  

结论 2   设 实 数 集 R 上 定 义 的 函 数  — 
f ( x) , 对 任 何 z∈ R 都 有 f( a +z ) +f ( a— z)  

厶 

厶 

简 析   设 f( a +z ) 一 f( t ) , 则 ,( t ) + ,( a   +b —t ) 一C , 利 用 结 论 3可 得 结 果 .   ( 责审   余炯沛)  

一0 , 则 这 个 函数 的 图像 关 于 点 ( n , O ) 对称.   简 析  设 F( z ) 一厂 ( a+ z) , 则 F( 一z ) 一 
f( a— z) , F( z) + F( 一 z) 一 0,   . ‘ .   v — F( z)  

圈 


相关文章:
解题-对一道竞赛试题的思考-杨广亮
解题-对一竞赛试题的思考-杨广亮_学科竞赛_小学教育_教育专区。高中数学总结 对一竞赛试题的思考杨广亮 (高新区枫杨街 郑州外国语学校 河南 郑州 450001) 题目...
对一道奥赛题的思考
对一道奥赛题的思考_学科竞赛_小学教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 对一道奥赛题的思考_学科竞赛_小学教育_教育专区。对一道奥赛题的思考 ...
一道竞赛题的探究创新与思维拓展
此类型竞赛题从更高的角度来思考, 它可以归纳为以一个等边三角形两边为底, 向...(如图 11)是各种方法中最为简便且适用于各种题型变化的一种方法,也是笔者 对...
对信息学竞赛中动态规划问题的认识与思考
对信息学竞赛中动态规划问题的认识与思考_军事/政治_人文社科_专业资料。【关键字】动态规划、状态 【 摘要】本文讨论了一种解决问题十分有效的技术—动态规划。它...
青少年科技创新大赛选题思考与建议
青少年科技创新大赛选题思考与建议_六年级其它课程_其它课程_小学教育_教育专区。...正确而又 合适的选题,对参赛项目来说具有重要意义。 1.选题决定项目的价值和...
程序设计竞赛题解、思考与变通
程序设计竞赛题解、思考与变通(2014 湖南理工学院程序设计竞赛评析) 1.旅馆开关...(" 由 %d 个 1 组成的整数能被 %d 整除。\n",n,p); } 思考:对指定...
不等式竞赛题的深入思考
不等式竞赛题的深入思考_高一数学_数学_高中教育_教育专区。思考 1 2003 年...b ? c ? h. 对于直角三角形的情景,文[1]已经给出证明,对应钝角三角形的...
数学创新思维竞赛试题1
数学创新思维竞赛试题一一、填空(每题 5 分,共 50 分) : 1、 小林家住在三楼,他每上一层楼要走 14 级台阶,小林从一楼走到三楼要走( )级台阶 。 2、 ...
数学竞赛复习思考题
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 数学竞赛复习思考题 隐藏>> 1. 如果 a ? 2ab ? b ? 2 ,且 b ...
杨言红 对一道数学竞赛题的探讨
杨言红 对一道数学竞赛题的探讨_学科竞赛_高中教育_教育专区。对一道数学竞赛题的探讨 对一道数学竞赛题的探讨白银市第八中学 杨言红本文是笔者在一次与同事讨论...
更多相关标签:
知识竞赛思考题 | 头脑奥林匹克竞赛题目 | 航空知识竞赛题目 | 六年级作文竞赛题目 | 古诗文竞赛题目及答案 | 作文竞赛题目 | 五年级作文竞赛题目 | 四年级作文竞赛题目 |