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2016年温州中学奥赛数学评估四(必修二)试题卷、答题卷及参考答案


命题者

前进工作室
2016.9

注:不得使用任何电子产品,检测范围:主要考察必修二

奥赛班 数学能力评估四 试题卷
[ MATHEMATICS ] (本卷满分:150分 考试时间:120分钟) 第一部分(共2小题,第I题15分,第II题25分,计40分) I.[解答]如图,E、F 分别为线段

AB、AD 上的点,BF 与 DE 交于点 C.若 AE ? EC ? AF ? FC ,证明: AB ? BC ? AD ? DC .

第I题

II.⑴[填空]设 a、b、c、d、e、f 为实数,已知
a ? 2b ? 3c ? 4d ? 5e ? 6 f ? 21.

则 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? e2 ? f 2 ? ?a ? b ? c ? d ? e ? f ?2 的最小值为



⑵[解答]把 12× 12 的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色, 使得由方格线 围成的任何 3× 4 和 4× 3 长方形内都至少有一个黑格.试求黑格个数的最小值.

奥赛班 数学能力评估四试卷 第 1 页 共 12 页

命题者

前进工作室

第二部分(共 3 大题,计 110 分)

一、单项选择题(共 2 小题,每题 5 分,计 10 分) . 2 2 1. 若实数x,y满足 x ? y ? 1 ,则 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y 的最小值是

(

)

A.2 B.3 C.2.4 D.1.8 2. 桌上放着4堆火柴两人依次轮流做取火柴游戏:游戏者每次任意取走其中一 堆,并把余下两堆中的任意一堆分成非空的两堆.谁无法这样做,就算失 败.假如一开始4堆火柴中有3堆是2根,另一堆是n根,若使先取火柴的一方 有必胜策略,则n的可能值为 ( ) A.34 B.45 C.59 D.66 二、填空题(共12小题,每题6分,计72分) . 3. 已知集合

M ? ?x, y? x ? m,y ? ?3m ? 2,m ? N? , N ? ?x, y? x ? n,y ? a?a ? n ?1?,n ? N? ,
则使得 M ? N ? ?的整数a的个数为 . ? 1 ?? p? 已知抛物线 y ? ? ?x? p? ?? x ? 2 ? 上有点 ?x0 , y0 ? 满足: x0 为正整数, y0 为质数 ? ? ?? 的平方.则 x0 ? y0 的值为 . 已知 ?ABC 等腰直角三角形,其中∠C为直角,AC=BC=1,过点B作平面ABC 的垂线DB,使得DB=1,在DA、DC上分别取点E、F,则 ?BEF 周长的最小 值为 . 现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器,则该容器棱长 最小值为 . 平面上三条直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 , x ? 2 ? 0 , x ? ky ? 0 ,如果这三条直线将平 面划分成六个部分,则 k 可能取值的个数是 . 设平面点集:

?

?

?

?

4.

5.

6. 7. 8.

? 18 ? ? ? 2 2 A ? ??x, y ?? y ? x ?? ? y ? ? ? 0? , B ? ?x, y ??x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 , 25x ? ? ? ?
若 ?x, y ? ? ? A ? B? ,则 2 x ? y 的最小值为 . 9. 若从空间一点最多可以引出a条射线,使得其中每两条射线夹角均为钝角, 则a的值为 . 10. 空间中的n条直线满足任意三条中必有两条异面, 且不存在3条两两异面的直 线,则n的最大可能值为 . 11. 已知三棱锥 P ? ABC 的各侧面都与底面成45° 角,且底面是一个钝角三角形, 三边长为3个连续偶数,则此三棱锥的体积为 . 12. 在四面体ABCD中,AB=AC=3,BD=BC=4,BD⊥面ABC,则四面体ABCD 的外接球的半径为 . 13. 空间内若存在一个正方体,它的8个顶点到一个平面的距离恰好为 0,1,2,3,4,5,6,7.则正方体的棱长为 .
奥赛班 数学能力评估四试卷 第 2 页 共 12 页

?

?

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S K M B A D
第 14 题

14. 如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是平行四 边形ABCD, 过棱SC的中点K和点A作一平 面,分别交棱SB和SD于点M和N,若V表 示四棱锥 S ? ABCD 的体积,V1表示四棱 V 锥 S ? AMKN 的体积,则 1 的取值范围 V 为 .

N C

三、解答题(本大题分 2 小题,共 28 分) . O 15. (本题满分12分)如图,圆 的圆心在坐标原点,过 点 P?0, 当直线 1? 的动直线 l 与圆 O 相交于 A , B 两点.
l 平行于 x 轴时, 直线 l 被圆 O 截得的线段长为 2 3 . ⑴ 求圆 O 的方程; ⑵ 在平面直角坐标系 xOy 内,是否存在与点 P 不

同的定点 Q ,使得

QA QB

?

PA PB

恒成立?若存在,求出

点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
第 15 题

奥赛班 数学能力评估四试卷 第 3 页 共 12 页

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前进工作室

16. (本题满分16分)如图,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为4, 且 OB ? OD ? 6 . ⑴ 求证: OA ? OC 为定值; ⑵ 当点 A 在半圆 ?x ? 2? ? y 2 ? 4?2 ? x ? 4? 上运动时,求点 C 的轨迹.
2

第 16 题

奥赛班 数学能力评估四试卷 第 4 页 共 12 页

班级 姓名 考号 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 装订线 装订线 装订线

命题者

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奥赛班 数学能力评估四 答题卷
[ MATHEMATICS Answer question volume] (满分:150 分 时间: 120 分钟) 第一部分(共2小题,第I题15分,第II题25分,计40分) I. [解答,15 分]如图,E、F 分别为线段 AB、AD 上的点,BF 与 DE 交于点 C.若 AE ? EC ? AF ? FC ,证明: AB ? BC ? AD ? DC .

第I题

II. ⑴[填空,9 分]设 a、b、c、d、e、f 为实数,已知
a ? 2b ? 3c ? 4d ? 5e ? 6 f ? 21.

则 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? e2 ? f 2 ? ?a ? b ? c ? d ? e ? f ?2 的最小值为
奥赛班 数学能力评估四试卷 第 5 页 共 12 页



命题者

前进工作室

⑵[解答,16 分]把 12× 12 的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色,使得 由方格线围成的任何 3× 4 和 4× 3 长方形内都至少有一个黑格.试求黑格个数的 最小值.

第二部分(共 3 大题,计 110 分) 一、单项选择题(共 2 小题,每题 5 分,计 30 分) .

题目 答案

1

2

二、填空题(共 12 小题,每题 6 分,计 72 分) . 3、 6、 9、 12、 4、 7、 10、 13、 5、 8、 11、 14、

奥赛班 数学能力评估四试卷 第 6 页 共 12 页

命题者

前进工作室

三、解答题(本大题分 2 小题,共 28 分) . 15、 (本题满分12分)如图, 圆 O 的圆心在坐标原点, 过点 P?0, 1? 的动直线 l 与圆 O 相交于 A , B 两点.当直线
l 平行于 x 轴时,直线 l 被圆 O 截得的线段长为 2 3 . ⑴ 求圆 O 的方程; ⑵ 在平面直角坐标系 xOy 内,是否存在与点 P 不

同的定点 Q ,使得

QA QB

?

PA PB

恒成立?若存在,求出
第 15 题

点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

奥赛班 数学能力评估四试卷 第 7 页 共 12 页

命题者

前进工作室

16、(本题满分16分)如图,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长 为4,且 OB ? OD ? 6 . ⑴ 求证: OA ? OC 为定值; ⑵ 当点 A 在半圆 ?x ? 2? ? y 2 ? 4?2 ? x ? 4? 上运动时,求点 C 的轨迹.
2

第 16 题

奥赛班 数学能力评估四试卷 第 8 页 共 12 页

命题者

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奥赛班 数学能力评估四试卷 参考答案
[ MATHEMATICS Examination paper reference answer] (本卷满分: 150 分) 第一部分(共2小题,第I题15分,第II题25分,计40分) I.

(5 分)

(10 分)

(15 分)

II.⑴ [填空] (9 分)

3 4

奥赛班 数学能力评估四试卷 第 9 页 共 12 页

命题者

前进工作室

⑵ [解答] 解 所求黑格个数的最小值 n=12.(5 分) 先证明 n ≥ 12. 12 ? 12 ? 12 个(除边界外) 由于 12× 12 单位方格纸可划分为 3? 4 互不相交的 3× 4 方格长方形. 由题设可知这些长方形各至少有一个黑色方格, 故至少要涂 12 个黑色方格.(12 分) 要证明 n=12,只需构作一个可行的例子,见下图.

(16 分)

第二部分(共 3 大题,计 120 分) 一、单项选择题(共 2 小题,每题 5 分,计 10 分) . [ 1~2 ] B C

二、填空题(共 12 小题,每题 6 分,计 72 分) . 3、 10 6、 4 ? 2 6 9、 4 12、
805 10

4、 7 7、 3 10、 5 13、
21 4

5、

2? 2

8、 -1 11、 5
?1 3? 14、 ? , ? ?3 8?

奥赛班 数学能力评估四试卷 第 10 页 共 12 页

命题者

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三、解答题(本大题分 2 小题,共 28 分) . 15、(12 分)(可能有多种解法) ⑴ 设圆 O 半径为 r ,依题意有 ( 3)2 ? 12 ? r 2 . 所以
r 2 ? 4 ,圆 O 方程为 x2 ? y 2 ? 4 .

………………………………………………3 分 ⑵ 设符合条件的点 Q 存在.

第 15 题

当直线 l 平行于 x 轴时, PA ? PB ,由此可得 QA ? QB .又此时 A 、
B 关于 y 轴对称,因此,点 Q 在 y 轴上.设 Q(0 , t) .

PB t ? 1 (舍去) ? 2) , B(0 , 2) 时,同理可得 t ? 4 ) . (当 A(0 , 4) . 因此,若点 Q 存在,则点 Q 只能为 Q(0 , ………………………………………………6 分
4) 符合要求. 下面证明点 Q(0 , 4) 符合要求. 当直线 AB 斜率不存在或为 0 时,由前面讨论可知点 Q(0 ,

2) ,B(0 , ? 2) .由 当 l ? x 轴时, A(0 ,

QA QB

?

PA

,得

1 ? ,t ? 4 或 t ?2 3

t ?2

当直线 AB 斜率存在且不为 0 时,设 AB 方程为 y ? kx ? 1 .

? y ? kx ? 1 由? 2 ,得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 . 2 ? x ?y ?4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ∴
kQA ? kQB ?
?2k ?3 , x1 x2 ? 2 . 2 k ?1 k ?1

y1 ? 4 y2 ? 4 kx1 ? 1 ? 4 kx2 ? 1 ? 4 ? ? ? x1 x2 x1 x2

?2k 2 x ?x 1 1 ? 2k ? 3( ? ) ? 2k ? 3 ? 1 2 ? 2k ? 3 ? k ? 1 ? 2k ? 2k ? 0 . ?3 x1 x2 x1 x2 2 k ?1

?AQO ? ?BQO .

………………………………………………10 分 ∴
QP 平分 ?AQB ,由角平分线性质定理知,

QA QB

?

PA PB



4) . 综上可知,符合条件的点 Q 存在,其坐标为 Q(0 ,

(共 12 分)
奥赛班 数学能力评估四试卷 第 11 页 共 12 页

命题者 16、(16 分)(可能有多种解法)

前进工作室

(4 分)

(8 分)

(12 分)

(12 分)

奥赛班 数学能力评估四试卷 第 12 页 共 12 页


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