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2015-2016学年四川省眉山市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年四川省眉山市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.复数 z= +i3(i 为虚数单位)的共轭复数为( )

A.1+2i B.i﹣1 C.1﹣i D.1﹣2i 2. y=f ′ x) 设函数 f (x) 在定义域内可导, (x) 的图象如图所示, 则导函数 y=f( 可能为 (



A.

B.

C.

D.

2 3. =4 的圆心, 已知抛物线的顶点为坐标原点, 焦点是圆 x2+ (y﹣3) 则抛物线的方程是 ( ) A.y2=6x B.x2=6y C.y2=12x D.x2=12y 4.已知△ABC 中,∠A=30°,∠B=60°,求证 a<b.证明:∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A <∠B,∴a<b,画线部分是演绎推理的是( ) A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论 5.已知两直线 y=ax+2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于( ) A.2 B.1 C.0 D.﹣1

6.函数 y= x2﹣lnx 的单调递减区间为( A. (﹣1,1] B. (0,1] 7.若椭圆 C.[1,+∞) 和双曲线

) D. (0,+∞) 有相同的焦点 F1、F2, )

P 是两曲线的交点,则|PF1|?|PF2|的值是( A. B. C.b﹣n D.a﹣m 8.设点 P 是曲线 y= x3﹣2x2+(4﹣ 取值范围是( A.[ π,π) ) B. ( , π] C.[0,

)x 上任意一点,P 点处切线的倾斜角为 α,则 α 的

)∪[ π,π) D.[0,

)∪[ π,π)

9.已知 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,Q 是圆(x﹣3)2+(y﹣1)2=1 上的一个动点,N (1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D. +1

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10.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则



类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径 为 R,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 R=( ) A. C. B. D.

11.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f′(x)+f(x)﹣2>0,f(0)=3,f′(x)是 f(x)的 导函数,则不等式 exf(x)>2ex+1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) A. B. C. D. (﹣∞,0)∪(3,+∞) (0,+∞) (﹣∞,0)∪(1,+∞) (3, +∞) 12.如图,已知椭圆 + =1(a>b>0) ,点 P 是椭圆上位于第一象限的点,点 F 为椭圆

的右焦点, 且|OP|=|OF|, 设∠FOP=α 且 α∈[



], 则椭圆离心率的取值范围为 (



A.[

﹣1, ] B.[2﹣



]

C.[

﹣1,

]

D.[2﹣

, ]

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设函数 f(x)=ex﹣e2x,则 f(x)的最小值为 . 2 2 14.过 P(8,3)作双曲线 9x ﹣16y =144 的弦 AB,且 P 为弦 AB 中点,那么直线 AB 的 方程为 . 15.如果 P1,P2,P3 是抛物线 C:y2=8x 上的点,它们的横坐标依次为 x1,x2,x3.F 是抛 物线 C 的焦点,若 x1+x2+x3=10,则|P1F|+|P2F|+|P3F|= . 3 2 16.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,定义 f″(x)是函数 y=f(x)的导函数 y=f′ (x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的图 象的“拐点”,可以证明,任何三次函数的图象都有“拐点”,任何三次函数的图象都有对称中 心,且“拐点”就是对称中心.请你根据这一结论判断下列命题: ①任意三次函数都关于点(﹣ ,f(﹣ ) )对称;

②存在三次函数 y=f(x) ,f(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的 图象的对称中心; ③存在三次函数的图象不止一个对称中心; ④若函数 g(x)= x3﹣ x2﹣ =﹣1008
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,则 g(

)+g(

)+g(

)+…+g(



其中正确命题的序号为

(写出所有正确命题的序号)

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ,短轴的两个端点分别为 B1、B2 (1)若△F1B1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,且 l 的斜率为 1,求 |PQ|的长. 18.设函数 f(x)= x3﹣ x2+2x+a (1)当 a=﹣ 时,求函数 y=f(x)图象上在点(3,f(3) )处的切线方程; (2)若方程 f(x)=0 有三个不等实根,求实数 a 的取值范围. 19.已知圆 C: (x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R) (1)求证:直线 l 过定点 A(3,1) ,且直线 l 与圆 C 相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的方程. 20.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式:y= +10(x﹣6)2,其中 3<x<6,a 为常数,已知销

售的价格为 5 元/千克时,每日可以售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得 的利润最大,并求出最大值. 21.已知椭圆 C 经过点(﹣1, )和(2, ) ,求

(1)椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C 的上顶点 B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆 C 相交于点 P、Q,试问直线 PQ 是否经过定点,若经过定点请求出定点并说明理由. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣x+1,x∈(0,+∞) ,g(x)=x3﹣3a2x, (a>0) 1 f x ( )求 ( )的最大值; (2)若对? x1∈(0,+∞) ,总存在 x2∈[1,2]使得 f(x1)≤g(x2)成立,求 a 的取值范 围.

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2015-2016 学年四川省眉山市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.复数 z= +i3(i 为虚数单位)的共轭复数为( )

A.1+2i B.i﹣1 C.1﹣i D.1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】解:z= 其共轭复数为 1+2i, 故选:A. 2. y=f ′ x) 设函数 f (x) 在定义域内可导, (x) 的图象如图所示, 则导函数 y=f( 可能为 ( ) +i3= ﹣i=﹣(i﹣1)﹣i=1﹣2i,

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象;导数的运算. 【分析】先从 f(x)的图象判断出 f(x)的单调性,根据函数的单调性与导函数的符号的 关系判断出导函数的符号,判断出导函数的图象 【解答】解:由 f(x)的图象判断出 f(x)在区间(﹣∞,0)上递增;在(0,+∞)上先增再减再增 ∴在区间(﹣∞,0)上 f′(x)>0,在(0,+∞)上先有 f′(x)>0 再有 f′(x)<0 再有 f′ (x)>0 故选 D.
2 3. =4 的圆心, 已知抛物线的顶点为坐标原点, 焦点是圆 x2+ (y﹣3) 则抛物线的方程是 ( 2 2 2 2 A.y =6x B.x =6y C.y =12x D.x =12y 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】结合题目所给条件,得出抛物线的焦准距,即可得出答案. 【解答】解:∵抛物线的焦点是圆 x2+(y﹣3)2=4 的圆心, ∴抛物线的焦点为(0,3) ,



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又抛物线的顶点为坐标原点, ∴ =3,∴p=6, ∴抛物线的方程为 x2=12y. 故选:D. 4.已知△ABC 中,∠A=30°,∠B=60°,求证 a<b.证明:∵∠A=30°,∠B=60°,∴∠A <∠B,∴a<b,画线部分是演绎推理的是( ) A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论 【考点】演绎推理的意义. 【分析】首先把求证:a<b 写成三段论形式,即可看出证明画线部分是演绎推理的小前提. 【解答】解:“求证:a<b”写成三段论是: 大前提:因为在三角形中,大角对大边, 小前提:而∠A=30°,∠B=60°,则∠A<∠B 结论:所以 a<b. 故证明画线部分是演绎推理的小前提. 故选:B. 5.已知两直线 y=ax+2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于( A.2 B.1 C.0 D.﹣1 )

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】先求出求出两直线的斜率,利用两直线垂直,斜率之积等于﹣1 求得 a 值. 【解答】解:直线 y=ax+2 的斜率等于 a,y=(a+2)x+1 的斜率为 (a+2) , ∵两条直线 y=ax+2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直, ∴a(a+2)=﹣1,解得 a=﹣1, 故选:D. 6.函数 y= x2﹣lnx 的单调递减区间为( A. (﹣1,1] B. (0,1] C.[1,+∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】 由 y= x2﹣lnx 得 y′=

) D. (0,+∞)

, 由 y′≤0 即可求得函数 y= x2﹣lnx 的单调递减区间.

【解答】解:∵y= x2﹣lnx 的定义域为(0,+∞) ,

y′=



∴由 y′≤0 得:0<x≤1, ∴函数 y= x2﹣lnx 的单调递减区间为(0,1]. 故选:B.

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7.若椭圆

和双曲线 )

有相同的焦点 F1、F2,

P 是两曲线的交点,则|PF1|?|PF2|的值是( A. B. C.b﹣n D.a﹣m 【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 【分析】利用椭圆、双曲线的定义,结合 |PF1|?|PF2|=

,即可得到结论.

【解答】 解: ∵椭圆 F1、F2,P 是两曲线的交点, ∴|PF1|+|PF2|=2 ,||PF1|﹣|PF2||=2 ∴|PF1|?|PF2|= 故选 D. 8.设点 P 是曲线 y= x3﹣2x2+(4﹣ 取值范围是( A.[ π,π) ) B. ( , π]

和双曲线

有相同的焦点

, =a﹣m.

)x 上任意一点,P 点处切线的倾斜角为 α,则 α 的

C.[0,

)∪[ π,π) D.[0,

)∪[ π,π)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求得函数的导数,设出切点 P(m,n) ,可得切线的斜率,配方可得斜率的最小值, 由正切函数的图象,即可得到所求范围. 【解答】解:y= x3﹣2x2+(4﹣ )x 的导数为 y′=x2﹣4x+4﹣

=(x﹣2)2﹣ , 设 P(m,n) , 可得切线的斜率为 k=tanα=(m﹣2)2﹣ 即有 tanα≥﹣ , 可得 α∈[0, 故选:D. )∪[ ,π) .



9.已知 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,Q 是圆(x﹣3)2+(y﹣1)2=1 上的一个动点,N (1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D. +1 【考点】圆与圆锥曲线的综合.

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【分析】由题意画出图形,根据 N 为抛物线的焦点,可过圆(x﹣3)2+(y﹣1)2=1 的圆心 M 作抛物线的准线的垂线 MH,交圆于 Q 交抛物线于 P,则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH| ﹣1. 【解答】解:如图,

由抛物线方程 y2=4x,可得抛物线的焦点 F(1,0) , 又 N(1,0) ,∴N 与 F 重合. 过圆(x﹣3)2+(y﹣1)2=1 的圆心 M 作抛物线的准线的垂线 MH,交圆于 Q 交抛物线于 P, 则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1=3. 故选:A.

10.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则



类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径 为 R,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 R=( ) A. C. B. D.

【考点】类比推理. 【分析】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面, 由内切圆类比内切球, 由平面图形面积类比立体图形的体积, 结合求三角形的面积的方法类 比求四面体的体积即可. 【解答】解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R= 故选 C.

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11.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f′(x)+f(x)﹣2>0,f(0)=3,f′(x)是 f(x)的 导函数,则不等式 exf(x)>2ex+1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) A. B. C. D. (﹣∞,0)∪(3,+∞) (0,+∞) (﹣∞,0)∪(1,+∞) (3, +∞) 【考点】导数的运算;利用导数研究函数的单调性. 【分析】令 F(x)=exf(x)﹣2ex﹣1,从而求导 F′(x)=ex(f(x)+f′(x)﹣2)>0,从 而由导数求解不等式. 【解答】解:解:令 F(x)=exf(x)﹣2ex﹣1 则 F′(x)=ex[f(x)+f′(x)﹣2]>0, 故 F(x)是 R 上的单调增函数, 而 F(0)=e0f(0)﹣2e0﹣1=0, 故不等式 exf(x)>2ex+1(其中 e 为自然对数的底数)的解集为(0,+∞) 故选:B.

12.如图,已知椭圆

+

=1(a>b>0) ,点 P 是椭圆上位于第一象限的点,点 F 为椭圆

的右焦点, 且|OP|=|OF|, 设∠FOP=α 且 α∈[



], 则椭圆离心率的取值范围为 (



A.[

﹣1, ] B.[2﹣



]

C.[

﹣1,

]

D.[2﹣

, ]

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】通过设椭圆的左焦点为 F′,作点 P 关于原点对称的点 B,连接 PF′、BF、PF、BF′ 构造矩形 PFBF′,用 α 的三角函数值表示|PF|、|BF|,进而利用离心率公式计算即得结论. 【解答】解:设椭圆的左焦点为 F′,作点 P 关于原点对称的点 B, 连接接 PF′、BF、PF、BF′,则四边形 PFBF′为矩形. 因此|PB=|FF′|=2c, ∵|PF|+|BF|=2a,|PF|=2csinα,|BF|=2ccosα, ∴2csinα+2ccosα=2a,
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∴e=

=



又∵α∈[ ∴α+ ∵ = ∴e∈[ ∈[

, ,

], ],sin(α+ )∈[ ], , )∈[ ], , ],

sin(α+ ﹣1,

故选:C.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设函数 f(x)=ex﹣e2x,则 f(x)的最小值为 ﹣e2 . 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的 最小值即可. 【解答】解:f′(x)=ex﹣e2, 令 f′(x)>0,解得:x>2, 令 f′(x)<0,解得:x<2, ∴f(x)在(﹣∞,2)递减,在(2,+∞)递增, ∴f(x)≥f(2)=﹣e2, 故答案为:﹣e2. 14.过 P(8,3)作双曲线 9x2﹣16y2=144 的弦 AB,且 P 为弦 AB 中点,那么直线 AB 的 方程为 3x﹣2y﹣18=0 . 【考点】双曲线的简单性质. B 的坐标, 【分析】 设出 A, 代入双曲线方程, 两式相减, 根据中点的坐标可知 x1+x2 和 y1+y2 的值,进而求得直线 AB 的斜率,根据点斜式求得直线的方程. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 P 为弦 AB 中点, 可得 x1+x2=16,y1+y2=6, 又 9x12﹣16y12=144,9x22﹣16y22=144, 相减可得,9(x1+x2) (x1﹣x2)﹣16(y1+y2) (y1﹣y2)=0,
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即为 9(x1﹣x2)﹣6(y1﹣y2)=0, 可得 kAB= = ,

则直线的方程为 y﹣3= (x﹣8) ,即 3x﹣2y﹣18=0. 故答案为:3x﹣2y﹣18=0. 15.如果 P1,P2,P3 是抛物线 C:y2=8x 上的点,它们的横坐标依次为 x1,x2,x3.F 是抛 物线 C 的焦点,若 x1+x2+x3=10,则|P1F|+|P2F|+|P3F|= 16 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由抛物线性质得|PnF|=xn+ =xn+2,由此能求出结果. 【解答】解:∵P1,P2,P3 是抛物线 C:y2=8x 上的点,它们的横坐标依次为 x1,x2,x3, F 是抛物线 C 的焦点, x1+x2+x3=10, ∴|P1F|+|P2F|+|P3F| =(x1+2)+(x2+2)+(x3+2) =x1+x2+x3+6 =16. 故答案为:16. 16.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) ,定义 f″(x)是函数 y=f(x)的导函数 y=f′ (x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的图 象的“拐点”,可以证明,任何三次函数的图象都有“拐点”,任何三次函数的图象都有对称中 心,且“拐点”就是对称中心.请你根据这一结论判断下列命题: ①任意三次函数都关于点(﹣ ,f(﹣ ) )对称;

②存在三次函数 y=f(x) ,f(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的 图象的对称中心; ③存在三次函数的图象不止一个对称中心; ④若函数 g(x)= x3﹣ x2﹣ =﹣1008 其中正确命题的序号为 ①②④ (写出所有正确命题的序号) 【考点】导数的运算;函数的值. 【分析】①根据函数 f(x)的解析式求出 f′(x)和 f″(x) ,令 f″(x)=0,求得 x 的值, 3 2 由此求得三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的对称中心; ②③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断; ④由函数 g(x)的对称中心是( ,﹣ ) ,得 g(x)+(g(1﹣x)=﹣1,由此能求出答 案. 【解答】解:∵f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) , 2 ∴f′(x)=3ax +2bx+c,f''(x)=6ax+2b,
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,则 g(

)+g(

)+g(

)+…+g(



∵f″(x)=6a×(﹣

)+2b=0, ,f(﹣ ) )对称,即①正确;

∴任意三次函数都关于点(﹣

∵任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心, ∴存在三次函数 f′(x)=0 有实数解 x0,点(x0,f(x0) )为 y=f(x)的对称中心,即②正 确; 任何三次函数都有且只有一个对称中心,故③不正确; ∵g′(x)=x2﹣x,g″(x)=2x﹣1, 令 g″(x)=0,可得 x= ,∴g( )=﹣ , ∴g(x)= x3﹣ x2﹣ 对称中心为( ,﹣ ) ,

∴g(x)+g(1﹣x)=﹣1, ∴g( )+g( )+g( )+…+g( )=﹣=﹣1×1008=﹣1008,故④正确.

故答案为:①②④. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(﹣ ,0) ,F2( ,0) ,短轴的两个端点分别为 B1、B2 (1)若△F1B1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,且 l 的斜率为 1,求 |PQ|的长. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)利用椭圆的几何性质得出 a,b,c 之间的关系解出 a,b,c 即可; (2)联立直线方程与椭圆方程得出 P,Q 坐标的关系,代入弦长公式计算. 【解答】解: (1)设椭圆方程为 ∵椭圆焦点坐标为 F1(﹣ ,0) ,F2( ∴c= , 由椭圆的定义得 B1F1=a,B1B2=2b, ∵△F1B1B2 为等边三角形, ∴ ,解得 a=2,b=1. , (a>b>0) . ,0) ,

∴椭圆的方程为

. .

(2)直线 l 的方程为 y=x﹣

联立方程组

,得 5x2﹣8

x+8=0.

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设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 x1+x2= ∴|PQ|= ? =

,x1x2= . = .

18.设函数 f(x)= x3﹣ x2+2x+a (1)当 a=﹣ 时,求函数 y=f(x)图象上在点(3,f(3) )处的切线方程; (2)若方程 f(x)=0 有三个不等实根,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求得 f(x)的导数,运用导数的几何意义,可得切线的斜率,求得切点坐标, 运用点斜式方程可得切线的方程; (2)求得 f(x)的导数,可得单调区间和极值,由题意可得 f(x)的极大值大于 0,极小 值小于 0,解不等式即可得到所求 a 的范围. 【解答】解: (1)当 a=﹣ 时,f(x)= x3﹣ x2+2x﹣ , 导数 f′(x)=x2﹣3x+2, 可得在点(3,f(3) )处的切线斜率为 k=9﹣9+2=2, 3 0 切点为( , ) , 可得函数 y=f(x)图象上在点(3,f(3) )处的切线方程为 y=2(x﹣3) , 即为 2x﹣y﹣6=0; (2)函数 f(x)= x3﹣ x2+2x+a 的导数为 f′(x)=x2﹣3x+2, 当 1<x<2 时,f′(x)<0,f(x)递减; 当 x>2 或 x<1 时,f′(x)>0,f(x)递增. 可得 f(x)在 x=1 处取得极大值,且为 +a; f(x)在 x=2 处取得极小值,且为 +a. 由方程 f(x)=0 有三个不等实根, 可得 +a>0,且 +a<0, 解得﹣ <a<﹣ . 则 a 的取值范围是(﹣ ,﹣ ) . 19.已知圆 C: (x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R) 1 l A 3 1 l ( )求证:直线 过定点 ( , ) ,且直线 与圆 C 相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的方程. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1) 将点 A 的坐标代入直线 l 的方程, 得出方程成立即可证明 l 过定点 A; 再由|AC| <r,证明直线 l 与圆 C 相交;
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(2)由平面几何的知识得 l 被圆 C 截得最短的弦是与直径 AC 垂直的弦,由此求出直线 l 的方程. 【解答】解: (1)证明:将点 A(3,1)代入直线 l 的方程, 得左边=3(2m+1)+(m+1)=7m+4=右边, 所以直线 l 过定点 A; 又|AC|= = <5,

所以点 A 在圆 C 内, 所以对任意的实数 m,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)由平面几何的知识可得, l 被圆 C 截得最短的弦是与直径 AC 垂直的弦, 因为 kAC= =﹣ ,

所以直线 l 的斜率为 kl=2, 所以直线 l 的方程为 y﹣1=2(x﹣3) , 即 2x﹣y﹣5=0 为直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的方程. 20.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克)满足关系式:y= +10(x﹣6)2,其中 3<x<6,a 为常数,已知销

售的价格为 5 元/千克时,每日可以售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得 的利润最大,并求出最大值. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (1)由 x=5 时,y=11,代入函数的解析式,解关于 a 的方程,可得 a 值; (2)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销 售量的利润函数为关于 x 的三次多项式函数, 再用求导数的方法讨论函数的单调性, 得出函 数的极大值点,从而得出最大值对应的 x 值. 【解答】解: (1)因为 x=5 时,y=11, y= +10(x﹣6)2,其中 3<x<6,a 为常数.

所以 +10=11,故 a=2; (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x﹣6)2, +10(x﹣6)2]

所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)=(x﹣3)[

=2+10(x﹣3) (x﹣6)2,3<x<6. 从而,f′(x)=10[(x﹣6)2+2(x﹣3) (x﹣6)]=30(x﹣6) (x﹣4) , 于是,当 x 变化时,f(x) 、f′(x)的变化情况如下表: x 4 (3,4) (4,6) f'(x) + 0 ﹣ f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减
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由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

21.已知椭圆 C 经过点(﹣1,

)和(2,

) ,求

(1)椭圆 C 的标准方程; (2)过椭圆 C 的上顶点 B 作两条互相垂直的直线分别与椭圆 C 相交于点 P、Q,试问直线 PQ 是否经过定点,若经过定点请求出定点并说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)将两点坐标代入椭圆的标准方程解方程组得出 a,b; (2)设两条直线方程分别为 y=kx+1,y=﹣ x+1,分别与椭圆方程联立解出 P,Q 坐标得 出直线 PQ 的方程,即可得出定点坐标. 【解答】解: (1)设椭圆方程为 (a>0,b>0 且 a≠b) .



,解得 a2=9,b2=1.

∴椭圆方程为:



(2)椭圆的上顶点为 B(0,1) , 由题意可知直线 BP 的斜率存在且不为 0. 设直线 BP 的方程为 y=kx+1,则直线 BQ 的方程为 y=﹣ x+1.

联立方程组

,得(1+9k2)x2+18kx=0,

∴P(﹣



) ,

同理可得 Q(



) .

∴直线 PQ 的斜率 kPQ=



∴PQ 的直线方程为 y﹣

=

(x﹣

) ,即 y=

x﹣ .

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∴直线 PQ 过定点(0,﹣ ) . 22.已知函数 f(x)=lnx﹣x+1,x∈(0,+∞) ,g(x)=x3﹣3a2x, (a>0) (1)求 f(x)的最大值; (2)若对? x1∈(0,+∞) ,总存在 x2∈[1,2]使得 f(x1)≤g(x2)成立,求 a 的取值范 围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)由导数求出函数的单调区间,由单调性求出函数的最大值; 2 ( )由 f(x1)≤g(x2)恒成立,等价于 f(x1)max≤g(x2)max,通过讨论 a 的范围,确 定 g(x)的单调区间,求出 g(x)的最大值,从而求出 a 的范围. 【解答】解: (1)∵f(x)=lnx﹣x+1,x∈(0,+∞) , ∴f′(x)= ,

∴当 0<x<1 时,f′(x)>0, 当 x>1 时,f′(x)<0, ∴f(x)≤f(1)=0, ∴f(x)的最大值为 0; (2)若对? x1∈(0,+∞) ,总存在 x2∈[1,2]使得 f(x1)≤g(x2)成立, f x g x 依题意地 ( 1)max≤ ( 2)max,其中 x1∈(0,+∞) ,x2∈[1,2], 由(1)知 f(x1)max=f(1)=0 而 g′(x)=3(x﹣a) (x+a) , (a>0) , ①0<a≤1 时,x∈[1,2],g′(x)≥0 恒成立, ∴g(x)在[1,2]递增,此时 g(x)max=g(2)=8﹣6a2, 由题意得 ,

∴0<a≤1; ②1<a<2 时,x∈(1,a) ,g′(x)<0,x∈(a,2) ,g′(x)>0, g x 1 a a 2 ∴ ( )在( , )递减,在( , )递增, ∴g(x)max=max{g(2) ,g(1)}, 若 g(1)>g(2) ,即 1﹣3a2>8﹣6a2 即 a2> , 此时 1﹣3a2<0 不合题意; 若 g(1)≤g(2)即 1﹣3a2≤8﹣6a2,即 a2≤ , ∴1<a≤ ,

由题意得



∴1<a≤


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③a≥2 时,x∈[1,2],g′(x)≤0 恒成立, ∴g(x)在[1,2]递减, ∴g(x)max=g(1)=1﹣3a2<0 不合题意, 综上,a∈(0, ].

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2016 年 9 月 5 日

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