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2.2椭圆及其标准方程(第1、2课时)


§2.2 椭圆及其标准方程

安徽省东至县第三中学 张国平
QQ:770697541

用一个平面去截一个圆锥面,当平面经过圆锥 面的顶点时,可得到两条相交直线; 当平面与圆锥面 的轴垂直时,截线(平面与圆锥面的交线)是一个 圆. 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时,观察截 线的变化情况,并思考: ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?这些曲线具 有哪些几何特征?

α

θ

θ

θ

椭圆

双曲线

抛物线

探究 :椭圆有什么几何特征?
活动1:动手试一试

数学史:

古希腊数学家Dandelin在圆锥截 面的两侧分别放置一球,使它们 都与截面相切(切点分别为F1, F2),又分别与圆锥面的侧面相 切(两球与侧面的公共点分别构 成圆O1和圆O2).过M点作圆锥 面的一条母线分别交圆O1,圆O2 与P,Q两点,因为过球外一点 作球的切线长相等,所以 MF1 = MP,MF2 = MQ, MF1 + MF2 =MP + MQ = PQ=定值 =

V

Q
F1

O2
F2

M P

O1

1、椭圆的定义: 、椭圆的定义:
F1

M

F2

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 平面内到两个定点 的距离之和 常数(大于|F 椭圆。 常数(大于 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 )的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 焦点 叫做椭圆的焦距 焦距。 叫做椭圆的焦距。 椭圆形成演示 MF1 + MF2 = 2a 椭圆定义.gsp 椭圆定义
F1 F2 = 2c

2a > 2c > 0时, 为椭圆

思考:是否平面内到两定点之间的距离 和为定长的点的轨迹就是椭圆?
想一想.gsp

结论:(若 PF1+PF2为定长)
1)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2满 足PF1+PF2> F1F2时,P点的轨迹是椭圆。 2)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2满 足PF1+PF2= F1F2时,P点的轨迹是一条线段 F1F2 。 3)当动点P到定点F1、F2距离PF1、PF2满 足PF1+PF2< F1F2时,P点没有轨迹。

太阳系

神舟六号在进入太空后,先以远地点 公里、 神舟六号在进入太空后,先以远地点347公里、近地 公里 公里的椭圆轨道运行, 调整为距地343公 点200公里的椭圆轨道运行,后经过变轨调整为距地 公里的椭圆轨道运行 后经过变轨调整为距地 公 里的圆形轨道. 里的圆形轨道

中国水利水电科学研究院研究表明: 中国水利水电科学研究院研究表明: 拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计, 拱桥的桥拱采用基于椭圆的优化设计, 无论从力学原理,还是从施工角度考虑 无论从力学原理, 都是优越于传统的圆弧型和抛物线型的。 都是优越于传统的圆弧型和抛物线型的。

生活中有椭圆, 生活中有椭圆, 生活中用椭圆。 生活中用椭圆。

求曲线方程的一般步骤? 求曲线方程的一般步骤?

建系 代坐标

设点

列式

化简、证明 化简、

2、椭圆的标准方程 、
椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1、F2的距离的和为 , 与 的距离的和为2a 椭圆的焦距为 怎样建立平面直角坐标系呢? 怎样建立平面直角坐标系呢?

y
M ( x, y )
F1(- c,0 ) F2 (c,0 )

O

x

MF1 + MF2 = 2a

y

F 1

O

对于含有两个 F x 根式的方程, 根式的方程, 如图,以经过椭圆两焦点F ,F 的直线为x轴, 可以采用移项 线段F F 的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy.
2

M(x, y)

1

2

1 2

两边平方或 由椭圆的定义,椭圆就是集合P = {M MF + MF = 2a} . 者为2c(c > 0), y)是 设M(x, y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距 分子有理化 (-c,0),(c,0).又 那么焦点F ,F 的坐标分别为(-c,0),(c,0).又设M与F ,F 的距 离的和等于2a. 进 因为 MF = (x + c) + y , MF = (x - c) + y , 行化简。 行化简。
1 2
1 2 1 2

1

2

2

2

2

2

所以

(x + c)2 + y 2 + (x - c)2 + y 2 = 2a.

为 化简 这 个方 程 ,将 左 边 的一 个 根式 移 到右 边 ,得 (x + c)2 + y 2 = 2a - (x - c)2 + y 2 ,
将这 个方 程 两边 平 方, 得 (x + c)2 + y 2 = 4a 2 - 4a (x - c)2 + y 2 + x + c)2 + y 2 , (

整 理 得 a 2 - c x = a ( x - c )2 + y 2 ,
上边两式再平方,得 a4 - 2a2cx + c2 x 2 = a2 x 2 - 2a2cx + a2c2 + a2 y 2 ,

整 理 得 (a 2 - c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2(a 2 - c 2 ),
x2 y2 + 2 2 = 1. ① 2 a a -c 2c,即 c,所 由椭圆的定义可知,2a > 2c, a > c,所以a 2 - c2 > 0. 即 令 b2 = a 2 - c2

a =b +c
2 2

2

a > b > 0, a > c > 0

x y + 2 =1 2 a b

2

2

(a > b > 0 )
y
M

叫做椭圆的标准方程,焦点在 轴上。 叫做椭圆的标准方程,焦点在x 轴上。 椭圆的标准方程 焦点在y 轴上, 焦点在 轴上,可得出椭圆
F1

o

F

2

x

y x + 2 =1 2 a b

2

2

(a > b > 0 )

它也是椭圆的标准方程。 它也是椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程
定 义 y 图 形 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M F1
F 2 M

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点
a,b,c之间 之间 的关系

x2 y 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
F(±c,0) F(±

y2 x2 + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
F(0,±c) F(0,

c2=a2-b2

求法: 一定焦点位置;二设椭圆方程;三求a、b的值.

(-4, ) 例1.椭圆的两个焦点的坐标分别是(- ,0) .椭圆的两个焦点的坐标分别是(- ),椭圆上一点 到两焦点距离之和等于10, (4,0),椭圆上一点 到两焦点距离之和等于 , , ),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于 求椭圆的标准方程。 求椭圆的标准方程。 椭圆的焦点在x轴上 解: ∵椭圆的焦点在 轴上
.

∴设它的标准方程为: 设它的标准方程为 ∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2-c2=52-42=9

x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
F1

2

2

y
M

o

F2

x

x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 + 9 = 1

求椭圆的标准方程 判断类型 (1)首先要判断类型, )首先要判断类型, (2)用待定系数法求 a, b ) 待定系数法求 椭圆的定义 a2=b2+c2

2.  2, 例 2.   已 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 坐 标 分 别 为 ( - 2 , 0 ) , 5 3 ( 2, 0) 并 且 经 过 点 ( , ) , 求 它 的 标 准 方 程 . 2 2
解 :因 为 椭 圆 的 焦 点 在 x轴 上 , 所 以 设 它 的 标 准 方 程 为 x y + = 1 (a > b > 0 ). a b
2 2 2 2

由椭圆的定义知 ?5 ? ? 3? ?5 ? ? 3? 2a = ? + 2 ? + ? - ? + ? - 2 ? + ? - ? = 2 10 ?2 ? ? 2? ?2 ? ? 2?
2 2 2 2

所 以 a = 10. 又 因 为 c = 2, 所 以 b = a - c = 10 - 4 = 6.
2 2 2

因 此,所求椭圆的标准方程为 x y + =1. 10 6
2 2 2 2

1 1 1 )、 )的 变式引申:求焦点在y轴上,且经过点A( , )、B(0,- )的 3 3 2 椭 圆 的标 准 方 程 .
解 将 A( 1 3 y x : 设 所 求 椭 圆 的 方 程 为 + = 1, a b 1 1 , ), B (0 , )代 入 得 : 3 2 2 ? ? 1 ?2 ? 1 ? ?? ? ? ? ?? 3 ? + ? 3 ? = 1 ? 2 2 ? a b , ? 2 ?? 1 ? ??? ? 2 ? ? = 1 2 ? ? a 1 ? 2 a = , ? ? 4 解 得 : ? ?b2 = 1 . ? 5 ? y x 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 + = 1. 1 1 5 4
2 2 2 2 2 2



焦点在y轴上 这句话去掉,怎么办? 轴上” ?思考一个问题:把“焦点在 轴上”这句话去掉,怎么办?

~ 求曲线方程的方法:

定义法:如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线(圆,椭圆等)的定义,则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法:所求曲线方程的类型已知, 则可以设出所求曲线的方程,然后根据条件求 出系数.用待定系数法求椭圆方程时,要“先定 型,再定量”.

x y 3.若 1,表 例3.若 + = 1,表示焦点在x轴上的椭圆,则 m n m,n满 m,n满足什么条件,并指出焦点坐标.
2 2

x y =1表 解:若 + =1表示焦点在x轴上的椭圆,则 m n m > n > 0, 且c = m - n,
2 2

所以,焦点坐标为( m - n,0),(- m - n,0).

变式引申: ⑴若焦点在y轴上; ⑵如果不指明在哪个坐标轴上; =1表 m,n应 ⑶若mx +ny =1表示椭圆,m,n应满足什么条件.
2 2

x y 解:(1)若 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,则 (1)若 =1表 m n n > m > 0, 且c = n - m,
2 2

所以,焦点坐标为(0, n - m ),(0,- n - m ). x y (2)若 =1表 0且 (2)若 + =1表示椭圆, 则m > 0,n > 0且m ≠ n. m n (3)若 =1表 0且 (3)若mx + ny =1表示椭圆, 则m > 0,n > 0且m ≠ n,
2 2

2

2

0, 0, 当m > n > 0 ,表 示焦 点在 y 轴上 的椭 圆; 当n > m > 0 , 表 示焦 点在 x 轴上 的椭 圆.

4上 例4.在圆x +y = 4上任取一个点P,过点P作 4.在
2 2

x轴的垂线PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线 PD, 段PD的中点M的轨迹是什么?为什么? PD的
解 : 设 点 M 的 坐 标 为 (x, y), 点 P 的 坐 标 为 (x , y ), 则
0 0

y x = x ,y = . 2 )在 4上 因 为 点 P (x 在圆x圆 xy += 4= 4运动, 点P的运动引起 y 4上 上 , 所 以 分析:点P , y ) 在 + 上
0 0

2

2 2

2

0

0

① PD的 点M的运动.我们可x + yM为线段PD的中点得到点M 以由 = 4.
2 0 2 0

2y代 与点把坐标x, y = 2y 代 入 方并由点P的坐标满足圆的方 P x = 之 间 的 关系 式 , 程 ① , 得
0 0



程 得 到 点M 的 坐 标 所 满 足的 方 程 .
x + y = 1. 4 所以点M的轨迹是一个椭圆.
2 2

x + 4y = 4,
2 2

~

求曲线方程的方法:

代入法:或中间变量法,利用所求曲线上的 动点与某一已知曲线上的动点的关系,把所求动 点转换为已知动点满足的曲线的方程,由此即可 求得动点坐标x,y之间的坐标。

9,从 变式引申:已知圆x + y = 9,从这个圆上任意一点 uur uuur P向x轴作垂线PP′,点M在PP′上,并且PM = 2MP′, 点 求
2 2

M 的 轨 迹.
y),点 ), 解:设点M的坐标为(x, y), 点P的坐标为(x , y ),则
0 0

点P ′的坐标为(x ,0). uuur uuuur x,-y), 由PM = 2MP ′得:(x - x , y - y ) = 2(x - x,-y),即
0 0 0 0


0 0

?x - x ? ?y - y x = x, y
0 2 2 2

0

= 2(x - x)
0

0

= 2(-y)
0

,

= 3y.
2

)在 9上 ∵ P(x , y )在圆x + y = 9上, 代入得 9, x + 9y = 9, x =1,∴ 即 + y =1,∴ 点M的轨迹是一个椭圆. 9
2 2

变式题组一
x2 y2 1.已知椭圆方程为 + = 1 ,则这个椭圆的焦距为( ) 23 32 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2.F1、F2是定点,且 F1F2 = 6,动点M满足 MF1 + MF2 = 6, 则点M的轨迹是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 x2 y2 3.已知椭圆 + = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16 为3,则P到另一焦点的距离为( ) (A)2 (B)3 (C)5 (D) 7

变式题组二
1.如果方程 x 2 +ky 2 =1表示焦点在 y轴上的椭圆, 那么实数 k的取值范围是( ) (A)(0,+? ) (B)(0,2) (C)(1,+? ) (D)(0,1) x2 y 2 2.椭圆 + =1的焦距是2,则实数 m的值是( m 4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 x2 y 2 3.已知 F1、 F2是椭圆 + = 1的 两个焦点,过 25 49 F1的直线与椭圆交于 A、 B两点,则 D ABF2的 周长为( (A)8 6 ) (B)20 (C)24 (D)28 )

1、方程 、

(x + 3)

2

+y +
2

(x ? 3)

2

+ y 2 = 10

表示________。 表示________。 ________ 2 2 2 2 2、方程 、 (x + 3) + y + (x ? 3) + y = 6 表示________ ________。 表示________。 2 2 3、方程 、 x 2 + ( y + 3) + x 2 + ( y ? 3) = 10 表示________。 表示________。 ________ 4、方程 、 (x + 3) + 4 + 的解是________ ________。 的解是________。
2

(x ? 3)

2

+ 4 = 10

巩固练习
x y 1.如 =1上 1.如果椭圆 + =1上一点P到焦点F的距离等于6,那么点P到 100 36 另一焦点F 的距离是( 14 ).
2 2 1 2

x y 2.椭 =1的 2.椭圆 + =1的焦点坐标是( m - 2 m +5 A.( ±7,0) B.(0, ±7)
2 2

D

).

C.( ± 7,0)

D.(0, ± 7)

5 3 3.两 )的 3.两 个 焦 点 的 坐 标 是 (-2, 0),(2, 0), 且 经 过 点 P( , - ) 的 椭 圆 方 程 2 2 是( D ). x y y x A. + =1 B. + =1 10 6 10 6 x y y x C. + =1 D. + =1 9 6 9 6
2 2 2 2 2 2 2 2

x y 4 .椭 圆 .椭 + = 1的 焦 距 是 2( m 4 A .5 A .5 或 8
2 2

C

).

C .3 或 5
2

D .2 0
2

x y .已 5 .已 知 经 过 椭 圆 + = 1的 右 焦 点 F 作 垂 直 于 x轴 25 16 的 直 线 AB,交 椭 圆 于 A,B两 点 , F 是 椭 圆 的 左 焦 点 .
2 1

)求 (1 ) 求 △ A F B 的 周 长 ;
1

)如 (2 ) 如 果 A B 不 垂 直 于 x 轴 , △ A F B 的 周 长 有 变
1

化吗?为什么?

一、二、二、三
一个概念; 一个概念; 二个方程; 二个方程; 二个方法: 二个方法: |MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 + 2 =1 2 a b
y2 x2 + 2 =1 2 a b

(a > b > 0 )

去根号的方法; 去根号的方法;求标准方程的方法

三个意识:求美意识, 三个意识:求美意识, 求简意识, 求简意识, 猜想的意识。 猜想的意识。

作业

P95

练习 1 、2、4 2 、 3、 4

习题 2.2


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