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云南省玉溪一中2017届高三上学期第二次月考试卷数学(理).doc


玉溪一中高三年级第二次月考数学试卷(理)
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 2 1.已知集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? y | y ? x , x ? R ,则 A ? B =

>?

?

?

?

A. ?

B. ?0,1? U? 3, ?? ?

C.0,3) )

D.(1,3)

2.若 z ? (1 ? i)i ( i 为虚数单位) ,则 Z 的虚部是( A. 1 B. ? 1 C. i

D. ? i

2 3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a2 、 a4 是方程 x ? x ? 2 ? 0 的两个根,则 S5 ?

A. ?

5 2

B. ? 5

C. 5

D.

5 2

x 2 ? 2x ? 1 1 在 [ ,3] 的最小值为() 4.已知 f ( x) ? x 2
A.

1 2

B.

4 3

C.-1

D.0

5.已知双曲线 C:

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x , 且其右焦点为 (5,0) , 2 4 a b

则双曲线 C 的方程为()

x2 y2 ? ?1 A. 9 16

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 B. 16 9 3 4 4 3

6.已知命题 p : a ? 0 ? b ,命题 q : a ? b ? a ? b ,则命题 p 是 q 的() A.充分不必要条件 C.充要条件
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.函数 f ( x) ? x ? e ln x 的零点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3

8.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形,则此四 面体的外接球的体积为() A.

4? 3

B. 3? D. ?

C.

3 ? 2

9..若函数 y= a (a>0,且 a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则函数 y= log a x 的图像大致 是()

x

10 .程序框 图如下:

如果上述程序运行的结果 S 的值比 2016 小,若使输出的 S 最大,那么判断框中应填入 A. k ? 10 ? B. k ? 10 ? C. k ? 9 ? D. k ? 9 ? )

11.已知等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a3 ? 10, a2 ? a4 ? 5, 则 a1a2 ?an 的最大值为( A.32 B.64C.128 D.256

12.已知函数 f ( x)的定义域为[?2,??) ,且 f (4) ? f (?2) ? 1 , f ?( x)为f ( x) 的导函数,函数

y

y ? f ?( x) 的图象如图所示. ()

a?0 ? ? b?0 则平面区域 ? 所围成的面积是 ? f ( 2a ? b) ? 1 ?
A.2 B.4C.5 D.8

-2

o

x

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 y ?

log0.5 x 的定义域为___________.
3 6 ) 的展开式的第二项的系数为 ? 3 ,则 a 的值为。 6
0

14.二项式 ( ax ?

AC ? AD ? AC,则 AC ? AB ? 。 15.在矩形 ABCD 中, ?CAB ? 30 ,
2 y2 C 与过原点的直线相交于 A , B 两点, 16.已知椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , a b

BF ,若 AB ? 10 , AF ? 6 , cos ?ABF ? 4 ,则 C 的离心率 e ? . 连接 AF , 5

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

2? ) ? 2 cos 2 x, 3

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调减区间; (2)将函数 f ( x) 图象向右平移 间 0,

? ]上的最小值。 2

? 个单位长度后得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区 3

18. 中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于 2016 年 7 月 14 日在山东威海开赛, 种 子选手 M 与 B1,B 2,B3 三位非种子选手分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计, M 获胜的概率分别为 , , ,且各场比赛互不影响。 (1)若 M 至少获胜两场的概率大于

3 2 1 4 3 2

7 ,则 M 入选征战里约奥运会的最终名单,否则不予 10

入选,问 M 是否会入选最终的名单? (2)求 M 获胜场数 X 的分布列和数学期望。 19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?ADC ? 450 ,AD=AC=1, P O 为 AC 的中点,PO ? 平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点。 M (1)证明:PB//平面 ACM; (2)证明:AD ? 平面 PAC (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值。 D O C

A 20. 已知过抛物线 y 2 ? 2Px( P ? 0) 的焦点,斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A( , (x1 , y1 )B

B( x2 , y2 )(x1 ? x2 )两点,且AB ? 9 .
(1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ?OB, 求?的值。

x 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? e ? 1 ?

ax x ?1

(Ⅰ)若曲线 y ? f ? x ? 在 2, f ? 2? 处的切线过 ? 0, ?1? ,求 a 的值; (Ⅱ)求证:当 a ? ?1 时,不等式 f ? x ? ? ln x ? 0 在 ? 0,1? U?1, ??? 上恒成立.

?

?

请考生在 22,23,两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐 标方程为 ? sin ? ? ?

? ?

??

? x ? ?1 ? cos ? 2 曲线 C2 的参数方程为 ? , ( ? 为参数) . a, ?? 4? 2 ? y ? ?1 ? sin ?

(Ⅰ)求 C1 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 C1 与 C2 有两个公共点时,求实数 a 取值范围.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? log 2 x ? 1 ? x ? 5 ? a . (Ⅰ)当 a ? 5 时,求函数 f ? x ? 的定义域; (Ⅱ)当函数 f ? x ? 的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围.

?

?

玉溪一中高三年级第二次月考数学试卷答案(理)
一、选择题: 1.D 2.B 3.D 二、填空题: 13. 4.D 5.B 6.A 7.A 8.C 9.A 10.C 11.B 12.B

?x | 0 ? x ? 1?

14. -1

15. 12 16 .

5 7

三、解答题: 17.解: (1)由已知得 f ( x) ? cos( 2 x ? 单调减区间 [k? ?

?
3

) ? 1, ? T ? ?

?
6

, k? ?

?
3

], k ? Z

(2) g ( x) ? cos( 2 x ?

?

? 1 ) ? 1, g ( x)在 [0, ]上的最小值 。 3 2 2

18.(1)M 与 B1,B 2,B3 进行对抗赛获胜的事件分别为 A,B,C,M 至少获胜两场的事件 为 D,,则 P(A) ?

3 2 1 ,P(B) ? ,P(C) ? ,由于事件 A,B,C 相互独立,所以 4 3 2 3 2 1 3 2 1 3 1 1 P( D) ? P( ABC ) ? P( AB C ) ? P( ABC ) ? P(ABC) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 1 2 1 17 ,17 7 ? ? ? ? , ? 由于 ,所以 M 会入选最终的名单。 4 3 2 24 24 10

(2)M 获胜场数 X 的可能取值为 0,1,2,3,则 P(x ? 0) ?

1 1 1 1 ? ? ? 4 3 2 24

3 1 1 1 1 1 1 2 1 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 3 2 1 3 1 1 1 2 1 11 P(x ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 3 2 1 6 P(x ? 0) ? ? ? ? 4 3 2 24 P(x ? 1) ?
X P 0 1 2 3 M

P

11 6 24 24 D 1 6 11 6 23 ? 0? ? 1? ? 2? ? 3? ? 数学期望 E(X) 。 24 24 24 24 12
19.(1)略;(2)略; (3) tan ?MAN ?

1 24

6 24

C N O A B

4 5 5
P ) ,由 2

20.(1)解:设直线 AB 的方程为 y ? 2 2 ( x ?

P ? y ? 2 2(x ? ) 2 2 ? 2 ? 4 x ? 5Px ? p ? 0 ? y 2 ? 2 px 5p x1 ? x 2 ? AB ? x1 ? x2 ? p ? 9, 所以p ? 4 y 2 ? 8x 4
(2)由 p=4 得 x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? 4, y1 ? ?2 2, y2 ? 4 2

A(1,?2 2 ), B(4,4 2 ). OC ? (1,?2 2 ) ? ?(4,4 2 ) ? (1 ? 4?,?2 2 ? 4 2?)
因为 C 在抛物线上,所以(-2 2 ? 4 2?) 2 ? 8(1 ? 4?) ,则 ? ? 0或? ? 2 。 21.解: (Ⅰ)定义域为

x ?? ??,1? ? ?1, ??? f ? 2? ? e2 ?1? 2a
2

f ? ? x ? ? ex ?

a ? x ? 1? ? ax

? x ? 1?

? ex ?

a

? x ? 1?

?

f ? ? 2? ? e2 ? a ? 切线 y ? ? e2 ? 1 ? 2a ? ? ? e 2 ? a ? ? x ? 2 ?
2 2 将 ? 0, ?1? 代入,得 ?1 ? e ? 1 ? 2a ? ?2e ? 2a ? a ? ?

?

?

e2 4

(Ⅱ) f ? x ? ? ln x ? ? e x ? 1 ? 只需证:

? ?

ax ? ? ? ln x x ?1 ?

1 x ? ? ln x ? ? ?? x ? 1? ? e ? 1? ? ax ? ? 0 在 ? 0,1? ? ?1, ??? 上恒成立 x ?1

? x ?? 0,1? ? ?1, ??? 时,

1 ? ln x ? 0 恒成立, x ?1

x 只需证: ? x ? 1? e ? 1 ? ax ? 0 在 ? 0, ?? ? 恒成立 x 设 g ? x ? ? ? x ? 1? e ? 1 ? ax , x ??0, ??? ? g ? 0? ? 0 恒成立

?

?

?

?

只需证: g ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 恒成立 g? ? x ? ? x ? e ?1 ? a
x

g?? ? x ? ? ? x ?1? ? ex ? 0 恒成立? g? ? x ? 单调递增, g? ? x ? ? g? ? 0? ? ?1 ? a ? 0 ? g ? x ? 单调递增, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ? g ? x ? ? 0 在 ?0, ?? ? 恒成立
即 f ? x ? ? ln x ?

1 ? ln x ? g ? x ? ? 0 在 ? 0,1? ? ?1, ??? 上恒成立. x ?1

22.解: (Ⅰ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ?

? 2 ? 2 2 sin ? ? cos ? ? a, ? ? 2 ? 2 ? ? 2

∴曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)曲线 C2 的直角坐标方程为: (x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

实数 a 取值范围: - 2 - 2 ? a ? ?2 ? 2 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? 5 时,要使函数 f ? x ? 有意义, 有不等式 x ?1 ? x ? 5 ? 5 ? 0 ①成立, 当 x ? 1 时,不等式①等价于 ?2 x ? 1 ? 0 ,即 x ?

1 1 ,? x ? ; 2 2

当 1 ? x ? 5 时,不等式①等价于 ?1 ? 0 ,? 无解; 当 x ? 5 时,不等式①等价于 2 x ? 11 ? 0 ,即 x ? 综上,函数 f ? x ? 的定义域为 ? ??, ? ? ?

11 11 ,? x ? ; 2 2

? ?

1 ? ? 11 ? , ?? ? . 2? ? 2 ?

(Ⅱ)∵函数 f ? x ? 的定义域为 R ,∴不等式 x ?1 ? x ? 5 ? a ? 0 恒成立, ∴只要 a ? x ? 1 ? x ? 5

?

?

min

即可,

又∵ x ? 1 ? x ? 5 ? x ? 1 ? 5 ? x ? ? x ? 1? ? ? 5 ? x ? ? 4 (当且仅当

? x ?1??5 ? x? ? 0 时取等号)

即 a ? x ?1 ? x ? 5

?

?

min

? 4,? a ? 4 . a 的取值范围是 ? ??,4? .

高 2017 届高三上学期第二次月考数学试题(理科)答题卡
班级: 学号:姓名:
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.,14.,15.,16.。
三、解答题

17.

18.

19.
M D

P

C O A B

20.

21.

22.或 23(选做一题)

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