当前位置:首页 >> 高三数学 >>

名师一号2013届高三数学理科二轮复习各专题测试:专题1综合测试题


www.ewt360.com

升学助考一网通

专题一综合测试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 U={1,2,3,4,5,6}, 集合 M={1,3}, N={2,3,4}, 则(?UM)∩(?
UN)=(

) B.{4,6} D.{3,6}

A.{3} C.{5,6}

解析:?UM={2,4,5,6},?UN={1,5,6},∴(?UM)∩(?UN)={5,6},故 选 C. 答案:C 2. 已知全集 I=R, 若函数 f(x)=x2-3x+2, 集合 M={x|f(x)≤0}, N={x|f′(x)<0},则 M∩?IN=( 3 A.[ ,2] 2 3 C.( ,2] 2 ) 3 B.[ ,2) 2 3 D.( ,2) 2

解析:由 f(x)≤0 解得 1≤x≤2,故 M=[1,2];f′(x)<0,即 2x- 3 3 3 3 3<0,即 x< ,故 N=(-∞, ),?IN=[ ,+∞).故 M∩?IN=[ ,2]. 2 2 2 2 答案:A 3.设某种蜡烛所剩长度 P 与点燃时间 t 的函数关系式是 P=kt+ b.若点燃 6 分钟后,蜡烛的长为 17.4 cm;点燃 21 分钟后,蜡烛的长 为 8.4 cm,则这支蜡烛燃尽的时间为( A.21 分钟 C.30 分钟 ) B.25 分钟 D.35 分钟

第 -1- 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

?17.4=6k+b ? 解析:由? ,解得 k=-0.6,b=21,由 0=-0.6t+ ? ?8.4=21k+b

21,解得 t=35. 答案:D 4.已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x∈R, x2+2ax+2-a=0”.若命题“綈 p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值 范围为( ) B.a≤-2 或 1≤a≤2 D.a>1

A.a≤-2 或 a=1 C.a≥1

解析:命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,∴a≤x2 在[1,2]上恒成 立,∴a≤1,∴綈 p 为 a>1. 命题 q:“?x∈R,x2+2ax+2-a=0”,∴方程有解,Δ=4a2 -4(2-a)≥0,a2+a-2≥0,∴a≥1 或 a≤-2. 若命题“綈 p 且 q”是真命题,则 a>1,故选 D. 答案:D 1 5.(2011· 山东肥城模拟)幂函数 f(x)=xn(n=1,2,3, ,-1)具有如 2 下性质:f2(1)+f2(-1)=2[f(1)+f(-1)-1],则函数 f(x)( A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 解析:由 f2(1)+f2(-1)=2[f(1)+f(-1)-1]?n=2,f(x)=x2 为偶 函数,所以选 B. 答案:B 6. (2011· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx+1 有两个极值点
第 -2- 页 版权所有 升学 e 网通

)

www.ewt360.com

升学助考一网通

x1、x2,且 x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则 f(-1)的取值范围是(
? 3 ? A.?-2,3? ? ? ?3 ? B.?2,6? ? ? ? ? 3 ? D.?-2,12? ?

)

C.[3,12]

解析:f′(x)=3x2+4bx+c,由题意,得 f′?-2?=12-8b+c≥0 ? ?f′?-1?=3-4b+c≤0 ?f′?1?=3+4b+c≤0 ? ?f′?2?=12+8b+c≥0

f(-1)=2b-c, 当直线过 A 时 f(-1)取最小值 3, 当直线过 B 时取 最大值 12,故选 C. 答案:C

7.设集合 I 是全集,A?I,B?I,则“A∪B=I”是“B=?IA” 的( )

第 -3- 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由 B=?IA?A∪B=I,而 A∪B=I? / B=?IA,故“A∪B =I”是“B=?IA”的必要不充分条件. 答案:B 8.若曲线 xy=a(a≠0),则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴 所围成的三角形的面积是( A.2a2 C.2|a| ) B.a2 D.|a|

a a 解析:设切点坐标为(x0,y0),曲线方程即 y=x,y′=- 2,故切 x a a a 线斜率为- 2,切线方程为 y- =- 2(x-x0).令 y=0,得 x=2x0, x0 x0 x0 即切线与 x 轴的交点 A 的坐标为(2x0,0);令 x=0,得 y= y 轴的交点 B 的坐标为(0, 1 2a 面积为 ×|2x0|| |=2|a|. 2 x0 答案:C 9.(2011· 天津模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足(x-1)f′(x)≤0, 且 y=f(x+1)为偶函数,当|x1-1|<|x2-1|时,有( A.f(2-x1)>f(2-x2) B.f(2-x1)=f(2-x2) ) 2a ,即切线与 x0

2a ).故切线与两坐标轴所围成的三角形的 x0

C.f(2-x1)<f(2-x2)
第 -4- 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

D.f(2-x1)≤f(2-x2)
? ? ?x-1≤0, ?x-1≥0, ? 解析: 由 (x- 1)f′(x)≤0? 或? 得函数 ? ? ?f′?x?≥0, ?f′?x?≤0,

f(x)在区间(-∞,1]上为增函数,在区间[1,+∞)上为减函数.又由 y =f(x+1)为偶函数,得函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.
?x1<x2, ? 由|x1-1|<|x2-1|?(x1-x2)(x1+x2-2)<0?? 或 ? ?x1+x2>2, ? ?x1>x2, ? ?x1+x2<2. ? ?x1<x2, ? 若? 则 x2>1.此时, 当 x1>1, 则 f(x1)>f(x2), 即 f(2-x1)>f(2 ? ?x1+x2>2,

-x2); 当 x1<1?2-x1>1,又 x2>2-x1?f(2-x1)>f(x2),即 f(2-x1)>f(2- x2).
?x1>x2 同理,当? 时,也有上述结论. ?x1+x2<2

答案:A

第 -5- 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

10.如图所示,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动,设 M 是 CD 边的中点,则当点 P 沿着 A-B-C-M 运动时,以点 P 经过的路 程 x 为自变量,三角形 APM 的面积函数的图象的形状大致是( )

? ? ?0≤x≤1 3 ?-1 x+ , 解析:y=? 4 4 ?1<x≤2 5 ?-1 x+ , 2 4 ? ?2<x≤2.5
答案:A 11.已知函数 f(x)= 取值范围是( 1 A.0<a< e C.a≤e )

1 x, 2

) ,选 A.

lna+lnx 在[1,+∞)上为减函数,则实数 a 的 x

B.0<a≤e D.a≥e

1 x-?lna+lnx? 1-?lna+lnx? x· 解析:f′(x)= = ,因为 f(x)在[1,+ x2 x2 ∞)上为减函数,故 f′(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,即 lna≥1-lnx 在[1,+∞)上恒成立.设 φ(x)=1-lnx,φ(x)max=1,故 lna≥1,a≥e,
第 -6- 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

选 D. 答案:D

12.有下列命题: π π ①函数 y=cos(x- )cos(x+ )的图象中,相邻两个对称中心的距 4 4 离为 π; ②函数 y= x+3 的图象关于点(-1,1)对称; x-1

③关于 x 的方程 ax2-2ax-1=0 有且仅有一个实数根,则实数 a =-1; ④已知命题 p:对任意的 x∈R,都有 sinx≤1,则綈 p:存在 x∈ R,使得 sinx>1.其中所有真命题的序号是( A.①② C.②③④ B.③④ D.①②④ )

π π 1 解析:①函数 y=cos(x- )cos(x+ )= cos2x,相邻两个对称中心 4 4 2 x+3 T π 的距离为 d= = ,故①不正确;②函数 y= 的图象对称中心应为 2 2 x-1 (1,1),故②不正确;③正确;④正确. 答案:B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 在题中的横线上.

第 -7- 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

f?x+2?, ? ?x≤-1 ?2x+2, 13.已知函数 f(x)=? -1<x<1, ?2 -4, ? ?x≥1
x

)则 f[f(-2010)]=________.

解析:f[f(-2010)]=f[f(-2008)]=f[f(-2006)]=f[f(-2004)]=? =f[f(0)]=f(2)=22-4=0. 答案:0 1+x 14.已知函数 f(x)=ln +sinx,则关于 a 的不等式 1-x f(a-2)+f(a2-4)<0 的解集是________. 1+x 解析:已知 f(x)=ln +sinx 是奇函数, 1-x 1+x 2-?1-x? 又 f(x)=ln +sinx=ln[ ]+sinx= 1-x 1-x ln(- 2 -1)+sinx,f(x)在(-1,1)上单调递增,故 f(x)是(-1,1) x-1

上的增函数.由已知得 f(a-2)<-f(a2-4),即 f(a-2)<f(4-a2). a-2<4-a ? ? 故?-1<a-2<1 ? ?-1<4-a2<1
2

-3<a<2 ? ? ??1<a<3 ? ?- 5<a<-

? 3或 3<a< 5

3<a<2.即不等式的解集是( 3,2). 答案:( 3,2) 1 15.已知函数 f(x)= mx2+lnx-2x 在定义域内是增函数,则实数 2 m 的取值范围为________.
第 -8- 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

1 1 2 解析:f′(x)=mx+x-2≥0 对一切 x>0 恒成立,m≥-(x)2+x, 1 2 1 令 g(x)=-(x)2+x,则当x=1 时,函数 g(x)取得最大值 1,故 m≥1. 答案:[1,+∞)

1 16.(2011· 扬州模拟)若函数 f(x)= x3-a2x 满足:对于任意的 x1, 3 x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1 恒成立,则 a 的取值范围是________. 解析:问题等价于在[0,1]内 f(x)max-f(x)min≤1 恒成立.f′(x)=x2 1 -a2,函数 f(x)= x3-a2x 的极小值点是 x=|a|,若|a|>1,则函数 f(x) 3 4 2 3 在[0,1]上单调递减, 故只要 f(0)-f(1)≤1 即可, 即 a2≤ , 即 1<|a|≤ ; 3 3 1 2 若|a|≤1,此时 f(x)min=f(|a|)= |a|3-a2|a|=- a2|a|,由于 f(0)=0,f(1) 3 3 1 3 1 2 = -a2,故当|a|≤ 时,f(x)max=f(1),此时只要 -a2+ a2|a|≤1 即 3 3 3 3 2 2 3 2 2 3 可,即 a2( |a|-1)≤ ,由于|a|≤ ,故 |a|-1≤ × -1<0,故此时 3 3 3 3 3 3 成立;当 3 2 <|a|≤1 时,此时 f(x)max=f(0),故只要 a2|a|≤1 即可,此 3 3

2 2 式显然成立.故 a 的取值范围是[- 3, 3]. 3 3 答案:[- 2 2 3, 3] 3 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
第 -9- 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(2011· 广东惠州模拟)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每 小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示 为:y= 1 3 x3- x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米. 128000 80

(1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗 油多少升?

(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最 少为多少升? 解:(1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 100 =2.5 小时, 40

? 1 3 ? 要耗油?128000×403-80×40+8?×2.5=17.5(升). ? ?

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要 耗油 17.5 升. 100 (2)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时, 设耗油量为 h(x)升,依题意得
? 1 3 ? 100 1 2 800 15 h(x)=?128000x3-80x+8?· x = x + x - (0<x≤120), 1280 4 ? ?
3 3 800 x -80 x h′(x)= - 2 = (0<x≤120). 640 x 640x2

令 h′(x)=0,得 x=80. 当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时,h(x)取得极小值 h(80)=11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一个极值,∴它是最小值. 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗
第 - 10 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

油最少为 11.25 升. 18.(本小题满分 12 分) ex (2011· 安徽)设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3

(2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解:对 f(x)求导得 f′(x)=e
x1+ax

-2ax ① ?1+ax2?2

2

4 3 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0,解得 x1= ,x2 3 2 1 = . 2 结合①,可知 x f′(x) f (x )
? 1? ?-∞, ? 2? ?

1 2 0 极大值

?1 3? ? , ? ?2 2?

3 2 0 极小值

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?

+ ?↗

- ?↘

+ ↗?

3 1 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与 条件 a>0,知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a2-4a=4a(a -1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 19.(本小题满分 12 分) 设 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且当-1≤x<0 时,f(x)=2x3 +5ax2+4a2x+b.
第 - 11 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 1<a≤3 时,求函数 f(x)在(0,1]上的最大值 g(a). 解:(1)当 0<x≤1 时,-1≤-x<0,则 f(x)=-f(-x)=2x3-5ax2 +4a2x-b. 当 x=0 时,f(0)=-f(-0),∴f(0)=0. 2x +5ax +4a x+b,-1≤x<0 ? ? ?x=0? ∴f(x)=?0 ? ?2x3-5ax2+4a2x-b, 0<x≤1
3 2 2

.

(2)当 0<x≤1 时, f′(x)=6x2-10ax+4a2=2(3x-2a)(x-a)= 6(x- 2a )(x-a). 3

2 2a 3 ①当 < <1,即 1<a< 时, 3 3 2
? 2a? ?2a ? 当 x∈?0, 3 ?时,f′(x)>0,当 x∈? 3 ,1?时,f′(x)<0, ? ? ? ? ? 2a? ?2a ? ∴f(x)在?0, 3 ?上单调递增,在? 3 ,1?上单调递减, ? ? ? ? ?2a? 28 ∴g(a)=f? 3 ?= a3-b. ? ? 27

2a 3 ②当 1≤ ≤2,即 ≤a≤3 时,f′(x)≥0, 3 2 ∴f(x)在(0,1]上单调递增. ∴g(a)=f(1)=4a2-5a+2-b,

第 - 12 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

28 3 3 ? a - b , 1< a < ?27 2 ∴g(a)=? 3 2 ? ?4a -5a+2-b,2≤a≤3 20.(本小题满分 12 分)

.

已知函数 f(x)=x2-4x+(2-a)lnx(a∈R,a≠0). (1)当 a=8 时,求函数 f(x)的单调区间及极值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. 解:(1)依题意得,当 a=8 时,f(x)=x2-4x-6lnx,f′(x)=2x- 6 2?x+1??x-3? 4-x= , x

由 f′(x)>0 得(x+1)(x-3)>0,解得 x>3 或 x<-1.注意到 x>0,所 以函数 f(x)的单调递增区间是(3,+∞). 由 f′(x)<0 得(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3,注意到 x>0,所以 函数 f(x)的单调递减区间是(0,3). 综上所述,函数 f(x)在 x=3 处取得极小值,这个极小值为 f(3)= -3-6ln3. 2-a (2)f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,所以 f′(x)=2x-4+ x = 2x2-4x+2-a . x 设 g(x)=2x2-4x+2-a. ①当 a≤0 时,有 Δ=16-4×2×(2-a)=8a≤0,此时 g(x)≥0, 所以 f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当 a>0 时,Δ=16-4×2×(2-a)=8a>0, 令 f′(x)>0,即 2x2-4x+2-a>0,解得 x>1+
第 - 13 - 页

2a 2a 或 x<1- , 2 2

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

令 f′(x)<0,即 2x2-4x+2-a<0,解得 1- 当 0<a<2 时, 1-

2a 2a <x<1+ . 2 2

? 2a 2a? ?, >0, 此时函数的单调递增区间是?0,1- 2 2 ? ?

? ? 2a ?1+ ,+∞?,单调递减区间是 2 ? ? ? 2a 2a? ?1- ?; ,1+ 2 2 ? ?

当 a≥2 时,1-
? ?

? ? 2a 2a ?, ≤0,函数的单调递增区间是?1+ ,+ ∞ 2 2 ? ?

单调递减区间是?0,1+

2a? ?. 2 ?

综上可知,当 a≤0 时,函数在(0,+∞)上单调递增;当 0<a<2 时 , 函 数 在 ?0,1-
? ? ? ? 2a? 2a ? , ?1+ ,+∞? 上 单 调 递 增 , 在 2 ? 2 ? ?

? ? ? 2a 2a ? 2a ?1- ?上单调递减;当 a≥2 时,函数在?1+ ,1+ ,+∞?上 2 2 ? 2 ? ? ?

单调递增,在?0,1+
?

?

2a? ?上单调递减. 2 ?

21.(本小题满分 12 分) 2a 已知函数 f(x)=x2+ x (a∈R). (1)若 f(x)在 x=1 处的切线垂直于直线 x-14y+13=0,求该点的 切线方程,并求此时函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≤a2-2a+4 对任意的 x∈[1,2]恒成立,求实数 a 的取值 范围. 解:(1)f′(x)=2x- 2a ,根据题意 f′(1)=2-2a=-14,解得 a x2

=8, 此时切点坐标是(1,17), 故所求的切线方程是 y-17=-14(x-1),
第 - 14 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

即 14x+y-31=0.
3 16 2?x -8? 当 a=8 时,f′(x)=2x- 2 = , x x2

令 f′(x)>0,解得 x>2,令 f′(x)<0,解得 x<2 且 x≠0,故函数 f(x)的单调递增区间是(2,+∞);单调递减区间是(-∞,0)和(0,2).
3 2a 2?x -a? (2)f′(x)=2x- 2 = . x x2

①若 a<1,则 f′(x)>0 在区间[1,2]上恒成立,f(x)在区间[1,2]上单 调递增,函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值为 f(2)=4+a;

3 ②若 1≤a≤8,则在区间(1, a)上 f′(x)<0,函数单调递减,在 3 区间( a,2)上 f′(x)>0,函数单调递增,故函数 f(x)在区间[1,2]上的 最大值为 f(1),f(2)中的较大者,f(1)-f(2)=1+2a-4-a=a-3,故当 1≤a≤3 时,函数的最大值为 f(2)=4+a,当 3<a≤8 时,函数的最大 值为 f(1)=1+2a; ③当 a>8 时,f′(x)<0 在区间[1,2]上恒成立,函数 f(x)在区间[1,2] 上单调递减,函数的最大值为 f(1)=1+2a. 综上可知, 在区间[1,2]上, 当 a≤3 时, 函数 f(x)max=4+a, 当 a>3 时,函数 f(x)max=1+2a. 不等式 f(x)≤a2-2a+4 对任意的 x∈[1,2]恒成立等价于在区间[1,2] 上, f(x)max≤a2-2a+4, 故当 a≤3 时, 4+a≤a2-2a+4, 即 a2-3a≥0, 解得 a≤0 或 a=3;当 a>3 时,1+2a≤a2-2a+4,即 a2-4a+3≥0, 解得 a>3.
第 - 15 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com 2

升学助考一网通

综合知当 a≤0 或 a≥3 时,不等式 f(x)≤a -2a+4 对任意的 x∈ [1,2]恒成立. 22.(本小题满分 14 分) (2011· 陕西)设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f′(x) 1 =x,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值;
?1? (2)讨论 g(x)与 g?x?的大小关系; ? ?

1 (3)是否存在 x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<x对任意 x>0 成立?若存在, 求出 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由. 1 解:(1)由题设易知 f(x)=lnx,g(x)=lnx+x, ∴g′(x)= x-1 ,令 g′(x)=0 得 x=1, x2

当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调减区间, 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调增区间, 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值 点, 所以最小值为 g(1)=1.
?1? (2)g?x?=-lnx+x, ? ? ?1? 1 设 h(x)=g(x)-g?x?=2lnx-x+x, ? ?

?x-1?2 则 h′(x)=- , x2

第 - 16 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

?1? 当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g?x?, ? ?

当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0, 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,
?1? 当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 g(x)>g?x?, ? ? ?1? 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g?x?. ? ?

(3)满足条件的 x0 不存在. 证明如下: 证法一 1 假设存在 x0>0,使|g(x)-g(x0)|<x对任意 x>0 成立,

2 即对任意 x>0,有 lnx<g(x0)<lnx+x,(*) 但对上述 x0,取 x1=eg(x0)时,有 lnx1=g(x0),这与(*)左边不等式 矛盾, 1 因此,不存在 x0>0,使|g(x)-g(x0)|<x对任意 x>0 成立. 1 假设存在 x0>0,使|g(x)-g(x0)|<x对任意的 x>0 成立.

证法二

由(1)知,g(x)的最小值为 g(x)=1, 1 又 g(x)=lnx+x>lnx,而 x>1 时,lnx 的值域为(0,+∞), ∴x≥1 时,g(x)的值域为[1,+∞), 从而可得一个 x1>1,使 g(x1)≥g(x0)+1, 1 即 g(x1)-g(x0)≥1,故|g(x1)-g(x0)|≥1> ,与假设矛盾. x1
1 ∴不存在 x0>0,使|g(x)-g(x0)|< 对任意 x>0 成立.

x

专题二综合测试题

第 - 17 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(时间:120 分钟

满分:150 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图,设 A 是棱长为 a 的正方体的一个顶点,过从此顶点出发 的三条棱的中点作截面,截面与正方体各面共同围成一个多面体,则 关于此多面体有以下结论,其中错误的是( )

A.有 10 个顶点 B.体对角线 AC1 垂直于截面 C.截面平行于平面 CB1D1 D.此多面体的表面积为 47 2 a 8

1 1 1 1 2 2 解析:此多面体的表面积 S=6a2-3× × a× a+ × a× 2 2 2 2 2 2 a× 45+ 3 2 3 45 2 3 = a + a2= a .故选 D. 2 8 8 8 答案:D 2.(2011· 福建宁德二模)下图是一个多面体的三视图,则其全面积 为( )

第 - 18 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

A. 3 C. 3+6

B.

3 +6 2

D. 3+4

解析:由几何体的三视图可得,此几何体是正三棱柱,其全面积 1 为 S=3×( 2)2+2× ×( 2)2×sin60° =6+ 3.故选 C. 2 答案:C 3.(2011· 江西抚州一中模拟)如图是一个几何体的三视图, 根据图中 数据,可得该几何体的表面积是( )

A.22π C.4π+24

B.12π D.4π+32

解析:由几何体的三视图可得,此几何体是上面一个球、下面一 个长方体组成的几何体,此几何体的表面积 S= 4π×12+ 2×2×2+
第 - 19 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

8×3=4π+32.故选 D. 答案:D 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积与体积分 别为( )

A.7+ 2,3 C.7+ 2, 3 2

B.8+ 2,3 3 D.8+ 2, 2

解析:由几何体的三视图可得,此几何体是四棱柱,底面是梯形, 1 其全面积为 S=2× (1+2)×1+12+12+1×2+ 2×1=7+ 2,体积 2 1 3 为 V= (1+2)×1×1= .故选 C. 2 2 答案:C 5.(2011· 江苏启东中学模拟)一个与球心距离为 1 的平面截球体所 得的圆面面积为 π,则球的体积为( 8 2π A. 3 32π C. 3 ) 8π B. 3 D.8π

4 解析: 由题意, 球的半径为 R= 12+12= 2, 故其体积 V= π( 2)3 3

第 - 20 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通



8 2π ,选 A. 3 答案:A 6. (2011· 福建福鼎一中模拟 )如图,在正方体 ABCD- A1B1C1D1

中, E 是 AD 的中点, 则异面直线 C1E 与 BC 所成的角的余弦值是(

)

A. 1 C. 3

10 5

B.

10 10

2 2 D. 3

解析:因为 BC∥B1C1,故∠EC1B1 即为异面直线 C1E 与 BC 所成 的角,在△EB1C1 中,由余弦定理可得结果,选 C. 答案:C 7.(2011· 泰安市高三质检)已知正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长与底 面边长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE、SD 所成角的余弦值为( 1 A. 3 C. 3 3 B. 2 3 )

2 D. 3

解析:连接 BD,取 BD 中点 O,连接 AO

第 - 21 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

则 OE∥SD.∠OEA 即为 AE 与 SD 所成的角. 令侧棱长为 2,则 OE=1,AO= 2,AE= 3 因为 AE2=AO2+OE2,所以△AOE 是直角三角形,故 cos∠AEO = 3 . 3 答案:C 8.(2011· 安徽皖南八校联考)设 m,n 是不同的直线,α、β、γ 是 不同的平面,有以下四个命题: ① m∥n? ?
? n?α ? ? ? β ∥ γ ;② α ∥γ ? ? ? α∥β? ? α⊥β ? m⊥α? ? ? ? m ⊥ β ;③ ? ? α ⊥ β ;④ m∥α? m∥β ? ? ?

??m∥α.其中正确的命题是(

) B.②③ D.②④

A.①④ C.①③

解析:由定理可知①③正确,②中 m 与 β 的位臵关系不确定,④ 中可能 m?α.故选 C. 答案:C 9.(2011· 宁夏模拟)如图,正△ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交 于 G,已知△A′ED 是△AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形,下列命 题中,错误的是( )

第 - 22 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

A.动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B.恒有平面 A′GF⊥平面 BCED C.三棱锥 A′—FED 的体积有最大值 D.异面直线 A′E 与 BD 不可能垂直 解析:由题意,DE⊥平面 AGA′,A、B、C 正确.故选 D. 答案:D 10.(2011· 南昌一模)在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 为 AB 的中点,则点 C 到平面 A1DM 的距离为( )

A. C.

6 a 3 2 a 2

B.

6 a 6

1 D. a 2

解析:设点 C 到平面 A1DM 的距离为 h,则由已知得 DM=A1M =
?a? a2+?2?2 = ? ?

5 a , A1D = 2

2a,S



A DM 1



1 × 2

2 a×

? 5 ?2 ? 2 ? 2 6 1 ? a? -? a? = a2,连接 CM,S△CDM= a2,由 VC-A DM=VA - 1 1 4 2 ? 2 ? ? 2 ?

第 - 23 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com CDM,得

升学助考一网通

1 1 6 1 6 S△A1DM· h= S△CDM· a, a2· h= a2· a,所以 h= a,即点 C 3 3 4 2 3 6 a,选 A. 3

到平面 A1DM 的距离为 答案:A

11.(2011· 山东平邑一中模拟)设 a,b,c 是空间三条直线,α,β 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是( A.当 c⊥α 时,若 c⊥β,则 α∥β B.当 b?α 时,若 b⊥β,则 α⊥β C.当 b?α,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b D.当 b?α,且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c 解析:写出逆命题,可知 B 中 b 与 β 不一定垂直.选 B. 答案:B 12.(2011· 山东潍坊模拟)某几何体的一条棱长为 7,在该几何体 的正视图中,这条棱的投影是长为 6的线段,在该几何体的侧视图与 俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值 为( ) A.2 2 C.4 B.2 3 D.2 5 )

解析:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图设 长方体的长,宽,高分别为 m,n,k,由题意得 m2+n2+k2= 7, m2+k2= 6?n=1, 1+k2=a, 1+m2=b,所以(a2-1)+(b2-1) =6?a2+b2=8,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16 ?a+b≤4,当且仅当 a=b=2 时取等号.选 C.

第 - 24 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 在题中的横线上. 13.(2011· 广东珠海二模 )一个五面体的三视图如图,正视图与侧 视图都是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部分边长如图所示, 则此五面体的体积为________.

解析:由三视图可知,此几何体是一个底面为直角梯形,有一条 1 1 侧棱垂直于底面的四棱锥,其体积为 V= × ×(1+2)×2×2=2. 3 2 答案:2 14. (2011· 上海春招)有一多面体的饰品, 其表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成(如图),AB 与 CD 所成的角的大小是________.

第 - 25 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

解析:连接 AD,则 AD 綊 2BC,故延长 AB,DC 必相交,设交 点为 E,△ADE 是等边三角形,故 AB 与 CD 所成的角的大小为 60° . 答案:60° 15.(2011· 江西赣州联考)三棱锥 S-ABC 中, ∠SBA=∠SCA=90° , △ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形,则以下结论中:

①异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90° ; ②直线 SB⊥平面 ABC; ③平面 SBC⊥平面 SAC; 1 ④点 C 到平面 SAB 的距离是 a. 2 其中正确结论的序号是________. 解析:由题意知 AC⊥平面 SBC,故 AC⊥SB,SB⊥平面 ABC, 平面 SBC⊥平面 SAC,①、②、③正确;取 AB 的中点 E,连接 CE,

第 - 26 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

1 可证得 CE⊥平面 SAB,故 CE 的长度即为 C 到平面 SAB 的距离 a, 2 ④正确. 答案:①②③④ 16.(2011· 南京一模)如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若截面△BC1D 是面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的 体积为________.

解析: 设正三棱柱的底面边长为 a ,高为 2h ,则 BD = C1D = a2+h2,BC1= a2+4h2,由△BC1D 是面积为 6 的直角三角形,得

?2×?a +h ?=a +4h ?1 2 2 ?2?a +h ?=6
答案:8 3

2

2

2

2

2 ? ?a =8 1 ,解得? ,故此三棱柱的体积为 V= 2 ?h=2 ?

×8×sin60° ×4=8 3.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)如图,PA⊥平面 ABCD,ABCD 是矩形, PA=AB=1,AD= 3,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动.

第 - 27 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(1)求三棱锥 E-PAD 的体积; (2)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系, 并说明理由; (3)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 PE⊥AF.
?1 ? 1 1 ? AD· AB?= 解:(1)三棱锥 E-PAD 的体积 V= PA· S△ADE= PA· 3 3 ?2 ?

3 . 6 (2)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行.

∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴EF∥PC,又 EF?平面 PAC,PC?平面 PAC, ∴EF∥平面 PAC. (3)证明:∵PA⊥平面 ABCD,BE?平面 ABCD, ∴BE⊥PA,又 BE⊥AB,AB∩PA=A,AB,PA?平面 PAB, ∴BE⊥平面 PAB.又 AF?平面 PAB,∴AF⊥BE. 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点,∴PB⊥AF,
第 - 28 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

又∵PB∩BE=B,PB,BE?平面 PBE, ∴AF⊥平面 PBE. ∵PE?平面 PBE,∴AF⊥PE. 18.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PCD⊥ 平面 ABCD,E 为 PB 上任意一点,O 为菱形对角线的交点,如图.

(1)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (2)试确定点 E 的位置,使得四棱锥的体积被平面 EAC 分成 3?1 两部分. 解:(1)证明:过点 B 作 BG⊥AD 于点 G,由于平面 PAD⊥平面 ABCD,由面面垂直的性质定理可知 BG⊥平面 PAD,又 PD?平面 PAD,故 PD⊥BG;同理,过点 B 作 BH⊥CD 于点 H,则 PD⊥BH. 又 BG?平面 ABCD,BH?平面 ABCD,BG∩BH=B,∴PD⊥平面 ABCD,

第 - 29 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

∴PD⊥AC,又 BD⊥AC,故 AC⊥平面 PBD,又 AC?平面 EAC, ∴平面 EAC⊥平面 PBD. (2)若四棱锥的体积被平面 EAC 分成 3?1 两部分,则三棱锥 E- 1 ABC 的体积是整个四棱锥体积的 , 设三棱锥 E-ABC 的高为 h, 底面 4 11 11 1 ABCD 的面积为 S,则 · S· h= · S· PD,由此得 h= PD,故此时 E 32 43 2 为 PB 的中点. 19.(本小题满分 12 分)如图,在四面体 A-BCD 中,AE⊥平面 BCD,BC⊥CD,BC=CD,AC=BD,E 是 BD 的中点.

(1)求证:AC⊥BD; (2)求直线 AC 与平面 BCD 所成的角. 解:如图,连接 CE.

第 - 30 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(1)证明:在△BCD 中,BC=CD,E 是 BD 的中点, ∴CE⊥BD. ∵AE⊥平面 BCD,BD?平面 BCD,∴AE⊥BD,CE∩AE=E, ∴BD⊥平面 ACE,∵AC?平面 ACE, ∴AC⊥BD. (2)∵AE⊥平面 BCD,CE?平面 BCD, ∴AE⊥CE,∠ACE 就是直线 AC 与平面 BCD 所成的角. ∵BC⊥CD,E 是 BD 的中点, 1 ∴CE= BD, 2 1 ∵AC=BD,∴CE= AC, 2 ∴在 Rt△ACE 中, 易知∠ACE=60° .即直线 AC 与平面 BCD 所成 的角是 60° . 20.(本小题满分 12 分)(2011· 浙江)如图,在三棱锥 P-ABC 中, AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上, 已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

第 - 31 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(1)证明:AP⊥BC; (2)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面 角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由. 解:方法一:(1)证明:如图,以 O 为原点,以射线 OP 为 z 轴的 正半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz.

则 O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4), → → → → → → AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),由此可得AP· BC=0,所以AP⊥BC, 即 AP⊥BC. → → (2)设PM=λPA,λ≠1, → 则PM=λ(0,-3,-4). → → → → → BM=BP+PM=BP+λPA =(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)
第 - 32 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

=(-4,-2-3λ,4-4λ) → → AC=(-4,5,0),BC=(-8,0,0). 设平面 BMC 的法向量 n1=(x1,y1,z1), 平面 APC 的法向量 n2=(x2,y2,z2). → ?BM · n1=0, 由? → ?BC· n1=0
? ?-4x1-?2+3λ?y1+?4-4λ?z1=0, 得? ? ?-8x1=0,

x =0, ? ?1 即? 2+3λ z = 1 ? ? 4-4λy, → ?AP · n2=0, 由? → ?AC· n2=0, 5 ? x = 2 ? 4y2, 得? 3 ? z =- y 2 ? 4 2

可得 n1=?0,1,
?

?

2+3λ? ? 4-4λ?

? ?3y2+4z2=0, 即? ?-4x2+5y2=0, ?

可取 n2=(5,4,-3).

2+3λ 由 n1· n2=0,得 4-3· =0, 4-4λ 2 解得 λ= ,故 AM=3 5 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3.

第 - 33 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

方法二: (1)证明:由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC.又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC. 因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD. 故 BC⊥PA. (2)如图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M,连接 CM.

由(1)中知 AP⊥BC,得 AP⊥平面 BMC. 又 AP?平面 APC,所以平面 BMC⊥平面 APC. 在 Rt△ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB= 41. 在 Rt△POD 中,PD2=PO2+OD2, 在 Rt△PDB 中, PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2+OD2+DB2=36,得 PB=6. 在 Rt△POA 中,PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5. PA2+PB2-AB2 1 又 cos∠BPA= = , 2PA· PB 3 从而 PM=PBcos∠BPA=2,所以 AM=PA-PM=3.综上所述, 存在点 M 符合题意,AM=3.

第 - 34 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

21.(本小题满分 12 分)(2011· 辽宁) 如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA 1 =AB= PD. 2

(1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q-BP-C 的余弦值. 解:如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz.

(1)证明:依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0). → → → → → 则DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0).所以PQ· DQ=0, → → PQ· DC=0. 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC.故 DQ⊥平面 DCQ. 又 PQ?平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ.

第 - 35 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

→ → (2)依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). → ?n· CB=0 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的法向量,则? → ?n· BP=0
? ?x=0 即? ?-x+2y-z=0 ?

因此可取 n=(0,-1,-2) → ?m · BP=0. 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则? → ?m · PQ=0. 可取 m=(1,1,1),所以 cos〈m,n〉=- 故二面角 Q-BP-C 的余弦值为- 15 . 5 15 . 5

22.(本小题满分 14 分)(2011· 福建)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD= 2, ∠CDA=45° .

(1)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)设 AB=AP. (ⅰ)若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30° ,求线段 AB 的长; (ⅱ)在线段 AD 上是否存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等?说明理由.
第 - 36 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

解:解法一:

(1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD, AB?平面 ABCD, 所以 PA⊥AB, 又 AB⊥AD,PA∩AD=A, 所以 AB⊥平面 PAD 又 AB?平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD, (2)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A-xyz(如图).

在平面 ABCD 内,作 CE∥AB 交 AD 于点 E,则 CE⊥AD. 在 Rt△CDE 中,DE=CD· cos45° =1, CE=CD· sin45° =1. 设 AB=AP=t, 则 B(t,0,0),P(0,0,t). 由 AB+AD=4 得 AD=4-t, → → 所以 E(0,3-t,0),C(1,3-t,0)D(0,4-t,0),CD=(-1,1,0),PD= (0,4-t,-t).

第 - 37 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(ⅰ)设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z).
? ?-x+y=0, → → 由 n⊥CD,n⊥PD,得? ? z=0 ??4-t?y-t·

取 x=t,得平面 PCD 的一个法向量 n=(t,t,4-t). → 又PB=(t,0,-t),故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30° 得 → ? n· PB ? cos60° =? → ?, ?|n|· |PB|? |2t2-4t| 1 即 2 2 = . t +t +?4-t?2· 2t2 2 4 4 解得 t= 或 t=4(舍去,因为 AD=4-t>0),所以 AB= . 5 5 (ⅱ)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等. 设 G(0,m,0)(其中 0≤m≤4-t).

→ → → 则GC=(1,3-t-m,0),GD=(0,4-t-m,0),GP=(0,-m,t). → → 由|GC|=|GD|,得 12+(3-t-m)2=(4-t-m)2, 即 t=3-m; → → 由|GD|=|GP|,得(4-t-m)2=m2+t2. 由①、②消去 t,化简得 m2-3m+4=0. ① ② ③

第 - 38 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

由于方程③没有实数根,所以在线段 AD 上不存在一个点 G,使 得点 G 到点 P,C,D 的距离都相等. 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C, D 的距离都相等. 解法二: (1)同解法一: (2)(ⅰ)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 A-xyz(如图).

在平面 ABCD 内,作 CE∥AB 交 AD 于点 E, 则 CE⊥AD, 在 Rt△CDE 中, DE=CDcos45° =1, CE=CD· sin45° =1. 设 AB=AP=t,则 B(t,0,0),P(0,0,t). 由 AB+AD=4 得 AD=4-t. 所以 E(0,3-t,0),C(t,3-t,0),D(0,4-t,0). → → CD=(-1,1,0),PD=(0,4-t,-t). 设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z)
? ?-x+y=0 → → 由 n⊥CD,n⊥PD,得? ? ??4-t?y-tz=0.

第 - 39 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

取 x=t,得平面 PCD 的一个法向量 n=(t,t,4-t), → 又PB=(t,0,-t),故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30° 得 → ? n· PB ? cos60° =? → ?, ?|n|· |PB|? |2t2-4t| 1 即 2 2 22 2=2, t +t +?4-t? · 2t 4 解得 t= 或 t=4(舍去,因为 AD=4-t>0), 5 4 所以 AB= . 5 (ⅱ)假设在线段 AD 上存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C,D 的距离都相等.

由 GC=GD,得∠GCD=∠GDC=45° , 从而∠CGD=90° ,即 CG⊥AD, 所以 GD=CD· cos45° =1. 设 AB=λ,则 AD=4-λ,AG=AD-GD=3-λ. 在 Rt△ABG 中, GB= AB2+AG2 = λ2+?3-λ?2=
? 3? 9 2?λ-2?2+ >1, 2 ? ?

第 - 40 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

这与 GB=GD 矛盾. 所以在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到 B,C,D 的距离 都相等. 从而,在线段 AD 上不存在一个点 G,使得点 G 到点 P,B,C, D 的距离都相等.专题三综合测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆 O 的方程是 x2+y2-8x-2y+10=0,过点 M(3,0)的最 短弦所在的直线方程是( A.x+y-3=0 C.2x-y-6=0 ) B.x-y-3=0 D.2x+y-6=0

解析:x2+y2-8x-2y+10=0,即(x-4)2+(y-1)2=7, 圆心 O(4,1),设过点 M(3,0)的直线为 l,则 kOM=1, 故 kl=-1,∴y=-1×(x-3),即 x+y-3=0. 答案:A 2.过点(-1,3)且平行于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A.x-2y+7=0 C.x-2y-5=0 B.2x+y-1=0 D.2x+y-5=0 )

1 解析:因为直线 x-2y+3=0 的斜率是 ,故所求直线的方程为 y 2 1 -3= (x+1),即 x-2y+7=0. 2 答案:A 3.曲线 y=2x-x3 在横坐标为-1 的点处的切线为 l,则点 P(3,2) 到直线 l 的距离为( )
第 - 41 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

7 2 A. 2 11 2 C. 2

9 2 B. 2 9 10 D. 10

解析:曲线 y=2x-x3 在横坐标为-1 的点处的纵坐标为-1,故 切点坐标为(-1,-1).切线斜率为 k=y′|x=-1=2-3×(-1)2=-1, 故切线 l 的方程为 y-(-1)=-1×[x-(-1)],整理得 x+y+2=0,由 点到直线的距离公式得点 P(3,2)到直线 l 的距离为 答案:A 4.若曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上相异两点 P、Q 关于直线 kx +2y-4=0 对称,则 k 的值为( A.1 1 C. 2 ) B.-1 D.2 |3+2+2| 7 2 = . 2 12+12

解析: 曲线方程可化为(x+1)2+(y-3)2=9, 由题设知直线过圆心, 即 k×(-1)+2×3-4=0,∴k=2.故选 D. 答案:D 5.直线 ax-y+ 2a=0(a≥0)与圆 x2+y2=9 的位置关系是( A.相离 C.相切 B.相交 D.不确定 )

解析:圆 x2+y2=9 的圆心为(0,0),半径为 3.由点到直线的距离公 式 d= = |Ax0+By0+C| 得该圆圆心(0,0)到直线 ax-y+ 2a=0 的距离 d A2+B2

2a 2a 2 2 = 2 2 2 2,由基本不等式可以知道 2a≤ a +1 ,从而 a +?-1? a +1

第 - 42 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

d=

2a 故直线 ax-y+ 2a=0 与圆 x2+y2=9 的位臵关 2≤1<r=3, a +1
2

系是相交. 答案:B 6. 设 A 为圆(x+1)2+y2=4 上的动点, PA 是圆的切线, 且|PA|=1, 则 P 点的轨迹方程为( A.(x+1)2+y2=25 C.x2+(y+1)2=25 ) B.(x+1)2+y2=5 D.(x-1)2+y2=5

解 析 : 设 圆 心 为 O , 则 O( - 1,0) , 在 Rt △ AOP 中 , |OP| = |OA|2+|AP|2= 4+1= 5. 答案:B 7.(2011· 济宁一中高三模拟)双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴 长的 2 倍,则 m 等于( A.- C.4
2

) B.-4 1 D. 4

1 4

x2 1 解析:双曲线标准方程为:y - =1,由题意得-m=4, 1 -m 1 ∴m=- . 4 答案:A x2 2 8.点 P 是双曲线 -y =1 的右支上一点,M、N 分别是(x+ 5)2 4 +y2=1 和(x- 5)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值是( A.2 C.6 B.4 D.8
第 - 43 - 页 版权所有 升学 e 网通

)

www.ewt360.com

升学助考一网通

解析:如图,当点 P、M、N 在如图所示的位臵时, |PM|-|PN| 可取得最大值,注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点,故 |PM|- |PN| = (|PF1| + |F1M|) - (|PF2| - |F2N|) = |PF1| - |PF2| + |F1M| + |F2N| = 2a + 2R=6.

答案:C 9.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭 圆和双曲线的一个交点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双 曲线的离心率,则( 1 1 A. 2+ 2=4 e1 e 2 1 1 C. 2+ 2=2 e1 e 2 )
2 B.e2 1+e2=4

2 D.e1 +e2 2=2

解析:设椭圆的长半轴长为 a,双曲线的实半轴长为 m,
? ?|PF1|+|PF2|=2a 则? ? ?||PF1|-|PF2||=2m

① ②

.

①2+②2 得 2(|PF1|2+|PF2|2)=4a2+4m2, 又|PF1|2+|PF2|2=4c2,代入上式得 4c2=2a2+2m2, 1 1 两边同除以 2c2,得 2= 2+ 2,故选 C. e1 e 2 答案:C x 2 y2 10.已知双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离 a b 心率为( )
第 - 44 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

A. 3 C. 5 2

B. 2 D. 2 2

b2 b 2 2 解析:两条渐近线 y=± ax 互相垂直,则-a2=-1,则 b =a ,双 2a2 c 曲线的离心率为 e=a= a = 2,选 B. 答案:B x 2 y2 11.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离等于实 a b 轴长,则双曲线的离心率为( A. 2 C. 5 ) B. 3 D.2
2

c2 解析:焦点到渐近线的距离等于实轴长,可得 b=2a,e = 2=1 a b2 + 2=5,所以 e= 5. a 答案:C x 2 y2 12.(2011· 济南市质量调研)已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2= a b 1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围 是( ) A.(1, 3) C.(1+ 2,+∞) B.( 3,2 2) D.(1,1+ 2)

b2 a c2-a2 π 解析: 依题意得, 0<∠AF2F1< , 故 0<tan∠AF2F1<1, 则 = 4 2c 2ac 1 <1,即 e-e <2,e2-2e-1<0,
第 - 45 - 页 版权所有 升学 e 网通

(e-1) <2,所以 1<e<1+ 2,选 D. 答案:D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 在题中的横线上. x 2 y2 13.(2011· 安徽“江南十校”联考)设 F1、F2 分别是椭圆 + = 25 16 1 的左、 右焦点, P 为椭圆上任一点, 点 M 的坐标为(6,4), 则|PM|+|PF1| 的最大值为________. 解析: 由椭圆定义 |PM| + |PF1| = |PM| + 2×5 - |PF2| ,而 |PM| - |PF2|≤|MF2|=5,所以|PM|+|PF1|≤2×5+5=15. 答案:15 14.(2011· 潍坊市高考适应性训练)已知双曲线的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上,且一条渐近线为直线 3x+y=0,则该双曲线的离心率 等于________. c2-a2 x 2 y2 b2 b 解析:设双曲线方程为 2- 2=1,则a= 3, 2=3, 2 =3, a b a a c ∴e=a=2. 答案:2 x 2 y2 15.(2011· 潍坊 2 月模拟)双曲线 - =1 的右焦点到渐近线的距 3 6 离是________. 解析:双曲线右焦点为(3,0),渐近线方程为:y=± 2x,则由点到 直线的距离公式可得距离为 6. 答案: 6 16.(2011· 郑州市质量预测(二))设抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经 过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,且点 P 恰为 AB 的中
第 - 46 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com 2

升学助考一网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

→ → 点,则|AF|+|BF|=________. 解析:∵x2=4y,∴p=2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2, → p → p y1+y2=8.∵|AF|=y1+ ,|BF|=y2+ , 2 2 → → ∴|AF|+|BF|=y1+y2+p=8+2=10. 答案:10 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2011· 陕西) 如图, 设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点, 点 D 是 P 在 x 轴上的投影, 4 M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5

(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5 解:(1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

?xP=x, 由已知得? 5 y P= y, ? 4
第 - 47 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

?5 ? ∵P 在圆上,∴x2+?4y?2=25, ? ?

x 2 y2 即点 M 的轨迹 C 的方程为 + =1. 25 16 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 5 4 y= (x-3), 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5 x2 ?x-3? + =1, 25 25 即 x2-3x-8=0. ∴x1= 3- 41 3+ 41 ,x2= . 2 2
2

∴线段 AB 的长度为 |AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 =
? 16? ?1+ ??x1-x2?2= 25? ?

41 41 ×41= . 25 5

18.(本小题满分 12 分) (2011· 广东)设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x- 5)2+y2=4 中的 一个内切,另一个外切. (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程;
?3 5 4 5? ?, (2)已知点 M? F( 5, 0)且 P 为 L 上动点, 求||MP|-|FP|| , 5 ? ? 5

的最大值及此时点 P 的坐标. 解:(1)设动圆 C 的圆心 C(x,y),半径为 r.
第 - 48 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

两个定圆半径均为 2, 圆心分别为 F1(- 5, 0), F2( 5, 0), 且|F1F2| =2 5.

若⊙C 与⊙F1 外切与⊙F2 内切,则 |CF1|-|CF2|=(r+2)-(r-2) =4 若⊙C 与⊙F1 内切与⊙F2 外切,则|CF2|-|CF1|=(r+2)-(r-2) =4. ∴||CF1|-|CF2||=4 且 4<2 5. ∴动点 C 的轨迹是以 F1,F2 为焦点,实轴长为 4 的双曲线. 这时 a=2,c= 5,b=c2-a2=1,焦点在 x 轴上. x2 2 ∴点 C 轨迹方程为 -y =1. 4 x2 2 (2)若 P 在 -y =1 的左支上, 4 则||PM|-|PF||<|MF|. x2 2 若 P 在 -y =1 的右支上, 4 由图知,P 为射线 MF 与双曲线右支的交点,

||FM|-|PF||max=|MF|=

? 3 5?2 ?4 5?2 ? 5- ? +? ? =2. 5 ? ? 5 ? ?

第 - 49 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

直线 MF:y=-2(x- 5).

?y=-2?x- 由?x2 2 ? 4 -y =1

5? 得 15x2-32 5x+84=0,

?x =6 5 5 解之得:? 2 5 y =- , ? 5
1 1

5 < 5 ?x =14 15 或? 58 5 y =- ?舍?, ? 15
2 2

?6 5 2 5? ?. 所以 P 点坐标为? ,- 5 ? ? 5

19.(本小题满分 12 分) (2011· 安徽)设 λ>0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 y=x2 上运 → → 动, 点 Q 满足BQ=λQA, 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M, → → 点 P 满足QM=λMP,求点 P 的轨迹方程.

→ → 解:由QM=λMP知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上, 故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2), 则 x2-y0=λ(y-x2),即 y0=(1+λ)x2-λy. ①

→ → 再设 B(x1,y1),由BQ=λQA,即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),
第 - 50 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

解得
? ?x1=?1+λ?x-λ, ? ? ?y1=?1+λ?y0-λ.



将①式代入②式,消去 y0,得
? ?x1=?1+λ?x-λ, ? 2 2 ?y1=?1+λ? x -λ?1+λ?y-λ. ?



2 又点 B 在抛物线 y=x2 上,所以 y1=x2 1,再将③式代入 y1=x1,得

(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2. (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2. 2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0. 因 λ>0,两边同除以 λ(1+λ),得 2x-y-1=0. 故所求点 P 的轨迹方程为 y=2x-1. 20.(本小题满分 12 分) (2011· 天津)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点, x 2 y2 F1、F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角 a b 形. (1)求椭圆的离心率 e. (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点, → → 满足AM· BM=-2,求点 M 的轨迹方程. 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),由题意,可得|PF2|=|F1F2|,
?c? c c c 即 ?a-c?2+b2=2c,整理得 2?a?2+a-1=0,得a=-1(舍)或a= ? ?

1 1 ,所以 e= . 2 2
第 - 51 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com 2

(2)由(1)知 a=2c,h= 3c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c . 直线 PF2 方程为 y= 3(x-c).

升学助考一网通 2 2

2 2 2 ? ?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并整理, ?y= 3?x-c?. ?

? ?x1=0, 8 得 5x -8cx=0, 解得 x1=0, x2= c, 得方程组的解? 5 ? ?y1=- 3c,
2

?x =5c, ? 3 3 ? y = 5 c.
2 2

8

?8 3 3 ? 不妨设 A? c, c? , 5 ? ?5

B(0,- 3c). → ? 8 3 3 ? → ? 设点 M 的坐标为(x,y),则AM= x- c,y- c?,BM=(x,y 5 5 ? ? + 3c). → ?8 3 3 3 8 3 3 ? 由 y= 3(x-c), 得 c=x- y, 于是AM=? y - x , y- x?, 3 5 5 5 ? ? 15 → → → ?8 3 ?8 3 ? 3 3 ? BM= (x, 3x),由AM· BM=- 2,即? x+? y- y- x?· x? · 3 x 5 ? 5 ? ? 15 ?5 =-2,化简得 18x2-16 3xy-15=0. 18x2-15 10x2+5 3 将 y= 代入 c=x- y,得 c= >0,所以 x>0. 3 16x 16 3x 因此,点 M 的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0). 21.(本小题满分 12 分) x 2 y2 (2011· 山东)已知动直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 P(x1, y1), Q(x2, 3 2

第 - 52 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

y2)两不同点,且△OPQ 的面积 S△OPQ=

6 ,其中 O 为坐标原点. 2

2 2 2 (1)证明 x1 +x2 和 y2 1+y2均为定值;

(2)设线段 PQ 的中点为 M,求|OM|· |PQ|的最大值; (3)椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G,使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG = 6 ?若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由. 2 解:(1)证明:①当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对 称. 所以 x2=x1,y2=-y1, 因为 P(x1,y1)在椭圆上,
2 x2 y1 1 因此 + =1. 3 2

① 6 6 .所以|x1|· |y1|= . 2 2 ②

又因为 S△OPQ= 由①②得|x1|=

6 ,|y1|=1, 2

2 2 2 此时 x1 +x2 2=3,y1+y2=2.

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m. x 2 y2 由题意知 m≠0,将其代入 + =1 得 3 2 (2+3k2)x2+6kmx+3(m2-2)=0. 其中 Δ=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)>0. 即 3k2+2>m2. 3?m2-2? 6km 又 x1+x2=- ,x1x2= . 2+3k2 2+3k2 (*)

第 - 53 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com 2 2 2

2 6 3k +2-m2 所以|PQ|= 1+k · ?x1+x2? -4x1x2= 1+k · . 2+3k2

升学助考一网通 2

因为点 O 到直线 l 的距离为 d= 1 所以 S△OPQ= |PQ|· d 2

|m| . 1+k2

2 2 1 |m| 2 2 6 3k +2-m = 1+k · · 2 2 2+3k 1+k2

6|m| 3k2+2-m2 6 = 又 S△OPQ= . 2 2 2+3k
2 2 整理得 3k2+2=2m2, 且符合(*)式. 此时, x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2

? 6km ?2 3?m2-2? =?-2+3k2? -2× =3. 2+3k2 ? ?

2 2 2 2 2 2 2 2 y2 1+y2= (3-x1)+ (3-x2)=4- (x1+x2)=2. 3 3 3
2 2 2 综上所述,x1 +x2 =3;y2 1+y2=2,结论成立.

(2)解法一: ①当直线 l 的斜率不存在时. 由(1)知|OM|=|x1|= 因此|OM|· |PQ|= 6 .|PQ|=2|y1|=2. 2

6 ×2= 6. 2

②当直线 l 的斜率存在时,由(1)知: x1+x2 3k =- . 2 2m y1+y2 ?x1+x2? ?+m =k? 2 ? 2 ?

第 - 54 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com 2

升学助考一网通 2 2



-3k 3k +2m 1 +m=- =m. 2m 2m
2

2 ?x1+x2?2 ?y1+y2?2 9k2 1? 1 6m -2 1? ? +? ?= |OM| =? 2+ 2= 2 = ?3- 2?. m? 4m m 4m 2? ? 2 ? ? 2 ?

24?3k2+2-m2? |PQ| =(1+k ) ?2+3k2?2
2 2

2?2m2+1? ? 1? = =2?2+m2?. 2 m ? ? 1? ? 1? ? 1 ?? 1? 1 ? 所以|OM|2· |PQ|2= ×?3-m2?×2×?2+m2?=?3-m2??2+m2? 2 ? ? ? ? ? ?? ?

?3- 12+2+ 12?2 25 m?= . ≤? m ? ? 4 2
5 1 1 所以|OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 3- 2=2+ 2,即 m=± 2时,等 2 m m 号成立. 5 综合(1)(2)得|OM|· |PQ|的最大值为 . 2 解法二: 因为 4|OM|2+|PQ|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2+(x2-x1)2+(y2-y1)2
2 2 2 =2[(x2 1+x2)-(y1+y2)]=10.

4|OM|2+|PQ|2 10 所以 2|OM|· |PQ|≤ = =5. 2 2 5 即 |OM|· |PQ|≤ ,当且仅当 2|OM|= |PQ|= 5时等号成立.因此 2 5 |OM|· |PQ|的最大值为 . 2 (3)椭圆 C 上不存在三点 D, E, G, 使得 S△ODE=S△ODG=S△OEG=
第 - 55 - 页 版权所有 升学 e 网通

6 . 2

www.ewt360.com

升学助考一网通

证明:假设存在 D(u,v),E(x1,y1),O(x2,y2)满足 S△ODE=S△ODG =S△OEG= 6 , 2

由(1)得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 u2+x1 =3,u2+x2 2=3,x1+x2=3,v +y1=2,v +y2=2,y1+y2

=2, 3 2 2 2 解得:u2=x1 =x2 = ,v2=y2 1=y2=1. 2 6 因此,u,x1,x2 只能从± 中选取,v,y1,y2 只能从± 1 中选取, 2
? 6 ? 因此 D、E、G 只能在?± ,± 1?这四点中选取三个不同点, ? 2 ?

而这三点的两两连线中必有一条过原点. 与 S△ODE=S△ODG=S△OEG= 6 矛盾. 2

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G. 22.(本小题满分 14 分) x2 (2011· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 4 y2 + =1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在 2 第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于 点 B,设直线 PA 的斜率为 k.

第 - 56 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d;

(3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB. 解:(1)由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所 以线段 MN 中点的坐标为?-1,-
? ?

2? ?.由于直线 PA 平分线段 MN,故 2?

2 - 2 直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所以 k= = -1 2 . 2

(2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 x2 4x2 2 + =1,解得 x=± , 4 2 3
?2 4? ? 2 4? 因此 P?3,3?,A?-3,-3?. ? ? ? ?

第 - 57 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

4 0+ 3 ?2 ? 于是 C?3,0?,直线 AC 的斜率为 =1,故直线 AB 的方程为 x 2 2 ? ? + 3 3 2 -y- =0. 3
?2 4 2? ? - - ? ?3 3 3?

因此,d=

1 +1

2

2



2 2 . 3

x 2 y2 (3)证法一:将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1,解得 x= 4 2 ± 2 2 , 2记 μ= 1+2k 1+2k2 则 P(μ,μk),A(-μ,-μk).于是 C(μ,0).故直线 AB 的斜率为 0+μk k = , μ+μ 2 k 其方程为 y= (x-μ), 2 代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0, μ?3k2+2? 解得 x= 或 x=-μ. 2+k2
?μ?3k2+2? μk3 ? ?. 因此 B? 2 , 2+k2? ? 2+k

μk3 -μk 2+k2 于是直线 PB 的斜率 k1= μ?3k2+2? -μ 2+k2 k3-k?2+k2? 1 = 2 2 =- . k 3k +2-?2+k ? 因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 证法二:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,
第 - 58 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

-y1),C(x1,0).设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2.因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= 0-?-y1? y1 k = = . x1-?-x1? 2x1 2

2 y2-y1 y2-?-y1? 2y2 2-2y1 从而 k1k+ 1 = 2k1k2+ 1= 2· · + 1= 2 + 1= x2-x1 x2-?-x1? x2-x2 1 2 2 2 ?x2 4-4 2+2y2?-?x1+2y1? = 2 2 2 2=0. x2-x1 x2-x1

因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB.专题四综合测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
?π ? 1.函数 f(x)=lgsin?4-2x?的一个增区间为( ? ? ?3π 7π? A.? 8 , 8 ? ? ? ? ? ?5π 7π? C.? 8 , 8 ? ?7π 9π? B.? 8 , 8 ? ? ? ? ? 7π 3π? D.?- 8 ,- 8 ? ?

)

?π ? ? π? π 解析:由 sin?4-2x?>0,得 sin?2x-4?<0,∴π+2kπ<2x- <2π+ 4 ? ? ? ? ?π ? ?π ? 2kπ,k∈Z;又 f(x)=lgsin?4-2x?的增区间即 sin?4-2x?在定义域内的 ? ? ? ?

增区间,
? π? π 3π 即 sin?2x-4?在定义域内的减区间,故 π+2kπ<2x- < +2kπ, 4 2 ? ?

k∈Z.化简得 C.

5π 7π 5π 7π +kπ<x< +kπ,k∈Z,当 k=0 时, <x< ,故选 8 8 8 8

答案:C 2.若函数 f(x)=sinax+ 3cosax(a>0)的最小正周期为 1,则它的
第 - 59 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

图象的一个对称中心为( 1 A.(- ,0) 3
?1 ? C.?3,0? ? ?

) π B.(- ,0) 3 D.(0,0)

? π? 2π 解析:f(x)=2sin?ax+3? (a>0),∵ T= a =1,∴a=2π,∴f(x)= ? ? ? π? π k 1 2sin?2πx+3?,由 2πx+ =kπ,k∈Z,得 x= - ,k∈Z,当 k=1 时, 3 2 6 ? ? ?1 ? 1 x= ,故?3,0?是其一个对称中心,故选 C. 3 ? ?

答案:C 3.已知函数 f(x)=asinx+acosx(a<0)的定义域为[0,π],最大值为 4,则 a 的值为( A.- 3 C.- 2 ) B.-2 2 D.-4

? π? π 解析: f(x)=asinx+acosx= 2asin?x+4?, 当 x∈[0, π]时, x+ ∈ 4 ? ? ? ?π 5π? ? π? ? ? π? 2 ? , ?,∴sin?x+ ?∈?- ,1?,由于 a<0,故 2asin?x+ ?∈[ 2a, 4? 4? ? 2 4? ?4 ? ? ?

-a],即 f(x)的最大值为-a,∴-a=4,即 a=-4.故选 D. 答案:D 4.将函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0, ω>0,0<φ<π)的图象向右平移 2π 个单位,所得曲线的一部分如图所示,则 f(x)的解析式为( 3 )

第 - 60 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

3 ?12 21π? A.f(x)= sin? 11x- 22 ?+1 2 ? ? 3 ?12 21π? 1 B.f(x)= sin?11x+ 22 ?+ 2 ? ? 2
?11 21π? 1 C.f(x)=2sin?12x+ 22 ?- ? ? 2

3 ?12 5π? 1 D.f(x)= sin? 11x+22?+ 2 ? ? 2 解析:图象平移之前与平移之后的 A,ω,k 都是相同的,由平移
?7π π? 2π 3 1 12 之后的图象可知 2A=3, ∴A= , k= ; T=2×? 6 -4?= ω , ∴ω= . 2 2 11 ? ? ? 1 ?π ? 3 ?12 设平移后的函数解析式为 g(x)= sin?11x+φ1?+ ,将?4,2?代入, 2 ? ? 2 ? ?


?3π ? 5π 5π sin? 11 +φ1?=1,∴φ1=2kπ+ ,k∈Z,取 k=0,则 φ1= ,故 22 22 ? ?

3 ?12 5π? 1 g(x)= sin? 11x+22?+ . 2 ? ? 2 将其图象向左平移 2π 个单位,得 f(x)的解析式为 f(x) 3

3 ?12? 2π? 5π? 1 = sin?11?x+ 3 ?+22?+ , 2 ? ? ? ? 2 3 ?12 21π? 1 即 f(x)= sin? 11x+ 22 ?+ .故选 B. 2 ? ? 2
第 - 61 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

答案:B 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A =60° ,a=4 3,b=4 2,则 B=( A.45° 或 135° C.45° ) B.135° D.以上都不对

1 3 2 解析:由正弦定理,得 sinB= ×4 2× = ,∴B=45° 或 2 2 4 3 135° ,又 a>b,∴A>B,∴B=45° .故选 C. 答案:C A b+c 6.在△ABC 中,cos2 = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边), 2 2c 则△ABC 的形状为( A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 1+cosA b+c A b+c 解析:∵cos2 = ,∴ = , 2 2c 2 2c b2+c2-a2 b+c ∴1+ = c , 2bc 化简得 a2+b2=c2,故△ABC 是直角三角形.故选 B. 答案:B 7. 在△ABC 中, 若角 A, B, C 成公差大于 0 的等差数列, 则 cos2A +cos2C 的最大值为( 1 A. 2 ) 3 B. 2
第 - 62 - 页 版权所有 升学 e 网通

)

www.ewt360.com

升学助考一网通

C.2

D.不存在

解析:∵角 A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B, 又 A+B+C=180° ,∴B=60° ,A+C=120° . cos2A+cos2C= 1+cos2A 1+cos2C 1 1 + =1+ (cos2A+cos2C)=1+ 2 2 2 2

1 [cos(240° -2C)+cos2C]=1+ cos(2C+60° ). 2

∵60° <C<120° ,∴180° <2C+60° <300° , 1 1 5 ∴ <1+ cos(2C+60° )< ,即 cos2A+cos2C 的最大值不存在,故 2 2 4 选 D. 答案:D
? π? 8.关于 x 的方程 cos2x+sin2x=2k 在?0,2?内有两个不同的实数 ? ?

解,则 k 的取值范围是(
?1 2? A.? , ? 2? ?2 ?1 2? C.? , ? 2? ?2

)
? 1 2? B.?- , ? 2? ? 2 ? 1 2? D.?- , ? 2? ? 2

1 解析:由 cos2x+sin2x=2k,得 k= (cos2x+sin2x)= 2 π? ? π? 2 ? π ?π 5π? sin?2x+4?,当 x∈?0,2?时,2x+ ∈?4, 4 ?, 2 4 ? ? ? ? ? ? π? 1 2 ? 2 1 2 ∴- < sin?2x+4?≤ .数形结合可知,当 <k< 时,方程有两 2 2 2 2 2 ? ? 个不同的实数解.故选 A. 答案:A → → 9.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,且|AB|=λ|DC|,设AB=a,AD=
第 - 63 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

→ b,则AC=( A.λa+b 1 C.λa+b

) B.a+λb 1 D.a+λb

→ → → 1→ 1 解析:AC=AD+DC=b+λAB=b+λa.故选 C.

答案:C
?3 ? ? 1? 10.设 a=?2,sinα?,b=?cosα,3?,若 a∥b,则锐角 α 为( ? ? ? ?

)

A.30° C.60°

B.45° D.75°

3 1 解析:∵a∥b,∴ × -sinαcosα=0,即 sin2α=1,由于 α 为锐 2 3 角,故 0° <2α<180° ,∴2α=90° ,∴α=45° .故选 B. 答案:B 11.已知正方形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为 A(1,0), B(5,3),D 点在第二象限,则顶点 C 的坐标为( A.(3,7) C.(-1,11) B.(8,-1) D.(2,7) )

→ → 解析:由于 A(1,0),B(5,3),故AB=(4,3),设 D(x,y),则AD=(x → → → → ? ? ?4?x-1?+3y=0 ?x=-2 ? -1, y), 且AD⊥AB, |AD|=|AB|, 即? , 解得 2 2 ??x-1? +y =25 ?y=4 ? ?
?x=4 ? 或? (舍去),即 D(-2,4). ? ?y=-4

第 - 64 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

→ → → ?a+2=4 ? 设 C(a,b),则DC=(a+2,b-4),由DC=AB,得? , ? ?b-4=3
? ?a=2 故? ,即 C(2,7).故选 D. ?b=7 ?

答案:D

12. 点 P 是△ABC 内一点, O 是△ABC 所在平面内一定点, 若 λ>0, → →? → → ? ? AB ? BA → → → → AC BC ? ? ? ? μ>0,点 P 满足OP=OA+λ → + → ,OP=OB+λ → + → ,

? ?|AB|

|AC|?

?

? ?|BA|

|BC|?

?

则点 P 是△ABC 的( A.外心 C.垂心

) B.内心 D.重心

→ → ? ? AB → → → → AC ? ? 解析:∵OP=OA+λ → + → ,∴OP-OA=

? ?|AB|

|AC|?

?

→ → ? → →? → → ? AB ? → → AC ? AB AC ? ? AB AC ? λ → + → ,即AP=λ → + → ,而 与 分别是AB与 → → ? ? ? ? ?|AB| |AC|? ?|AB| |AC|? |AB| |AC| → → → AB AC AC方向上的单位向量,故 + 的方向与∠BAC 的平分线的方向 → → |AB| |AC| 相同,又 λ>0,故 → → ? ? AB AC ? ? λ → + → 与∠BAC 的平分线的方向相同,所以点 P 在∠BAC ? ? ?|AB| |AC|? 的平分线上.同理,点 P 在∠ABC 的平分线上,故点 P 是△ABC 的内
第 - 65 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

心.选 B. 答案:B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 在题中的横线上. 13.(2011· 福建)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45° ,则 AD 的长度等于________.

1 BC 2 3 解析:在△ABC 中,cosC= AC = , 2 ∴C=30° ,由 ∴AD= AD AC = , sinC sin∠ADC

2 1 AC · sinC= · = 2. sin∠ADC 22 2

答案: 2 14.(2011· 安徽)已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成 公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为________. 解析:设三边长为 a,a+4,a+8,则 120° 角所对边长为 a+8, 由余弦定理得(a+8)2=a2+(a+4)2-2a· (a+4)· cos120° ,化简得 a2-2a -24=0,解得 a=6 或 a=-4(舍去). 1 ∴三角形面积 S= a· (a+4)· sin120° =15 3. 2 答案:15 3 15.(2011· 课标)在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的
第 - 66 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

最大值为________. 解析:由正弦定理, 3 AB BC = = =2, sinC sinA 3 2

得 AB=2sinC,BC=2sinA, 则 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin(180° -60° -A)+4sinA= 3 cosA+5sinA=2 7sin(A+φ),其中 tanφ= π = 时,AB+2BC 取最大值 2 7. 2 答案:2 7 16.(2011· 上海)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠ CAB=75° ,∠CBA=60° ,则 A、C 两点之间的距离为________千米. 解析: 如图,∠ C= 180° - 75° - 60° = 45° .由正弦定理, AC . sin60° 2 = sin45° 3 (φ 为锐角),故当 A+φ 5

得 AC= 6. 答案: 6 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) (2011· 山东)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.
第 - 67 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

cosA-2cosC 2c-a 已知 = b . cosB (1)求 sinC 的值; sinA

1 (2)若 cosB= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4 a b c 解:(1)由正弦定理,设 = = =k, sinA sinB sinC 2c-a 2ksinC-ksinA 2sinC-sinA 则 b = = . ksinB sinB 所以 cosA-2cosC 2sinC-sinA = cosB sinB

即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C) 又 A+B+C=π, 所以 sinC=2sinA.因此 (2)由 sinC =2 得 c=2a. sinA sinC =2. sinA

1 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 及 cosB= ,b=2, 4 得 4=a2+4a2-4a2× 1 4

解得 a=1,从而 c=2 1 15 又因为 cosB= ,且 0<B<π,所以 sinB= . 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsinB= ×1×2× = . 2 2 4 4 18.(本小题满分 12 分) (2011· 全国)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A
第 - 68 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

-C=90° ,a+c= 2b,求 C. 解:由 A-C=90° ,得 A 为钝角且 sinA=cosC,利用正弦定理, a+c= 2b 变形为 sinA+sinC= 2sinB, 即有 sinA+sinC=cosC+sinC
? π? π = 2sin?C+ 4?= 2sinB,又 A,B,C 是△ABC 的内角,故 C+ =B, 4 ? ? ?π ? ? π? π 所以 A+B+C=?2+C?+?C+4?+C=π?C= . 12 ? ? ? ?

19.(本小题满分 12 分) (2011· 江苏)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.
? π? (1)若 sin?A+6?=2cosA,求 A 的值; ? ?

1 (2)cosA= ,b=3c,求 sinC 的值. 3 π π 解: (1)由题设知 sinAcos +cosAsin =2cosA, 从而 sinA= 3cosA, 6 6 π 所以 cosA≠0,tanA= 3.因为 0<A<π,所以 A= . 3 1 (2)由 cosA= ,b=3c 及 a2=b2+c2-2bccosA,得 a2=b2-c2. 3 π 故△ABC 是直角三角形,且 B= . 2 1 所以 sinC=cosA= . 3 20.(本小题满分 12 分) (2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 1 已知 sinA+sinC=psinB(p∈R),且 ac= b2. 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围.
第 - 69 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

5 ? a + c = ? 4 解:(1)由题设并利用正弦定理,得? 1 ? ?ac=4

?a=1, 解得? 1 ?c=4



?a=1, ? 4 ?c=1.
(2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB =(a+c)2-2ac-2accosB 1 1 =p2b2- b2- b2cosB, 2 2 3 1 即 p2= + cosB. 2 2
?3 ? 6 因为 0<cosB<1,得 p2∈?2,2?,由题设知 p>0,所以 <p< 2. 2 ? ?

21.(本小题满分 12 分) (2011· 江西)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已 C 知 sinC+cosC=1-sin . 2 (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. C 解:由已知得 sinC+sin =1-cosC, 2 C ? C? C 即 sin ?2cos 2 +1?=2sin2 , 2? 2 ? C C C C C 1 由 sin ≠0 得 2cos +1=2sin ,即 sin -cos = , 2 2 2 2 2 2 3 两边平方得 sinC= . 4
第 - 70 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

π C π C C 1 (2)由 sin -cos = >0,得 < < , 2 2 2 4 2 2 π 3 7 即 <C<π,由 sinC= ,得 cosC=- , 2 4 4 由 a2+b2=4(a+b)-8,得(a-2)2+(b-2)2=0,得 a=2,b=2, 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=8+2 7,所以 c= 7+1. 22.(本小题满分 14 分) (2011· 黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动, 如图(1)在某次攀岩活动中,两名运动员在如图所示位置,为确保运动 员的安全,地面救援者应时刻注意两人离地面的距离,以备发生危险 时进行及时救援.为了方便测量和计算,现如图(2)A,C 分别为两名攀 岩者所在位置,B 为山的拐角处,且斜坡 AB 的坡角为 θ,D 为山脚, 某人在 E 处测得 A,B,C 的仰角分别为 α,β,γ,ED=a.

(1)求:BD 间的距离及 CD 间的距离; (2)求证:在 A 处攀岩者距地面的距离 h= asinαsin?θ+β? . cosβsin?α+θ? 解:(1)根据题意得∠CED=γ,∠BED=β,∠AED=α.

第 - 71 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

CD 在直角三角形 CED 中, tanγ=DE,CD=atanγ, BD 在直角三角形 BED 中,tanβ=DE,BD=atanβ. (2)证明:易得 AE= h a ,BE= , sinα cosβ

在△ABE 中,∠AEB=α-β,∠EAB=π-(α+θ), 正弦定理 BE AE = , sin∠EAB sin∠ABE asinαsin?θ+β? . cosβsin?α+θ?

代入整理:h=

专题五综合测试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列,则有( a4 a6 A. < a6 a8 a4 a6 C. > a6 a8 a4 a6 D. ≥ a6 a8 a4 a 6 B. ≤ a6 a 8 )

2 2 解析:a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=a1 +10a1d+21d2,a2 6=(a1+5d) =

a4 a6 2 a1 +10a1d+25d2,故 ≤ . a6 a8 答案:B 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则

第 - 72 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

k=(

) A.9 C.7 B.8 D.6

解析:由题意知,数列{an}为等差数列,an=Sn-Sn-1=2n-10, 由 5<2k-10<8,k∈N*,得到 k=8. 答案:B a 3.对于非零实数 a、b,“b(b-a)≤0”是“b≥1”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 )

D.既不充分也不必要条件

b-a a a 解析: ∵a≠0, b≠0, 故有 b(b-a)≤0? b ≤0?1-b≤0?b≥1. 故选 C. 答案:C
2 ? ?x +4x, x≥0 4.已知函数 f(x)=? ),若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 2 ? ?4x-x , x<0

的取值范围是(

) B.(-1,2)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,1)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞)

解析:由题知 f(x)在 R 上是增函数,可得 2-a2>a,解得-2<a<1, 故选 C. 答案:C 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a 是不为 0 的实数),那么 {an}( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列
第 - 73 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

C.可能是等差数列,也可能是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 答案:C 6.(2011· 保定)等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,a1= -2008, S2007 S2005 - =2,则 S2008 的值为( 2007 2005 B.2006 D.2008 S2007 S2005 - =2 的结构,可联想到等差数列{an}的前 2007 2005 )

A.-2006 C.-2008 解析:由已知

S2007 S2005 S2008 Sn d d n 项和 Sn 的变式,n =a1+ (n-1), 故由 - =2, 得 =1, 2 2007 2005 2 2008 =-2008+(2008-1)· 1=-1,∴S2008=-2008. 答案:C 7.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( 1 A.ab≤ 2 B.ab≥ 1 2 )

C.a2+b2≤3

D.a2+b2≥2

解析: ∵a≥0, b≥0, 且 a+b=2, ∴4=(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2 +b2),∴a2+b2≥2. 答案:D 8.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1] C.[3,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

解析:∵等比数列{an}中,a2=1,∴S3=a1+a2+a3=
?1 ? 1 1 a2?q+1+q?=1+q+q.当公比 q>0 时,S3=1+q+q≥1+2 ? ?
第 - 74 - 页 版权所有 升学 e 网通

1 q· q

www.ewt360.com

升学助考一网通

? 1? =3,当公比 q<0 时,S3=1-?-q-q?≤1-2 ? ?

? 1? ?- ?=-1, ?-q?· q ? ?

∴S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 答案:D 9. (2011· 广东广州模拟)p= ab+ cd, q= ma+nc· n、a、b、c、d 均为正数),则 p、q 的大小关系为( A.p≥q C.p>q 解析:q= cd=p,故选 B. 答案:B 10.设 Sn=1+2+3+?+n,n∈N*,则函数 f(n)= 最大值为( 1 A. 20 ) 1 B. 30 1 C. 40 1 D. 50 Sn 的 ?n+32?Sn+1 B.p≤q D.不确定 mad nbc ab+ n + m +cd ≥ ab+2 abcd+cd = ab + ) b d m+n(m、

解析: 由 Sn =

n?n+1? n n 得 f(n) = = 2 = 2 ?n+32??n+2? n +34n+64

1 1 1 64 ≤ = ,当且仅当 n= n ,即 n=8 时取等号,即 64 2 64+34 50 n+ n +34 f(n)max=f(8)= 答案:D x-y≥0 ? ? 满足约束条件?x+y≤1 ? ?x+2y≥1
第 - 75 - 页

1 . 50

11.设变量 x,y

,则目标函数 z=5x

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

+y 的最大值为( A.4 C.6 D.7

) B.5

解析:如图,由图可知目标函数 z=5x+y 过点 A(1,0)时 z 取得最 大值,zmax=5.

答案:B 12.{an}为等差数列,若 a11 <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最大值, a10 )

那么当 Sn 取得最小正值时,n=( A.11 C.19 B.17 D.21

解析: 等差数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值, 则公差小于零. 又

a11 a10

<-1,则有 a11<0,a10>0,a10+a11<0,即 S19>0,S20<0,则当 Sn 取得 最小正值时,n=19. 答案:C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 在题中的横线上. 13.在公差为 d(d≠0)的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和, 则数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30 也成等差数列,且公差为 100d.类 比上述结论,在公比为 q(q≠1)的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的
第 - 76 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

前 n 项之积,则有____________________________. 答案: T20 T30 T40 , , 也成等比数列,且公比为 q100 T10 T20 T30

14.(2011· 陕西省高三诊断)观察下列等式: 12+22= 2?2+1??2×2+1? , 6 3?3+1??2×3+1? , 6 4?4+1??4×2+1? ,?,根据上述规律可得 12+22 6

12+22+32=

12+22+32+42=

+32+?+n2=________. 解 析 : 通 过 观 察 前 三 个 等 式 可 得 12 + 22 + 32 + ? + n2 = n?n+1??2n+1? . 6 答案: n?n+1??2n+1? 6

15.已知数列{an}为等差数列,则有等式 a1-2a2+a3=0,a1-3a2 +3a3-a4=0,a1-4a2+6a3-4a4+a5=0, (1) 若 数 列 {an} 为 等 比 数 列 , 通 过 类 比 , 则 有 等 式 _______ _________. (2)通过归纳,试写出等差数列{an}的前 n+1 项 a1,a2,??,an, an+1 之间的关系为____________________. 解析:因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算,后 者是乘法运算,所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算,从 而解出第(1)问;通过观察发现,已知等式的系数与二项式系数相同, 解出第(2)问.
-3 3 -1 -4 6 -4 2 答案:(1)a1a- 2 a3=1,a1a2 a3a4 =1,a1a2 a3a4 a5=1

0 1 2 (2)Cn a1-Cn a2+Cn a3-??+(-1)nCn nan+1=0 第 - 77 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通 x x+ 1

16.若不等式 4 -2 为________.

-a≥0 在[1,2]上恒成立,则 a 的取值范围

解析:由题得 a≤4x-2x+1 在[1,2]上恒成立,即 a≤(4x-2x+1)min= [(2x-1)2-1]min=0. 答案:(-∞,0] 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)满足 ax· f(x)=b+f(x)(a· b≠0),f(1)=2 且 f(x+2)= -f(2-x)对定义域中任意 x 都成立. (1)求函数 f(x)的解析式; 2 ? 1? ? ,求证: (2)正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn= ?3- f?an?? 4? 数列{an}是等差数列. 解:(1)由 ax· f(x)=b+f(x)(a· b≠0),得 f(x)(ax-1)=b,若 ax-1 =0,则 b=0,不合题意,故 ax-1≠0, b ∴f(x)= . ax-1 由 f(1)=2= b ,得 2a-2=b, a-1 ① b = a?x+2?-1 ②
2

由 f(x+2)=-f(2-x)对定义域中任意 x 都成立,得 - 1 b ,由此解得 a= , 2 a?2-x?-1 把②代入①,可得 b=-1, -1 2 ∴f(x)= = (x≠2). 1 2-x x-1 2
第 - 78 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

2 ?2 2 1? ?, (2)证明:∵f(an)= ,Sn= ?3- f?an?? 4? 2-an 1 1 ∴Sn= (an+1)2,a1= (a1+1)2,∴a1=1; 4 4 1 当 n≥2 时,Sn-1= (an-1+1)2, 4 1 2 ∴an=Sn-Sn-1= (an -a2 n-1+2an-2an-1), 4 ∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0, ∵an>0, ∴an-an-1-2=0,即 an-an-1=2, ∴数列{an}是等差数列. 18.(本小题满分 12 分) (2011· 山东青岛十九中模拟)等差数列{an}的各项均为正数,a1=3, 前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}中,b1=1,b2S2=64,{ban}是公比为 64 的等比数列. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 1 3 (2)证明: + + +?+S < . S1 S2 S3 n 4 解:(1)设{an}的公差为 d,d 为正数,{bn}的公比为 q,则 an=3+(n-1)d,bn=qn-1. ba q ? ? b = 3 ?n 1?d 1=qd=64=26 q 依题意有? a ?S2b2=?6+d?q=64 ?
n+1 n + - -

3+nd-1



由(6+d)q=64 知 q 为正有理数, 又由 q=2
6 d

知,d 为 6 的因数 1,2,3,6 之一,解之得 d=2,q=8.

故 an=2n+1,bn=8n-1.

第 - 79 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(2)证明:由(1)知 Sn=n(n+2), 1 1 1 1 + + +?+S S1 S2 S3 n 1 1 1 1 = + + +?+ 1· 3 2· 4 3· 5 n?n+2? 1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 = ?1-3+2-4+3-5+?+n-n+2? 2? ? 1 1 ? 3 1? 1 = ?1+2-n+1-n+2?< . 2? ? 4 19.(本小题满分 12 分) (2011· 山东青岛模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=2· 3n+ k(k∈R,n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式和 k 的值; (2)设数列{bn}满足 an=4(5+k)
anbn

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,试

比较 3-16Tn 与 4(n+1)bn+1 的大小,并证明你的结论. 解:(1)由 Sn=2· 3n+k(k∈R,n∈N*),得当 n≥2 时,an=Sn-Sn
-1

=4· 3n-1. ∵{an}是等比数列,∴a1=S1=6+k=4,∴k=-2, 故 an=4· 3n-1(n∈N*). n-1 (2)由 an=4(5+k)anbn,an=4· 3n-1 和 k=-2,得 bn= n-1, 4· 3 ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn-1+bn= n-2 n-1 1 2 + 2+?+ n-2+ n-1 4· 3 4· 3 4· 3 4· 3

① n-2 n-1 1 2 3 3Tn= + + 2+?+ n-3+ n-2 4 4· 3 4· 3 4· 3 4· 3 ②

n-1 1 1 1 1 1 由②-①得,2Tn= + + 2+?+ n-3+ n-2- n-1, 4 4· 3 4· 3 4· 3 4· 3 4· 3
第 - 80 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

n-1 3 2n+1 1 1 1 1 1 ∴Tn= + + 2+?+ n-3+ n-2- n-1= - . 8 8· 3 8· 3 16 16· 8· 3 8· 3 8· 3 3n-1 4(n+1)bn+1-(3-16Tn)= n?n+1? 2n+1 n?n+1?-3?2n+1? - n-1 = , 3n 3n 3

∵n(n+1)-3(2n+1)=n2-5n-3, 5+ 37 5- 37 ∴当 n> 或 n< <0 时,有 n(n+1)>3(2n+1), 2 2 ∴当 n>5(n∈N*)时,有 3-16Tn<4(n+1)bn+1. 同理可得,当 5- 37 5+ 37 <n< 时,有 n(n+1)<3(2n+1), 2 2

∴当 1≤n≤5(n∈N*)时,有 3-16Tn>4(n+1)bn+1. 综上,当 n>5(n∈N*)时,有 3-16Tn<4(n+1)bn+1; 当 1≤n≤5(n∈N*)时,有 3-16Tn>4(n+1)bn+1. 20.(本小题满分 12 分) 某商店投入 81 万元经销某种北京奥运会特许纪念品, 经销时间共 60 天,为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经 营中.市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第 n 天的利润 an=

?1, ?1 ?10n,

1≤n≤20 21≤n≤60 (单位:万元,n∈N*).记第 n 天的利润率 bn=

第n天的利润 a3 ,例如 b3= . 前n天投入的资金总和 81+a1+a2 (1)求 b1,b2 的值; (2)求第 n 天的利润率 bn; (3)该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该天 的利润率.

第 - 81 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

1 1 解:(1)当 n=1 时,b1= ;当 n=2 时,b2= . 81 82 (2)当 1≤n≤20 时,a1=a2=a3=?=an-1=an=1. 1 1 an ∴bn= = = . 81+a1+a2+?+an-1 81+n-1 n+80 当 21≤n≤60 时, bn= an 81+a1+?+a20+a21+?+an-1 1 n 10 ?n-21??n+20? 101+ 20

1 n 10 = = 81+20+a21+?+an-1

2n = 2 , n -n+1600 ∴第 n 天的利润率

?n+80, b =? 2n ?n -n+1600,
n 2

1

1≤n≤20?n∈N*?, 21≤n≤60?n∈N*?.

1 (3)当 1≤n≤20 时,bn= 是递减数列,此时 bn 的最大值为 b1 n+80 1 = ; 81 当 21≤n≤60 时,bn= 2n 2 2 = ≤ = 1600 n -n+1600 2 1600-1 n+ n -1
2

2 1600 (当且仅当 n= n ,即 n=40 时,“=”成立). 79 2 1 2 又∵ > ,∴当 n=40 时,(bn)max= . 79 81 79
第 - 82 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

∴该商店经销此纪念品期间,第 40 天的利润率最大,且该天的利 2 润率为 . 79 21.(本小题满分 12 分) (2011· 广东潮州模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 n
3 3 ∈N*,都有 an>0,Sn= a3 1+a2+?+an.

(1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式 an;
n n (3)证明:an 2n+1≥a2n+a2n-1.

解:(1)当 n=1 时,有 a1=S1= a3 1, 由于 an>0,所以 a1=1.
3 3 3 当 n=2 时,有 S2= a3 1+a2,即 a1+a2= a1+a2,

将 a1=1 代入上式,由于 an>0,所以 a2=2.
3 3 (2)由 Sn= a3 1+a2+?+an, 3 3 2 得 a3 1+a2+?+an=(a1+a2+?+an) , 3 3 3 2 则有 a1 +a3 2+?+an+an+1=(a1+a2+?+an+an+1) .

① ②

②-①得
2 2 a3 n+1=(a1+a2+?+an+an+1) -(a1+a2+?+an) .

由于 an>0,所以 a2 n+1=2(a1+a2+?+an)+an+1.
2 同样有 an =2(a1+a2+?+an-1)+an(n≥2), 2 2 ③-④,得 an +1-an=an+1+an.

③ ④

所以 an+1-an=1. 由于 a2-a1=1,即当 n≥1 时都有 an+1-an=1,所以数列{an}是 首项为 1,公差为 1 的等差数列.故 an=n.
n n (3)证明:要证 an 2n+1≥a2n+a2n-1, 第 - 83 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通 n n n

只需证(2n+1) ≥(2n) +(2n-1) ,
? 1 ?n ? 1 ?n 只需证?1+2n? ≥1+?1-2n? . ? ? ? ? ? 1 ?n ? 1 ?n 由于?1+2n? -?1-2n? ? ? ? ?
2 3 ? ? 1? 1 ? 2? 1 ? 3? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?- =?C0 + C + C + C + ? n n n n 2n 2n 2n

?

?

?

?

?

?

?

?

2 3 ? 0 ? 1? 1 ? 2? 1 ? 3? 1 ? ?Cn-Cn? ?+Cn? ? -Cn? ? +?? ? ?2n? ?2n? ?2n? ? 5 3 ? 1? 1 ? ? 3? 1 ? 5? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? =2 Cn 2n +Cn 2n +Cn 2n +?? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 3 ? 1 ?3 ? 5? 1 ? =1+2?Cn?2n? +Cn?2n? +??≥1, ? ? ? ? ? ?

因此原不等式成立. 22.(本小题满分 14 分) n 已知命题: “若数列{an}是等比数列, 且 an>0, 令 bn= a1a2?an, 则数列{bn}(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等 差数列的一个什么性质?并证明你的结论. 解:由题意,得等差数列的一个性质是: 若数列{an}是等差数列,令 bn= N*)也是等差数列. 证明这个结论: 设等差数列{an}的公差为 d,则 bn= na1+ n?n-1? d 2 d = a 1+ (n-1), n 2
第 - 84 - 页 版权所有 升学 e 网通

a1+a2+?+an ,则数列{bn}(n∈ n

a1+a2+?+an = n

www.ewt360.com

升学助考一网通

所以数列{bn}是以 a1 为首项, 为公差的等差数列,故所得命题成 2 立.专题六综合测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分)

d

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 的共轭复数为 z ,若| z |=4,则 z·z =( A.4 C.16 D.± 2 B.2 )

解析:设 z=a+bi,则 z·z =(a+bi)(a-bi)=a2+b2.又| z |=4,得 a2+b2=4,所以 z·z =16.故选 C. 答案:C 2.(2011· 湖北)如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系 统,当 K 正常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作, 已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次是 0.9、0.8、0.8,则系统正常工 作的概率为( )

A.0.960 C.0.720

B.0.864 D.0.576

解析:K 正常工作,概率 P(A)=0.9 A1A2 正常工作,概率 P(B)=1-P( A 1)P( A 2)=1-0.2×0.2=0.96
第 - 85 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

∴系统正常工作概率 P=0.9×0.96=0.864. 答案:B 3.(2011· 课标)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一 个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同 一个兴趣小组的概率为( 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 4 )

解析:古典概型,总的情况共 3×3=9 种,满足题意的有 3 种, 3 1 故所求概率为 P= = . 9 3 答案:A 4.对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点图 1; 对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,?,10),得散点图 2.由这两 个散点图可以判断( )

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关
第 - 86 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

解析:夹在带状区域内的点,总体呈上升趋势的属于正相关;反 之,总体呈下降趋势的属于负相关.显然选 C. 答案:C 5.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如图所示,则在区间 [4,5)上的数据的频数为( )

A.15 C.25

B.20 D.30

解析:在区间[4,5)的频率/组距的数值为 0.3,而样本容量为 100, 所以频数为 30.故选 D. 答案:D 6.(2011· 辽宁丹东模拟)甲、 乙两名同学 在五次测试中的成绩用茎叶图表示如图, 若甲、乙两人的平均成绩分别是 x 甲、x 乙, 则下列结论正确的是( )

A.x 甲>x 乙;乙比甲成绩稳定 B.x 甲>x 乙;甲比乙成绩稳定 C.x 甲<x 乙;甲比乙成绩稳定 D.x 甲<x 乙;乙比甲成绩稳定

第 - 87 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

1 1 解析:由题意得,x 甲= ×(68+69+70+71+72)= ×350=70, 5 5 1 1 x 乙= ×(63+68+69+69+71)= ×340=68,所以 x 甲>x 5 5
乙.

1 2 又 s甲 = 5

1 1 1 2 2 2 2 ×(22 + 12+ 02 + 12+ 22) = ×10 = 2, s2 乙 = ×(5 + 0 + 1 + 1 + 3 ) = 5 5 5 ×36=7.2,所以甲比乙成绩稳定.故选 B. 答案:B 7.已知如图所示的矩形,长为 12,宽为 5,在矩形内随机地投掷 1000 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆为 600 颗,则可以估计阴影部 分的面积约为( )

A.12 C.24

B.20 D.36

解析: 设图中阴影部分的面积为 S.由几何概型的概率计算公式知, 600 S = ,解之得 S=36.故选 D. 12×5 1000 答案:D 8.如图所示的流程图,最后输出的 n 的值是( )

第 - 88 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

A.3 C.5

B.4 D.6

解析:当 n=2 时,22>22 不成立;当 n=3 时,23>32 不成立;当 n =4 时,24>42 不成立;当 n=5 时,25>52 成立.所以 n=5.故选 C. 答案:C 9.正四面体的四个表面上分别写有数字 1,2,3,4,将 3 个这样的四 面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被 3 整除的概率为( 1 A. 64 37 C. 64 13 B. 64 61 D. 64 )

解析:将正四面体投掷于桌面上时,与桌面接触的面上的数字是

第 - 89 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

1 1,2,3,4 的概率是相等的, 都等于 .若与桌面接触的三个面上的数字的乘 4 积能被 3 整除, 则三个数字中至少应有一个为 3, 其对立事件为“与桌
?3? 27 面接触的三个面上的数字都不是 3”,其概率是?4? = ,故所求概率 64 ? ?
3

为 1-

27 37 = . 64 64

答案:C 10.用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生随机地从 1~160 编号, 按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号, 9~ 16 号,?,153~160 号),若第 16 组抽出的号码为 126,则第 1 组中 用抽签的方法确定的号码是( A.5 C.7 B.6 D.8 )

解析: 设第 1 组抽出的号码为 x, 则第 16 组应抽出的号码是 8×15 +x=126,∴x=6.故选 B. 答案:B 11.(2011· 杭州市第一次教学质量检测)体育课的排球发球项目考 试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则停止发球, 否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球 次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是(
? 7? A.?0,12? ? ? ? ? 1? C.?0,2? ? ?7 ? B.?12,1? ? ? ?1 ? D.?2,1? ? ?

)

解析:发球次数 X 的分布列如下表,

第 - 90 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

X P

1 p

2 (1-p)p

3 (1-p)2

所以期望 E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75, 5 1 解得 p> (舍去)或 p< ,又 p>0,故选 C. 2 2 答案:C 12.(2011· 济宁一中高三模拟 )某计算机程序每运行一次都随机出 现一个五位的二进制数 A= a1 a2 a3 a4 a5 ,其中 A 的各位数中,a1 1 2 =1,ak(2,3,4,5)出现 0 的概率为 ,出现 1 的概率为 .记 ξ=a1+a2+a3 3 3 +a4+a5,当程序运行一次时,ξ 的数学期望 E(ξ)=( 8 A. 27 11 C. 3 16 B. 81 65 D. 81
?2? 1 ? ? = 4, 3 ?3? ?3?
4 0

)

?1? 解析:ξ=1,P1=C0 4? ?

ξ=2 ξ=3 ξ=4 ξ=5

3 8 1?1? 2 时,P2=C4? ? · = 4,

?3? 3
2

3
2

?1? ? ? 时,P3=C2 4·

?2? 24 ? ? = 4, · 3 ?3? ?3?

3 32 3?1? ?2? ? ? = 4, 时,P4=C4? ?·

?3? ?3? ?3?

3

4 16 4?2? 时,P5=C4? ? = 4 ,

3

1 8 24 32 16 11 E(ξ)=1× 4+2× 4+3× 4 +4× 4 +5× 4 = . 3 3 3 3 3 3 答案:C

第 - 91 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填 在题中的横线上. 13.(2011· 广东湛江十中模拟 )在可行域内任取一点,规则如流程 图所示,则能输出数对(x,y)的概率为________.

解析:

如图所示,给出的可行域即为正方形及其内部.而所求事件所在
第 - 92 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

π 区域为一个圆,两面积相比即得概率为 . 4 答案: π 4

14.(2011· 山东潍坊模拟)给出下列命题: (1)若 z∈C,则 z2≥0;(2)若 a,b∈R,且 a>b,则 a+i>b+i;(3) 1 若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数;(4)若 z= ,则 z3+1 对应的点在复平面 i 内的第一象限.其中正确的命题是________. 解析:由复数的概念及性质知,(1)错误;(2)错误;(3)错误,若 a =-1,(a+1)i=0;(4)正确,z3+1=(-i)3+1=i+1. 答案:(4) 15.(2011· 上海)随机抽取的 9 位同学中,至少有 2 位同学在同一 月份出生的概率为 ________ . ( 默认每个月的天数相同,结果精确到 0.001) A9 12 解析:P=1- 9≈0.985. 12 答案:0.985 16 .若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 y 等于 ________.

第 - 93 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

解析:由图中程序框图可知,所求的 y 是一个“累加的运算”, 即第一步是 3;第二步是 7;第三步是 15;第四步是 31;第五步是 63. 答案:63 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行 了调查,统计数据如下表所示: 积极参加 班级工作 学习积极性高 18 不太主动参 加班级工作 7 合计

25

学习积极性一般 合计

6 24

19 26

25 50

(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作 的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般
第 - 94 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待 班级工作的态度是否有关系?并说明理由.(参考下表)
P(K2≥ k) k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

解:(1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为 50 人,概率 24 12 为 = ;不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人, 50 25 19 概率为 . 50 50×?18×19-6×7?2 150 (2)K = = ≈11.5, 13 25×25×24×26
2

∵K2>10.828, ∴有 99.9%的把握说学生的学习积极性与对待班级工作的态度有 关系. 18.(本小题满分 12 分) 在 1996 年美国亚特兰大奥运会上, 中国香港风帆选手李丽珊以惊 人的耐力和斗志,勇夺金牌,为香港体育史揭开了“突破零”的新一 页.在风帆比赛中,成绩以低分为优胜.比赛共 11 场,并以最佳的 9 场成绩计算最终的名次.前 7 场比赛结束后,排名前 5 位的选手积分 如表一所示:

第 - 95 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

根据上面的比赛结果,我们如何比较各选手之间的成绩及稳定情 况呢?如果此时让你预测谁将获得最后的胜利,你会怎么看? 解:由表一,我们可以分别计算 5 位选手前 7 场比赛积分的平均 数和标准差,分别作为衡量各选手比赛的成绩及稳定情况,如表二所 示. 表二

排名 1 2 3 4 5

运动员 李丽珊(中国香港) 简度(新西兰) 贺根(挪威) 威尔逊(英国) 李科(中国)

平均积分( x ) 3.14 4.57 5.00 6.29 6.57

积分标准差(s) 1.73 2.77 2.51 3.19 3.33

从表二中可以看出:李丽珊的平均积分及积分标准差都比其他选 手的小,也就是说,在前 7 场比赛过程中,她的成绩最为优异,而且 表现也最为稳定.
第 - 96 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

尽管此时还有 4 场比赛没有进行,但这里我们可以假定每位运动 员在各自的 11 场比赛中发挥的水平大致相同(实际情况也确实如此), 因此可以把前 7 场比赛的成绩看做是总体的一个样本,并由此估计每 位运动员最后的比赛的成绩.从已经结束的 7 场比赛的积分来看,李 丽珊的成绩最为优异,而且表现最为稳定,因此在后面的 4 场比赛中, 我们有足够的理由相信她会继续保持优异而稳定的成绩,获得最后的 冠军. 19.(本小题满分 12 分)
? ?0≤x≤6 (2011· 苏州五中模拟)设不等式组? 表示的区域为 A, 不等 ?0≤y≤6 ? ?0≤x≤6 ? 式组? 表示的区域为 B,在区域 A 中任意取一点 P(x,y). ? ?x-y≥0

(1)求点 P 落在区域 B 中的概率; (2)若 x、y 分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数, 求点 P 落在区域 B 中的概率. 解:(1)设区域 A 中任意一点 P(x,y)∈B 为事件 M.因为区域 A 的 面积为 S1=36,区域 B 在区域 A 中的面积为 S2=18.故 P(M)= 18 1 = . 36 2

(2)设点 P(x,y)落在区域 B 中为事件 N,甲、乙两人各掷一次骰 子所得的点 P(x,y)的个数为 36,其中在区域 B 中的点 P(x,y)有 21 个.故 P(N)= 21 7 = . 36 12

20.(本小题满分 12 分) 某中学部分学生参加全国高中数学竞赛,取得了优异成绩,指导 老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数, 试题满分 120 分), 并 且绘制了“频率分布直方图”(如图),请回答:
第 - 97 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(1)该中学参加本次数学竞赛的有多少人? (2)如果 90 分以上(含 90 分)获奖,那么获奖率是多少? (3)这次竞赛成绩的中位数落在哪段内? (4)上图还提供了其他信息,请再写出两条. 解:(1)由直方图(如图)可知:4+6+8+7+5+2=32(人); (2)90 分以上的人数为 7+5+2=14(人), ∴ 14 ×100%=43.75%. 32

(3)参赛同学共有 32 人,按成绩排序后,第 16 个、第 17 个是最中 间两个,而第 16 个和第 17 个都落在 80~90 之间. ∴这次竞赛成绩的中位数落在 80~90 之间. (4)①落在 80~90 段内的人数最多,有 8 人; ②参赛同学的成绩均不低于 60 分. 21.(本小题满分 12 分) (2011· 陕西)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计, 通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率 如下表:

第 - 98 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

时间(分钟) L1 的频率 L2 的频率

10~20 0.1 0

20~30 0.2 0.1

30~40 0.3 0.4

40~50 0.2 0.4

50~60 0.2 0.1

现甲、乙两人分别用 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如 何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数, 针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望. 解:(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”. Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2, (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间 内赶到火车站,由(1)知 P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B 独 立,
第 - 99 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

∴P(X=0)=P( AB )=P( A )P( B )=0.4×0.1=0.04, P(X=1)=P( A B+A B )=P( A )P(B)+P(A)P( B ) =0.4×0.9+0.6×0.1=0.42, P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54, ∴X 的分布列为 X P 0 0.04 1 0.42 2 0.54

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5. 22.(本小题满分 14 分) (2011· 潍坊市高考适应训练)2011 年 3 月,日本发生了 9.0 级地震, 地震引发了海啸及核泄漏.某国际组织计划派出 12 名心理专家和 18 名核专家赴日本工作,临行前对这 30 名专家进行了总分为 1000 分的 综合素质测评,测评成绩用茎叶图进行了记录,如图(单位:分).规定 测评成绩在 976 分以上(包括 976 分)为“尖端专家”,测评成绩在 976 分以下为“高级专家”,且只有核专家中的“尖端专家”才可以独立 开展工作.这些专家先飞抵日本的城市 E,再分乘三辆汽车到达工作 地点福岛县. 已知从城市 E 到福岛县有三条公路, 因地震破坏了道路, 汽车可能受阻.据了解:汽车走公路Ⅰ或Ⅱ顺利到达的概率都为 9 ; 10

2 走公路Ⅲ顺利到达的概率为 ,甲、乙、丙三辆车分别走公路Ⅰ、Ⅱ、 5 Ⅲ,且三辆汽车是否顺利到达相互之间没有影响.

第 - 100 - 页

版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

(1)如果用分层抽样的方法从“尖端专家”和“高级专家”中选取 6 人, 再从这 6 人中选 2 人, 那么至少有一人是“尖端专家”的概率是 多少? (2)求至少有两辆汽车顺序到达福岛县的概率; (3)若从所有“尖端专家”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者 中能独立开展工作的人数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望. 解:(1)根据茎叶图,有“尖端专家”10 人,“高级专家”20 人, 6 1 每个人被抽中的概率是 = , 30 5 1 所以用分层抽样的方法, 选出的“尖端专家”有 10× =2 人, “高 5 1 级专家”有 20× =4 人. 5 用事件 A 表示“至少有一名‘尖端专家’被选中”,则它的对立 C2 4 事件 A ,表示“没有一名‘尖端专家’被选中”,则 P(A)=1- 2=1 C6 6 3 - = . 15 5 3 因此,至少有一人是“尖端专家”的概率是 . 5 (2)记“汽车甲走公路Ⅰ顺利到达”为事件 A,“汽车乙走公路Ⅱ 顺利到达”为事件 B,“汽车丙走公路Ⅲ顺利到达”为事件 C.则至少
第 - 101 - 页 版权所有 升学 e 网通

www.ewt360.com

升学助考一网通

有两辆汽车顺利到达福岛县的概率 P=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)+P(ABC) 9 9 3 9 1 2 1 9 2 9 9 2 441 = × × + × × + × × + × × = . 10 10 5 10 10 5 10 10 5 10 10 5 500 (3)由茎叶图知,心理专家中的“尖端专家”为 7 人,核专家中的 “尖端专家”为 3 人,依题意,ξ 的取值为 0,1,2,3.
2 1 C3 7 C1 21 C2 7 7 3C7 3C7 P(ξ=0)= 3 = ,P(ξ=1)= 3 = ,P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ C10 24 C10 40 C10 40

C3 1 3 =3)= 3 = . C10 120 因此 ξ 的分布列如下: ξ P E(ξ)=0× 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120

7 21 7 1 9 +1× +2× +3× = . 24 40 40 120 10

第 - 102 - 页

版权所有 升学 e 网通


赞助商链接
相关文章:
2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测八综合测试(1)
2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测八综合测试(1)_数学_高中教育_教育专区。...7.(2013· 辽宁理,4)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个 命题: ...
2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测八综合测试
2014高三数学二轮专题复习:专题综合检测八综合测试_数学_高中教育_教育专区。专题...故两部分体积之比为 2∶1. 7.(2013· 辽宁理,4)下面是关于公差 d>0 的...
2013届高三理科数学高考专题综合测试 专题6 Word版含答...
2013届高三理科数学高考专题综合测试 专题6 Word版含答案]_高中教育_教育专区。...在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 的...
2014届高三数学二轮专题复习 专题综合检测六 Word版含...
2014届高三数学二轮专题复习 专题综合检测六 Word版含...(理)若(a,b)恰为圆(x-1)2+(y+1)2=9 的...· 浙江温州测试)若不等式-1<ax2+bx+c<1 的解...
高考数学二轮总复习专题三综合测试题 理
高考数学二轮总复习专题训... 暂无评价 7页 1财富值 2013年高考数学(理)二轮...专题综合测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 ...
高考数学二轮总复习专题二综合测试题 理
1财富值 2013年高考数学(理)二轮复... 37页 免费 2012高考数学理二轮专题...专题综合测试题 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 ...
2015届高考数学复习专题汇总(链接)
2015/1/21 11:23:00 编辑:Ada 徐 [宣传赚点]...专题透析】2015 高考数学(文科·湖北)二轮专题复习...【名师一号】2015 版高三高考数学(人教版 A 版)一...
2013届高三数学二轮复习专题辅导(9)解答题解题策略
2013届高三数学二轮复习专题辅导(9)解答题解题策略_...1、三角函数解答题多集中在以下几个类型上:①三角函数...名师一号2013届高三数学... 102页 1下载券 2012...
2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练23 几何证...
2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练23 几何证明选讲 隐藏>> 训练23 几何证明选讲 A 组(供高考题型为选择、填空题的省份使用) 1.如图,∠B=∠D,AE⊥...
新课标2013届高三下学期复习综合验收测试(2)数学理试题
2012—2013 学年度下学期高三二轮复习 数学(理)综合验收试题(2) 【新课标】本...1 19. (本小题满分 12 分) 已知 { an } 是等差数列 , 其前 n 项和...
更多相关标签: