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第七节生活中的圆周运动


第7节 生活中的圆周运动

一、铁路的弯道

讨论
1、内外轨一样高
N

Fn G

向心力由外侧轨道对车轮轮缘的挤压力提供, 铁轨和车轮容易损坏

FN

v2 F ?m r
F

G

r />a:此时火车受三个力:重力、支持力、外轨对轮缘的 弹力。 b:外轨对轮缘的弹力F提供向心力。 c:由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的,且由于 火车质量很大,故轮缘和外轨间的相互作用力很大,易 损坏铁轨。

2、外轨略高于内轨
N

N

F
G

F合

G

向心力由重力G和支持力N的合力提供,这样, 速度适当时外轨就可以不受轮缘的挤压

注意:合力的方向并不是沿斜面,而是沿水平 方向!想一想:这是为什么?
因为火车转弯的圆周轨道平面在水平面内!(所以要确 定转弯的轨道平面,再确定合力的方向!)

例1.如图所示,已知 内外轨道的高度差h ,铁轨的宽度 L,转弯半径R,车轮对内外轨都无压力,质量为m的 火车运行的速率应该多大?

F合 ? F向
v2 mgtan? =m R

N

F gRh v0 ? L h ? 注意:合理近似! 当θ很小时,有 L tanθ≈sinθ=h/L gRh 此速度称为转弯的最佳速度!火车拐弯 v0 ? L 应以规定速度行驶

当火车行驶速率v>v0时, 外轨对轮缘有向里的侧压力
当火车行驶速率v<v0时, 内轨对轮缘有向外的侧压力

v2 F向心力 ? m ? F合 ? mg tan ? R

N

N’
G 火车行驶速率v>v规定

N’

N

G
火车行驶速率v<v规定时

讨论

mv0 F向 ? ? F合 ? mg tan ? r

2

v0 ? gr tan ?

(1)当v= v0 ,F向=F合,内外轨道对火车 两侧车轮轮缘都无弹力。 (2)当v > v0 ,F向 > F合,外轨道对外侧车 轮轮缘有向里的弹力。

(3)当v < v0 ,F向 < F合,内轨道对内侧 车轮轮缘有弹力。

转弯时:列车速度过快,造成翻车事故

探究实际问题:火车以半径r = 900 m转弯,火车质量 为8×105kg ,轨道宽为L=1.4m,外轨比内轨高 h=14cm,为了使铁轨不受轮缘的挤压,火车的速度 应为多大?

v F ? mg tan? ? m r ?v ? gr tan?
? v ? 30 m/s

2

FN

又 tan? ? sin ? ? h / L ? 0.1
h
θ

F
L

mg

二.汽车转弯:
汽车转弯,情况又如何呢? 1.水平弯道

车轮与地面间的静摩擦力提 供转弯需要的向心力

汽车在水平路面转弯时的向心力

N
F牵 俯视图: f静

F牵 v

f静

f切 G ●横向摩擦力 提供向心力! f切

●切向摩擦力跟牵引力平衡(匀速转弯)

fm

如果汽车转弯时的速度过大,会出现什么情况呢? 有什么解决措施可以提高汽车转弯时的速度?

2 v0 ? ?mg ? m R

v0 ? ?gR

2.弯道外高内低 汽车转弯时的措施:
把转弯处的道路修成外高内低。

注意: 1.合力的方向沿水平方向(轨道平面在水平面内!) 2.车轮与地面间的摩擦力?

海南汽车试验场

赛道的设计

若v? gr tan?
N

f1
FNG

f2
f静
G

拓展: 解释高速公路的超车道比主车道更加倾斜。

F1赛车视频

例:在高速公路的拐弯处,路面造得外高内低,即当 车向右拐弯时,司机左侧的路面比右侧的要高一些, 路面与水平面间的夹角为θ,设拐弯路段是半径为R 的圆弧,要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即 垂直于前进方向)摩擦力等于零,θ应等于
A.

v arcsin Rg
2

2

B.

v arctan Rg
v2 arc cot Rg

2

1 2v C. arcsin 2 Rg

D.

答案 B

注意:当重力和支持力的合力刚好提供向心力时,则 车轮与地面间没有垂直于前进方向的摩擦力! 转弯时的最佳速度 v ? gr tan?

? 讨论:
? (1)当重力和支持力的合力刚好提供向心力时,则车 轮与地面间没有垂直于前进方向的横向摩擦力 ! ? 即当 v ? gr tan? 时,无横向(即垂直于前进方向) 摩擦力! ? (2)当v ? gr tan? 时,横向(即垂直于前进方向) 摩擦力向里! ? (3)当v ? gr tan? 时,横向(即垂直于前进方向) 摩擦力向外!

说明: 自行车,摩托车转弯的情况和汽车转弯相类似,处理 方法相同!

三.飞机转弯
F升

重力,升力 升力的来源? 空气对飞机的上 下表面所形成的 压力差! 流体力学原理! (柏努利原理)

θ

m

r O F 合 θ

ω
mg 飞机在水平面内转弯: 竖直方向:F升 cosθ=mg 水平方向:F合=mω2r

四、汽车过桥的研究 1

2

3

1.“凸形桥”

汽车通过桥最高点时,车对桥的压力

1、分析汽车的受力情况
2、找圆心

N

N

3、确定F合即F向心力的方向。
4、列方程

F合 ? F 向心力
v2 G?N ?m R

F合= G-N
G
v 压力 N ' ? N ? G ? m R

v N ?G?m R

2

·

2

FN<G 即汽车对桥的压力小于 其所受重力,处于失重状态。

讨论:拱形桥


v N ? mg ? m r
0 ? N ? mg

2

v ? rg v ? rg

时,F1=0,汽车作平抛运动,脱离桥面

当 0 ? v ? rg 时, 当

时,汽车将脱离桥面,作平抛 , 运动,发生危险

思考: 当汽车不在最高点时, 如何研究?

小结:比较三种桥面受力的情况 (超重? 失重?)

v N ?G?m ?G r

2

v N ?G?m ?G r

2

N=G

作业总结
? 1.作业潦草,马虎,书写太不认真,随意 ? 2.作业不规范,没有物理公式,没有过程,只 有数据 ? 3.题目不做完,有的题只做一半,写一个计 算式,不计算结果 ? 4.有的人不交作业 ? (高一7班交齐,高一11班只交了41人) ? 请科代表检查:上交没有交作业的同学名单 ? 再次重申:科代表必须每次上交作业,同时 要上交表格化的统计名单!

五.拓展和应用

模拟“水流星”实 验 小球“过山车”实验
问题 水和小球在最高点受到哪些力作用?向心 力的来源是什么? 如果速率非常小,会有什么情况发生?

生活中的圆周运动---竖直面内的圆周运动

过山车

1.过山车
小球过“山车”在竖直平面内做圆周运动的最 高点临界速度(最小速度)(知小球过“山 车”在竖直平面内做圆周运动的半径为R) 你能求出这个最小速度吗? v

受力分析:动力学方程!

v mg ? N ? m R
当N=0时有

2

N mg R

v?

gR

此时,仅由重力提供其向心力!

讨论:
1) 当 时: 小球刚好可以通过最高点作完整 的竖直面内的圆周运动 N
G
R

2) 当 时: 小球可以通过最高点作完整的竖直面内的圆周运动 3) 当 时: 小球不能通过最高点! (而不时在最高点掉下来!) 在某处将脱离圆轨道! 也可以返回!

2.水流星
一根绳子系者一个盛水的杯子,演员抡起绳子, 杯子就在竖直面内做圆周运动,到最高点时,杯口 朝下,但杯中的水不会流下来,为什么呢? 作圆周运动的物体总需要 由向心力。如图所示,当杯子以 速度v转过最高点时,杯中的向心 力的方向向下;

G

v 对杯中的水, F 向 ? mg ? m r 即:v ? gr
杯中的水恰不流出

2

v2 m ? mg时,即v ? gr时,杯中水 若转速增大, r 还有远离圆心的趋势,水当然不会流出,此时 杯底是有压力,即

由此可知,v越大,水对 杯子的压力越大。

v FN ? mg ? m r

2

FN

G

表演“水流星”节目的演员,只要保持杯子在 圆周运动最高点的线速度不得小于 v ? gl

即∶ v ?

gr

思维拓展 ? 地球可以看做一个巨大的拱形桥。汽车沿南北行驶, 不断加速。请思考:会不会出现这样的情况: ?速度大到一定程度时, 地面对车的支持力是0? v 此时汽车处于什么状态? 驾驶员与座椅间的压力是 多少?驾驶员躯体各部分 间的压力是多少?驾驶员 此时可能有什么感觉?

六、航天器中的失重现象
1.航天器 地球对航天器的万有引力提供向心力! v2 F引 ? m0 r 2.航天员 地球对宇航员的引力F与座椅的支持力N的合力提 供作为向心力

v mg ? FN ? m r

2

v2 v2 FN ? mg ? m ? m( g ? ) r r

当 时: 座椅对航天员的支持力N=0! 只受重力的运动: 完全失重状态!

七.离心现象及其应用
1、离心运动: 做匀速圆周运动的物体,在所受合力突然消失, 或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况 下,就做逐渐远离圆心的运动。这种运动叫做 离心运动。

2、离心运动的条件:

(1).当产生向心力的合外力突然消失,物体便 沿所在位置的切线方向飞出。
(2).当产生向心力的合外力不完全消失,而 只是小于所需要的向心力,物体将沿切线和 圆周之间的一条曲线运动,远离圆心而去。

F=mω2r 作圆周运动

F=0,沿切线 作直线运动

F>mω2r 作离心运动 作向心运动 F<mω2r

讨论: (1).如果产生向心力的外力变大,则物体沿曲 线逐渐靠近圆心。 (2).离心运动与沿着半径背离圆心的运动是一 回事吗?

离心运动不是沿半径背离圆心的运动,而是 沿着切线或曲线离开圆心的运动。
3、离心现象的本质——物体惯性的表现

4.离心运动的应用

1)离心干燥器
解释: 当网笼转得比较慢时,水滴 跟物体的附着力F 足以提供所 需的向心力F 使水滴做圆周运 动。当网笼转得比较快时,附 着力 F 不足以提供所需的向心 力 F,于是水滴做离心运动, 穿过网孔,飞到网笼外面。

ν
F<mrω 2

o

F

2)洗衣机的脱水筒 3)用离心机把体温计的水银柱 甩回玻璃泡内

当离心机转得比较慢时,缩口的 阻力 F 足以提供所需的向心力, 缩口上方的水银柱做圆周运动。 当离心机转得相当快时,阻力 F 不足以提供所需的向心力,水银 柱做离心运动而进入玻璃泡内。

4)制作“棉花”糖的原理: 内筒与洗衣机的脱水筒相似, 里面加入白砂糖,加热使糖熔 化成糖汁。内筒高速旋转,黏 稠的糖汁就做离心运动,从内 筒壁的小孔飞散出去,成为丝 状到达温度较低的外筒,并迅 速冷却凝固,变得纤细雪白, 像一团团棉花。

5、离心运动的防止: 1)在水平公路上行驶的汽车转弯时 在水平公路上行驶的汽车,转 弯时所需的向心力是由车轮与路 面的静摩擦力提供的。如果转弯 时速度过大,所需向心力F大于 最大静摩擦力Fmax,汽车将做离 心运动而造成交通事故。因此, 在公路弯道处,车辆行驶不允许 超过规定的速度。

υ
2 υ F<m r

F

汽车

2)高速旋转的飞轮、砂轮的限速 如果转速过高,砂轮、飞轮内部分子间的相互 作用力不足以提供所需的向心力时,离心运动 会使它们破裂,甚至酿成事故.

讨论:要防止离心现象发生,该怎么办? A、减小物体运动的速度,使物体作圆周运动时 所需的向心力减小
B、增大合外力,使其达到物体作圆周运动时所 需的向心力

一辆汽车匀速率通过半径为R的圆弧拱形路面, 关于汽车的受力情况,下列说法正确的是( ) A.汽车对路面的压力大小不变,总是等于汽 车的重力 B.汽车对路面的压力大小不断发生变化,总 是小于汽车所受重力 C.汽车的牵引力不发生变化 D.汽车的牵引力不断变化 BD

背景问题6:飞车走壁
马戏团演员在表演飞车走壁时,人车在一个水平面上 沿竖直粗糙墙壁上做匀速圆周运动,人车为什么不下 滑?是什么力提供人车的向心力?
人车所受外力G与静摩擦力f平衡。车轮对墙壁的作用力为N, 2 墙壁的反作用力N就是人车所需向心力。应有 N ? mr? 当m、r一定时,ω越大,N就越大。

练习2:如图所示,一质量为m的小 球,放在一个内壁光滑的封闭管内, 使其在竖直面内作圆周运动.(1)若 小球恰好能通过最高点,则小球在 最高点的速度是多大?小球的受力 情况如何?若在最高点的速度 为 3Rg ,则管道的压力多大?哪侧管 A 道受力?(2)若小球在最低点受到管 道的力为6mg,则小球的速度又是多 大?(3)若小球在水平直径的A点速 度为 2Rg ,则小球受到的管道压力 多大?

N
mg O

R

例题3、如图所示,支架的质量为M,转轴 O处用长为L的轻绳悬挂一质量为m的小球. 若小球在竖直平面内做圆周运动,到达最 高点时,恰好支架对地面无压力.设M=3m. 求:( 1 )小球在最高点时的速度大小是 多少?( 2 )支架在何处对地面的压力最 大?若此时小球的速度为 5Rg ,则地面所受 的压力是多大?
O
m M

练习 3 、如图所示,支架的质量 为 M ,转轴 O 处用长为 L 的轻绳悬 挂一质量为 m 的小球 . 若小球在 竖直平面内做圆周运动,到达最 O 高点时,恰好支架对地面的压力 mg. 设 M=3m. 求:( 1 )小球在最 M 高点时的速度大小是多少?( 2 ) 改变小球的速度,在保证小球仍 能作圆周运动的前提下,当小球 运动到最低点时,支架对地面的 最小压力是多少?

m

物体m用线通过光滑的水平板上的小孔与 砝码M相连,并且正在做匀速圆周运动, 如图所示,如果减小M的质量,则物体的 轨道半径r、角速度ω、线速度v的大小变 化情况是( ) B

A.r不变,v变小、ω变小 B.r增大,ω减小、v不变 C.r减小,v不变、ω增大 D.r减小,ω不变、v变小

m M

如图所示,一个小球在内壁光滑的圆锥桶内 做水平面内的匀速圆周运动,圆锥固定不动, 当小球的速率为1m/s时,求小球到锥顶水平 面的高度,如果小球的速率增大,这个高度 是增加还是减小?说明理由。

(1)凸形桥半径为R,汽车在顶端的最大速 度是多少? (2)长为R的轻绳一端系一小球在竖直平面 内做圆周运动,它在最高点的最小速度是 多少? (3)如果上题改成长为R的轻杆一端 系一小球在竖直平面内做圆周运动,它在 最高点的最小速度是多少?当球在最高点 速度为 ?1 ? 2 Rg 时,求杆对球的作用力, 当小球在最高点速度?2 ? 0.5 Rg 时,求杆 对球的作用力。

巩固应用
例、绳系着装水的桶,在竖直平面内做圆 周运动,水的质量 m=0.5kg ,绳长 =40cm. 求 ( 1 )桶在最高点水不流出的最小速率? (2)水在最高点速率 =3m/s时水对桶底的 压力?(g取10m/s2)

巩固应用
例、长为0.6m的轻杆OA(不计质量),A端 插个质量为2.0kg的物体,在竖直平面内 绕O点做圆周运动,当球达到最高点的速 度分别为3m/s, 6 m/s,2m/s时,求杆对球 的作用力各为多少?
A O

巩固应用:
例、质量为1kg的小球沿半径为20cm的圆环在竖直 平面内做圆周运动,如图所示,求 (1)小球在圆环的最高点A不掉下来的最小速度 是多少?此时小球的向心加速度是多少? (2)若小球仍用以上的速度经过圆环的最高点A, 当它运动到圆环的最低点B时,对圆环的压力是多 少?此时小球的向心加速度是多少? A

B

巩固应用
例、如图所示,质量为m的小球,用长 为L的细绳,悬于光滑斜面上的0点,小 球在这个倾角为θ 的光滑斜面上做圆周 运动,若小球在最高点和最低点的速率 分别是vl和v2,则绳在这两个位置时的 张力大小分别是多大?

当外轨略高于内轨时
火车受力
竖直向下的重力 G 垂直轨道面的支持 力 N

?
h
G

N
F

火车的向心力来源

由G和N的合力 提供

?

F ? F ? mg tan ? 向心力 合


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