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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(八) 2.5对数与对数函数


课时提升作业(八)
对数与对数函数 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.(2013·广东高考)函数 f(x)= A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) 【解析】选 C.要使 ≠1. 2.(2015· 合肥模拟)函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小 值之和为 a,则 a 的值为( A. B. ) C.2 D.4 的定义域是( ) 50 分)

B.[-1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) 有意义,需满足 x+1>0 且 x-1≠0,得 x>-1 且 x

【解析】选 B.由题意知 f(x)在[0,1]上是单调函数,故 f(0)+f(1)=a, 即 a0+loga1+a+loga2=a,解得 a= . 3.(2015·蚌埠模拟)设 a=log32,b=ln2,c=0. A.a<b<c C.c<a<b B.b<a<c D.c<b<a ,则( )

【解析】选 A.因为 a=log32,b=ln2, 所以 3a=2,eb=2, 所以 3a=eb<3b? a<b<1, 又因为 c=0.5-0.01,所以 c>1,所以 c>b>a. 【加固训练】已知 a=log23+log2 ,b=log29-log2 ,c=log32,则 a,b,c

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的大小关系是( A.a=b<c C.a<b<c 【 B.a=log23+log2 解

) B.a=b>c D.a>b>c 析 =log23 】 =log23 选 =

>log22=1,b=log29-log2

a>1,c=log32<log33=1,所以 a=b>c. 4.(2015·皖南模拟)若函数 f(x)=loga(x+b)的大致图像如图,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)=ax+b 的大致图像是( )

【解析】选 B.由已知函数 f(x)=loga(x+b)的图像可得 0<a<1,0<b<1.则 g(x)=ax+b 的图像由 y=ax 的图像沿 y 轴向上平移 b 个单位而得到,故选 B. 5.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( A.(0,1) C. B. D.(0,1)∪(1,+∞) )

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【解析】选 C.因为 loga(a2+1)<0=loga1,a2+1>1, 所以 0<a<1,所以 a2+1>2a,又 loga2a<0,即 2a>1, 所以 解得 <a<1.

【误区警示】本题易忽视 loga2a<0 这一条件,而误选 A. 【加固训练】若 log2a <0,则 a 的取值范围是________. <0=log2a1,

【解析】当 2a>1 时,因为 log2a 所以

<1.因为 1+a>0,所以 1+a2<1+a,

所以 a2-a<0,所以 0<a<1,所以 <a<1. 当 0<2a<1 时,因为 log2a 所以 >1. <0=log2a1,

因为 1+a>0,所以 1+a2>1+a. 所以 a2-a>0,所以 a<0 或 a>1,此时不合题意. 综上所述,a∈ 答案: 6.已知函数 f(x)=lg A.2 【解析】选 D.由 又 f(-x)+f(x)=lg B.-2 >0 得-1<x<1, +lg =lg1=0, ,若 f(a)= ,则 f(-a)=( C. ) D..

所以 f(-x)=-f(x),即 f(x)为奇函数, 所以 f(-a)=-f(a)=- ,选 D. 【易错警示】忽视对数的真数的限制条件而致误

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(1)思考简单,直接把 f(a)= 代入函数式求 a. (2)判断函数奇偶性,仅用 f(-x)=〒f(x),而忽略定义域即真数 >0.

7.已知函数 f(x)=logm(2-x)+1(m>0,且 m≠1)的图像恒过点 P,且点 P 在 直线 ax+by=1(a>0,b>0)上,那么 ab 的( A.最大值为 C.最大值为 B.最小值为 D.最小值为 )

【解析】选 A.当 2-x=1,即 x=1 时,y=f(1)=logm(2-1)+1=1, 所以函数 f(x)的图像恒过点 P(1,1). 又点 P 在直线 ax+by=1(a>0,b>0)上, 所以 a+b=1, 所以 ab≤ = ,

当且仅当 a=b= 时,“=”成立. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.(2015 值:log3 · +lg25+lg4+ 南 昌 模 拟 ) 求

+(-2013)0=________.

【解析】原式=log3 +lg(25〓4)+2+1 = +2+2+1=6 . 答案:6 9.函数 y=lo (3x-a)的定义域是 ,则 a=________.

【解析】要使函数有意义,则 3x-a>0,即 x> , 所以 = ,所以 a=2. 答案:2

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10. 函 数 y=loga(x-1)+2(a>0,a ≠ 1) 的 图 像 恒 过 的 一 个 定 点 是 ________. 【解析】因为当 x=2 时 y=2,因此函数恒过点(2,2). 答案:(2,2) (20 分钟 1.(5 分)(2015·九江模拟)设 f(x)= A.-2 B.2 C.1 40 分) 则 f(f(-2))=( D.-1 )

【解析】选 A.因为 x=-2<0, 所以 f(-2)=10-2= >0,

所以 f(10-2)=lg10-2=-2,即 f(f(-2))=-2. 2.(5 分 )(2014 ·浙江高考 ) 在同一直角坐标系中 , 函数 f(x)=xa(x ≥ 0),g(x)=logax(x>0)的图像可能是( )

【解题提示】根据对数函数、幂函数的图像与性质逐项分析. 【解析】 选 D.A 项中 y=xa(x≥0)的图像错误,不符合;B 项中 y=xa(x≥0) 中 a>1,y=logax(x>0) 中 0<a<1, 不 符 合 ;C 项 中 y=xa(x ≥ 0) 中 0<a<1,y=logax(x>0) 中 a>1, 不 符 合 ;D 项 中 y=xa(x ≥ 0) 中 0<a<1,y=logax(x>0)中 0<a<1,符合,故选 D. 3.(5 分)已知函数 f(x)=ln ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取

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值范围是________. 【解析】由题意可知 ln 即 ln ab=a(1-a)=-a2+a=又 0<a<b<1,所以 0<a< , 故 0<答案: 4.(12 分)(2015·淮北模拟)已知函数 f(x)=(2log4x-2) (1)当 x∈[2,4]时,求该函数的值域. (2)若 f(x)≥mlog4x 对于 x∈[4,16]恒成立,求 m 的取值范围. 【解析】(1)令 t=log4x,x∈[2,4]时,t∈ y=f(x)=(2log4x-2) =(2t-2) =2t2-3t+1,所以 y∈ . , . + < . +ln =0, 〓 =1, 化 简 得 a+b=1, 故

=0, 从 而 + ,

(2)f(x)≥mlog4x,即 2t2-3t+1≥mt 对 t∈[1,2]恒成立,所以 m≤2t+ -3 对 t∈[1,2]恒成立,易知函数 g(t)=2t+ -3 在 t∈[1,2]上的最小值为 0,故 m≤0. 【加固训练】1.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域. (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明. (3)若 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 【解析】(1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),

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解得-1<x<1.

故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}. (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增加的,所以 f(x)>0 ? >1,解得 0<x<1.

所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}. 2.已知 f(x)=log4(4x-1). (1)求 f(x)的定义域. (2)讨论 f(x)的增减性. (3)求 f(x)在区间 上的值域.

【解析】(1)由 4x-1>0 解得 x>0, 因此 f(x)的定义域为(0,+≦). (2)设 0<x1<x2,则 0< 因此 log4( -1< -1, -1),

-1)<log4(

即 f(x1)<f(x2),f(x)在(0,+≦)上递增. (3)f(x)在区间 又f 上递增,

=0,f(2)=log415, 上的值域为[0,log415]. 是奇函数,(其中 a>1)

因此 f(x)在

5.(13 分)(能力挑战题)已知函数 f(x)=loga

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(1)求实数 m 的值. (2)讨论函数 f(x)的增减性. (3)当 x∈(n,a-2 )时,f(x)的值域是(1,+∞),求 n 与 a 的值.

【解题提示】 (1)由 f(x)是奇函数,得 f(-x)=-f(x)恒成立,求出 m 的值, 再由对数的真数大于 0 得出 m. (2)由 a>1,利用单调性的定义判定它的单调性并进行证明. (3)由 x∈(n,a-2 )时,f(x)的值域为(1,+≦),根据函数的单调性确定

出 n 与 a 的方程,解出 n 与 a 的值. 【解析】(1)因为 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x), 所以 loga 所以 = =-loga , =loga ,

即 1-m2x2=1-x2 对一切 x∈D(D 为定义域)都成立,所以 m2=1,m=〒1, 由于 >0,所以 m=-1. ,D=(-≦,-1)∪(1,+≦). ,任取 x1,x2∈(1,+≦),x1<x2, -lo =lo ;

所以 f(x)=loga

(2)当 a>1 时,f(x)=lo 则 f(x1)-f(x2)=lo =lo

因为 x1,x2∈(1,+≦),x1<x2, 所以 >1,

所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在(1,+≦)上是减少的;

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又因为 f(x)是奇函数, 所以 f(x)在(-≦,-1)上也是减少的. (3)当 a>1 时,要使 f(x)的值域是(1,+≦),则 loga >0, 而 a>1,上式化为 =loga <0,又 f(x)=loga >1,所以 >a,即

,所以当 x>1 时,f(x)>0;当 x<-1 时,f(x)<0;

因而,欲使 f(x)的值域是(1,+≦),必须 x>1,所以对上述不等式,当且仅 当 1<x< 时成立,所以 解得 a= +3,n=1. 为偶函数.

【加固训练】(2014·青岛模拟)已知函数 f(x)= (1)求实数 a 的值.

(2)记集合 E={y|y=f(x),x∈{-1,1,2}},λ =lg22+lg2lg5+lg5- ,判断λ 与 E 的关系. (3)当 x∈ 的值. 【解析】(1)因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(-x), 所以 = , (m>0,n>0)时,若函数 f(x)的值域为[2-3m,2-3n],求 m,n

所以 2(a+1)x=0,因为 x∈R 且 x≠0,所以 a=-1. (2)由(1)可知:f(x)= ,

当 x=〒1 时,f(x)=0;当 x=2 时,f(x)= , 所以 E= 因 . 为 λ

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=lg22+lg2lg5+lg5- =lg2(lg2+lg5)+lg5- =lg2+lg5- =lg10- = , 所以λ∈E. (3)因为 f(x)= =1- ,x∈ ,

所以 f′(x)= >0, 所以 f(x)在 所以 上是增加的. 所以

所以 m,n 为 x2-3x+1=0 的两个根, 又由题意可知: < ,且 m>0,n>0,所以 m>n. 所以 m= ,n= .

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