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立体几何复习


立体几何复习课件

平行问题
垂直问题 角度问题 体积面积问题 生活问题和翻折问题

距离问题
综合问题

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平 行 问 题

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直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系
平面和平面的平行关系

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线面位置关系
直线在平面内 有无数个公共点 有且仅有一个公 共点

直线和平面相交 直线和平面平行

没有公共点

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平行于同一平面的二直线的位 置关系是 ( D )
(A) 一定平行 (B) 平行或相交 (C) 相交

(D) 平行,相交,异面

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(1)点A是平面?外的一点,过A和 平面?平行的直线有 无数 条。

A α

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(2)点A是直线l 外的一点,过A 和直线l 平行的平面有 无数 个。

A

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(3)过两条平行线中的一条和另 一条平行的平面有 无数 个。

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(4)过两条异面直线中的一条和另 一条平行的平面有 且仅有一 个。

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(5)如果l1 // l2 , l1 平行于 平面?,则l2 ? 或 // 平面?
l2

l1 ? l2

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(6)如果两直线a,b相交,a平行于 平面?,则b与平面?的位置关系 相交或平行 。 是
b

a
b

?

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(1)定义——直线与平面没有公共点

(2)定理——如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行,那么这 条直线和这个平面平行。

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在正方体AC1中,E为DD1的中 点,求证:DB1//面A1C1E
D1
A1

F
B1

C1

∵DB1 // EF ∴ DB1 //面A1C1E

E
D A B C

线线平行

线面平行

线面平行的性质

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(1)如果一条直线与一个平面平行, 则这条直线与这个平面无公共点 (2)如果一条直线与一个平面平行, 则这条直线与这个平面内的直线成 异面直线或平行直线

(3)如果一条直线与一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相 交,则这条直线与交线平行。

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如果一条直线与一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面 相交,则这条直线与交线平行 已知:a//?,a??, ? ? ?=b 求证:a//b ? ? ?=b b ? ? ? a a //? a ? b=? b ? a//b

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如果平面外的两条平行线中的一条 与这个平面平行,则另一条直线与 这个平面也平行

a
c

b

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如果一条直线和两个相交平面都平 行,则这条直线与它们的交线平行
已知:a // ?, a// ? 求证:a // l ,? ? ? =l

?

a
?

b l
c

一、两个平面平行的判定方法
1、两个平面没有公共点 2、一个平面内有两条相交 直线都平行于另一个平面 3、都垂直于同一条直线 的两个平面

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两 个 平 面 平 行

二、两个平面平行的性质
1、两个平面没有公共点

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两 个 平 面 平 行

2、其中一个平面内的直线平行 于另一个平面 3、两个平行平面同时和第三个平 面相交,它们的交线平行 4、一直线垂直于两个平行平面中 的一个,则它也垂直于另一个平面 5、夹在两个平行平面间的平行线 段相等

判断下列命题是否正确? 1、平行于同一直线的两平面平行 2、垂直于同一直线的两平面平行

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3、与同一直线成等角的两平面平行
α β

α

θ θ β

α θ β

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4.垂直于同一平面的两平面平行 5.若α∥β,则平面α内任一直线a ∥β 6.若n
α,m α,n∥β,m∥β则α∥β
α m
n β

α γ

β

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小结: 三种平行关系的转化 线 平行 线
线面平行性质

线面平行判定

线 面面平行判定



平行

面面平行性质

平行


垂 直 问 题

线面垂直的判定方法

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(1)定义——如果一条直线和一个平面内的任 意一条直线都垂直,则直线与平面垂直。 (2)判定定理1——如果两条平行线中的一条垂 直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面。 (3)判定定理2——如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直。

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线面垂直的性质
(1)性质——如果一条直线和一个平面垂直则 这条直线垂直于平面内的任意一条直线 (2)性质定理——如果两条直线同垂直于一个 平面,则这两条直线平行。 (3)性质— 过空间一点作直线的垂面 有且只有一个,作平面的垂线有且只有一条.

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填空
(1)l ?? , m?? ? l____m ?
相交 (2) n??, m?? , m与n_____, l ?m, l ?n, ? l ??

// (3)l ?? , m ?? , ? l____m (4)l //m , l ?? , ? m____ ? ?

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如图,AB是圆O的直径,C是异于A, B的圆周上的任意一点,PA垂直于圆 O所在的平面 P (1)BC⊥面PAC

A ?

B C

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如果两个平面所成的二面角是 直二面角,则这两个平面垂直

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如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,则这两个平面互相垂直 线面垂直
D B E

A

面面垂直

C

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如图,C为以AB为直径的圆周上一点, PA⊥面ABC,找出图中互相垂直的平面。

P

∵PA⊥面ABC

∴面PAC⊥面ABC
∴面PAB⊥面ABC

A ?

B

∵BC⊥面PAC
∴面PBC⊥面PAC

C

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如果两个平面垂直,则在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面

面面垂直
A D B E

线面垂直

C

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求证:如果一个平面与另一个平面的 垂线平行,则这两个平面互相垂直

b

a ?

?

?

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求证:如果两个相交平面都与另一个平面 垂直,则这两个平面的交线 l 垂直于另一 个平面

l

?
? ?

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求证:如果两个相交平面都与另一个平面 垂直,则这两个平面的交线 l 垂直于另一 个平面

l
A B P

?

?

?

四面体ABCD中,面ADC⊥面BCD,面ABD ⊥面BCD,设DE是BC边上的高, 求证: 平面ADE ⊥面ABC
A 面ADC⊥面BCD

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D C E

面ABD ⊥面BCD

B

② ③ ④

AD ⊥面BCD
AD ⊥BC DE ⊥BC BC ⊥面ADE 面ABC ⊥面ADE


面面垂直



线面垂直

② ③

线线垂直

⊿ABC是直角三角形, ∠ACB=90°,P为 平面外一点,且PA=PB=PC . 求证: 平面PAB ⊥面ABC P B O

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A

C

角 度 问 题

一、概念
名称
两条异面直线 所成的角

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定义
直线a、b是异面直线,经过空间任意 一点o,作直线a’、b’,并使a’//a, b’//b,我们把直线a’和b’所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的 角。

图形

直线与平面 所成的角

二面角及它 的 平面角

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O是空间中的任意一点

点o常取在两条异面直线中的一条上


b

o

.

θ



o
α
a

一、概念
名称
两条异面直线 所成的角

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定义
直线a、b是异面直线,经过空间 任意一点o,作直线a’、b’,并使 a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所 成的锐角(或直角)叫做异面直 线a和b所成的角。 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角,特别地,若L?α则 L与α所成的角是直角,若L//α或 L α,则L与α所成的角是0? 的角。

图形

直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角

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A L

o α

θ
B

一、概念
名称
两条异面直线 所成的角

返回

定义
直线a、b是异面直线,经过空间 任意一点o,作直线a’、b’,并使 a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所 成的锐角(或直角)叫做异面直 线a和b所成的角。 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角,特别地,若L?α则 L与α所成的角是直角,若L//α或 L α,则L与α所成的角是的角。

图形

直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角

A L
α
o

θ

B

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。

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A α O L β B

一、概念
名称
两条异面直线 所成的角

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定义
直线a、b是异面直线,经过空间 任意一点o,作直线a’、b’,并使 a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所 成的锐角(或直角)叫做异面直 线a和b所成的角。 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角,叫做这条直线和这 个平面所成的角,特别地,若L?α则 L与α所成的角是直角,若L//α或 L α,则L与α所成的角是的角。

图形

直线与平面 所成的角 二面角及它 的 平面角

A L
α
o

θ

B

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。以二面角的 棱上任意一点为端点,在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面 角。

α L

A O

B

β

二、数学思想、方法、步骤: 1.数学思想: 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化,即把空间的角转化为平面的角,进而 转化为三角形的内角,然后通过解三角形求得。 2.方法: 平移 构造可解三角形 a.求异面直线所成的角:
b.求直线与平面所成的角: 找(或作)射影 c.求二面角的大小: 找(或作)其平面角 3.步骤:

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构造可解三角形 构造可解三角形

①作(找) ② 证 ③ 点 ④ 算

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在正方体AC1中,求异面直线A1B 和B1C所成的角?
D1 C1

A1

B1

A1B和B1C所 成的角为60°

D

C

A

B

小结:
化归的一般步骤是: 定角一般方法有: 定角

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1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角, 体现了化归的数学思想。

求角

(1)平移法(常用方法) (2)补形法

2、用余弦定理求异面直线所成角时,要注意角的 范围:
(1) 当 cosθ > 0 时,所成角为 θ (2) 当 cosθ < 0 时,所成角为π- θ (3) 当 cosθ = 0 时,所成角为 90o

3、当异面直线垂直时,还可应用线面垂直的有 关知识 解决。

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说明:异面直线所成角的范围是(0, ], 在把异面直线所成的角平移转化为平面三角 形中的角,常用余弦定理求其大小,当余弦 值为负值时,其对应角为钝角,这不符合两 条异面直线所成角的定义,故其补角为所求 的角,这一点要注意。

π 2

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斜线与平面所成的角

平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 A

O

B

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若斜线段AB的长度是它在平面?内的射影长的
2倍,则AB与?所成的角为 60° 。

A

?

O

B

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求直线与平面所成的角时,应注意的问题: (1)先判断直线与平面的位置关系 (2)当直线与平面斜交时,常采用以下步骤: ①作出或找出斜线上的点到平面的垂线 ②作出或找出斜线在平面上的射影 ③求出斜线段,射影,垂线段的长度 ④解此直角三角形,求出所成角的相应函数值

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从一条直线出发的两个半平面所形成 的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱

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二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

O

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在正方体AC1中,求二面角D1-AC-D的 大小?
D1 C1 B1

A1

D

O

C B

A


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