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2009年安徽省高考数学(理科)试卷分析


年安徽省高考数学(理科) 2009 年安徽省高考数学(理科)试卷分析
寿县第一中学 09 届高三数学备课组 夏连先

2009 年安徽省高考题已揭开神秘的面纱,从以下几个方面谈谈本人对理科试卷的一些看 法,不当之处恳请各位同仁批评指正。

一、试卷综述
2009 年是安徽省实行新课程标准后的第一个高考年。在保持基本稳定的前提下,今年的 安徽理科数学试卷的布局有所调整。总题量数改为 21 题,比 08 年减少了一个小题。命题严格 遵守《普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科﹒课程标准实验﹒2009 年版)(以下简称 》 《考试大纲》 )和《2009 年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷考试说明(理科﹒课程标准 实验版)(以下简称《考试说明》,遵循“有助于高等学校选拔新生,有助于中学实施素质教 》 ) 育和课程改革,有助于对学生创新意思、实践能力的培养”的指导思想。命题根据了安徽省高 中数学教学的实际情况,不拘泥于某一版本,重点考查高中数学的主体内容,适当考查新课标 的新增内容, 体现了新课程改革的理念。 试卷在考查基础知识、 基本技能和基本能力的基础上, 突出了对考生数学思维能力、应用意思和创新意思的考查。 试卷的知识覆盖面广, 只有必修 3 中的第二章统计没有涉及到。 命题稳中有变, 稳中有新。 题目数量、难度安排适宜,题目立意新颖,试卷难、中、易比例恰当。试卷具有较高的信度、 效度和区分度。达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标。 整套试卷难度不大,比 08 年容易。具体,选择题中 1—8 题比较简单,9、10 两题有难度。 填空题中,11、12、13 题考生容易下手,14、15 题较难。6 道解答题中,没有明显的送分题, 每题都有一定的思维量,其中第(18)题的第(Ⅱ)问、第(20)题的第(Ⅰ)问、第(21) 题相对较难一点,但也没有过难题,所以解答题区分度不是非常明显。相比较而言,选择题与 填空题的区分度更好。

二、知识点分布
按照《考试大纲》和《考试说明》 ,从 20 个大项进行了题数和分值的统计(原 23 个大项, 其中把基本初等函数Ⅱ、三角恒等变换和解三角形合并在一起,推理与证明没有单独列) 章 节 集合 函数概念与基 (4) (9) (6) (19) 本初等函数Ⅰ 三角函数与 解三角形 (8) (16) 17 17 27 27 题 号 (2) 分 值 5 小 记 5 备 注 1.(2)题是绝对值不等式、 分式不等式的解法与集合的 基本运算的综合应用

2.(4)题是基本初等函数的

1

向量 数列 不等式 立体几何初步 空间向量与 立体几何 平面解析 几何初步 圆锥曲线 算法初步 统计 概率 概率与统计 常用逻辑用语 导数及其应用 复数 计数原理 坐标系与 参数方程 不等式选讲

(14) (5) (21) (2) (7) (4) (21) (10) (15) (18)

5 18 28 10

5 18 28

图像和性质、不等式的性质 与常用逻辑用语的综合应用

3.(10)题是立体几何初步、 23 计数原理与概率的综合应用

13 4.(12)题表面为极坐标与

(12) (3) (20) (13) 无 (10) (11) (17) (4) (9) (19) (1) (10) (12) (2)

5 23 18 5 0 5

参数方程化为直角坐标方程 后即为直线与圆的位置关系 问题

5.(21)题是数列与不等式、 5 17 5 17 5 5 5 5 5 17 5 5 5 5 22 推理与证明的综合应用

三、试题特点
1.试 稳中有变, 1.试题稳中有变,稳中有新 2009 年是安徽省实行新课程标准后的第一个高考年。在题目的排列顺序上,延续了一贯 的由易到难的排列原则,体现高考中的人文关怀精神,有利于考生稳定情绪,顺利作答。整张 试卷难度适中,可以看出安徽的数学自主命题已逐步走向成熟。在保持基本稳定的前提下,今 年的安徽文理科数学试卷的布局均有所调整。总题量数改为 21 题,比 08 年减少了一个小题。 在题目类型的分布上也有所变化,不仅减少了两道选择题,增加了一道填空题,而且填空题的 分值也有所上升。这种变动增大了试题的区分度,更好地体现出高考试题的选拔功能。 例如第(10)题、第(14)题、第(15)题、第(18)题的第(Ⅱ)问、第(20)题的 第(Ⅱ)问、第(21)题都比较有新意。特别是第(17)题在情景设置上更贴近现实生活。 2.思维量大, 2.思维量大,计算量小 思维量大
2

整套试卷无论是选择、填空,还是解答计算量都不大,推理过程也不繁杂。重点考查通 性通法,避免偏题、怪题,很好地控制了运算量,加大思维量。每道解答题只要想到合理的解 法很快就能解决问题。只有第(20)题的第(Ⅰ)问,如果联立方程利用判别式 法,计算量 较大一点。这完全符合新课改的理念。 3.注重基础知识, 3.注重基础知识,突出课改理念 注重基础知识 试题覆盖了高中数学中的主要知识点,突出了对主干知识的考查力度。解答题则沿袭了 多年的传统做法,分别涉及函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计等内容,体现 了平稳过渡的精神。同时试卷中渗入了新课改元素。例如,在对解析几何的考核中,添入了极 坐标和参数方程的内容。在对题目的选配上,突出了对考生数学思维能力、应用意识和创新意 识的考查,避免繁杂运算的理念。例如,第 20 题,以改往年联立方程消元,借助于韦达定理 解题。对选修内容的考查比例进行统计,发现约占总分值的 33%,完全符合《考试说明》的要 求。概率应用题情景设置贴近生活、贴近时代,清新公平。体现了关注实际,注重应用的新课 改理念。 4.注重考查数学的各种思想和能力 4.注重考查数学的各种思想和能力 4.1 数形结合的思想 数形结合的思想是借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,或者是借助于数的 精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。 利用这种数学思想往往能简化解题过程, 在今年的 高考试题中也有所体现。 例 1(6)设 a <b,函数 y = ( x a ) 2 ( x b) 的图像可能是
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[解析]:本小题主要考查利用函数性质确定函数图象的能力。 方 法 一 : y / = ( x a )(3 x 2a b) , 由 y / = 0 得 x = a, x =

2a + b , Qa < b , 3

2a + b ∴ a < 2a + b < b ∴当 x = a 时, y 取极大值 0,当 x = 时 y 取极小值且极小值为负。 3 3
故选 C。 方法二:当 x < b 时 y < 0 ,当 x > b 时 y > 0 ,故选 C。 例 2(7)若不等式组 x + 3 y ≥ 4 所表示的平面区域被直线 y = kx + 分为面积相等的两 3
3x + y ≤ 4
3

x ≥ 0

4

部分,则 k 的值是 (A)

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7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

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[解析]:本小题主要考查不等式表示平面区域,考查数形结合的能力。 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由

x + 3y = 4 4 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 3 x + y = 4


∴ S
y

ABC=

1 4 4 (4 ) × 1 = , 设 y = kx 与 3 x + y = 4 的 交 点 为 D , 2 3 3

B

y=kx+ 3 D A x

4

C O

则由 S BCD = ∴

1 2 1 5 S ABC = 知 xD = ,∴ yD = 2 3 2 2

5 1 4 7 = k × + , k = 选 A。 2 2 3 3
分类讨论思想是一种重要的数学思想, 这种思想能够使我们思路清晰, 处理问题井井有条,

4.2 分类讨论的思想

真正做到不重不漏, 养成严谨慎密的思维习惯。 这种思想应该在中学数学的教学中得到充分的 重视。在 2009 年的试题中,这一点得到了充分的体现。 例 3(10)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个 点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 (A)
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1 75

(B)

2 75

(C)

3 75

(D)

4 75

C

B F E A
D

[解析]:本小题主要考查空间中直线与直线的位置关系、排列组合 的知识和古典概型,考查空间想象能力和分类讨论的思想方法。 如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中
2 2

任意选两个点连成直线,共有 C6 C6 = 15 × 15 = 225 种不同取法,其中所得的两条直线相互 平行但不重合,在菱形 ADBC 中有 4 对,同理在菱形 AEBF 和菱形 DFCE 中也分别有 4 对, 分成 3 类 共 12 对,所以所求概率为 p =
w.

12 4 = ,选 D 225 75

例 4(19) (本小题满分 12 分)
4

已知函数 f ( x ) = x

2 + a (2 ln x), (a > 0) ,讨论 f ( x) 的单调性 x

[解析]:本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的 思想方法和运算求解的能力。 解: f ( x ) 的定义域是(0,+ ∞ ), f ′( x) = 1 +
2

2 a x 2 ax + 2 . = x2 x x2
2

设 g ( x) = x ax + 2 ,二次方程 g ( x) = 0 的判别式 = a 8 .
2 ① 当 = a 8 < 0 , 0 < a < 2 2 时, 即 对一切 x > 0 都有 f ′( x ) > 0 ,此时 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上

是增函数。 仅对 x = ② 当 = a 8 = 0 ,即 a = 2 2 时,
2

2 有 f ′( x) = 0 ,对其余的 x > 0 都有 f ′( x) > 0 ,

此时 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上也是增函数。 ③ 当 = a 8 > 0 ,即 a > 2 2 时,
2

w.

方程 g ( x ) = 0 有两个不同的实根 x1 =

a a2 8 a + a2 8 , x2 = , 0 < x1 < x2 . 2 2
( x1 , x2 )
_ 单调递减

x
f ′( x) f ( x)

(0, x1 )
+ 单调递增

x1
0 极大

x2
0 极小

( x 2 , +∞)
+ 单调递增

此时 f ( x ) 在 (0,

a a2 8 a a2 8 a + a2 8 ) 上单调递增 ,在 ( , ) 是上单 调递减, 在 2 2 2

(

a + a2 8 , +∞) 上单调递增。 2
今年的试卷中,更多地体现了函数与方程的思想,例如第(9)题,第(19)题,第(20)

函数与方程的思想 4.3 函数与方程的思想

题,都是利用了函数和方程的思想。 例 5(9)已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x ) = 2 f (2 x ) x 2 + 8 x 8 ,则曲线 y = f ( x) 在点

(1, f (1)) 处的切线方程是
(A) y = 2 x 1

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(B) y = x

(C) y = 3 x 2

(D) y = 2 x + 3

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[解析]:本小题主要考查抽象函数的知识和导数的几何意义,考查函数与方程的思想和抽象概 括能力 由 f ( x ) = 2 f (2 x ) x 2 + 8 x 8 得 f (2 x ) = 2 f ( x ) (2 x ) 2 + 8(2 x ) 8 , 即 2 f ( x ) f (2 x ) = x 2 + 4 x 4 ,∴ f ( x ) = x 2 ∴ f / ( x ) = 2 x ,∴切线方程为

y 1 = 2( x 1) ,即 2 x y 1 = 0 选 A
5

例 6(19)略 [解析]:本小题除考查上述的思想和方法外,还考查函数与方程的思想, 因为先求出 f ′( x) = 1 +
2

2 a x 2 ax + 2 = . ,设 g ( x) = x 2 ax + 2 , 2 2 x x x

得二次方程 x ax + 2 = 0 ………

例 7(20) (本小题满分 13 分)

x2 y2 π 点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上, x0 = a cos β , y0 = b sin β , 0 < β < . 直线 l2 a b 2
与直线 l1 :

x0 y0 x + 2 y = 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 α ,直线 l2 的倾斜角为 γ . 2 a b
x2 y2 + = 1 与直线 l1 的唯一交点; a2 b2
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(I)证明: 点 P 是椭圆

(II)证明: tan α , tan β , tan γ 构成等比数列 [解析]:本小题也考查函数与方程的思想

x0 y0 b2 x2 y2 2 解: (方法一)由 2 x + 2 y = 1 得 y = 2 ( a x0 x ), 代入椭圆 2 + 2 = 1 , (I) a b a y0 a b
得(

1 b 2 x0 2 2 2b 2 x0 b2 + 4 2 ) x 2 x + ( 2 1) = 0 a 2 a y0 a y0 y0



x0 = a cos β 代入上式,得 x 2 2a cos β x + a 2 cos 2 β = 0, 从而 x = a cos β . y0 = b sin β

x2 y2 2 + 2 =1 x = x0 a b 因此,方程组 有唯一解 ,即直线 l1 与椭圆有唯一交点 P x0 y0 y = y0 x+ y =1 a2 b2
4.4 转化与化归思想 例 8(9)略 [解析]:做变换 x = 2 x ,得 f (2 x ) = 2 f ( x ) (2 x ) 2 + 8(2 x ) 8 然后与已知联立,得方程组

f ( x) 2 f (2 x) = x 2 + 8 x 8 ,得 f (x ) 即可求解 2 f (2 x) 2 f ( x) = (2 x) + 8(2 x) 8 x = 1 + 2 cos α ( ρ ∈ R ) ,它与曲线 ( α 为参数)相 4 y = 2 + 2 sin α

例 9(12)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长 度单位。已知直线的极坐标方程为 θ = 交于两点 A 和 B,则|AB|=_______.
6

π

[解析]:只要化直线的极坐标方程为直角坐标方程 y = x ,曲线的参数方程为普通方程

( x 1)2 + ( y 2) 2 = 4 ,易得 | AB |= 2 22 (
充分体现、 4.5 充分体现、挖掘考生的各项数学能力

|1 2 | 2 ) = 14 1+1

数学能力是指空间想象能力,抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,数据处理 能力,以及应用意识和创新意识,在 2009 年试题中,这些能力都得到了充分的体现。 4.5.1 运算求解能力: (2) (7) (14) (1) (3) (8) (16) (17) (19) (20) (21) 4.5.2 数据处理能力: (17) 4.5.3 空间想象能力: (10) (15) (18) 4.5.4 抽象概括能力: (6) (9) (5) (7) (12) (14) (19) (20) (21) 4.5.5 推理论证能力: (18) (4) (20) (21) 4.5.6 应用意识和创新意识: (17) (20) 5.体现宽口径, 5.体现宽口径,多角度的命题思路 体现宽口径 2009 年的试题中,体现命题者这样一种命题思路,即鼓励考试宽口径、多角度的思考和 解决问题,不拘泥于某一解法,不局限考生的思想,每个命题尽可能让考生可以从不同角度入 手,均能得到好的结果,避免思路单一,想到了就能做,想不到就失败的“华山一条道”的尴 尬局面。 例如,第(18)题(综合法或向量法),第(20)题第(I)问(答案上给出 3 种方法) ,第 (21)题第(II)问(答案上给出 2 种方法) 。

uuu r
uuur uuu r

uuu r
uuu r

例 10(14)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 ,如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动,若 OC = xOA + yOB, 其中 x, y ∈ R ,则 x + y 的最大值是 ________. 方法一:设 ∠AOC = α ,则

o

1 uuur uuu uuu uuu r r uuu uuu r r v OC OA = xOA OA + yOB OA, cos α = x 2 y uuu uuu r r uuu uuu ,即 r r v uuur uuu OC OB = xOA OB + yOB OB, cos(1200 α ) = 1 x + y 2
∴ x + y = 2[cos α + cos(120 α )] = cos α + 3 sin α = 2sin(α +
0

π
6

)≤2
2

方法二: | OC |=| xOA + yOB | x + y + 2 xyOA OB = 1 x + y xy = 1
2 2 2

( x + y ) 2 3 xy = 1 ( x + y ) 2 1 = 3 xy
因为 xy ≤ (

x+ y 2 x+ y 2 ) ,所以 ( x + y ) 2 1 ≤ 3( ) (当且仅当 x = y 时等号成立) 2 2

所以 x + y ≤ 2
7

四、对今后高三复习的启示
今年是我省进入新课改后的第一次高考, 今年的高考命题为今后的课程改革和高考改革提 供哪些重要的信息成为人们关注的焦点。 高考命题的导向在很大程度上决定着中学推行新课改 的力度和发展新课改的深度,及高三复习的方向。我认为应该做好以下几个方面 1.夯实基础, 1.夯实基础,落实基本知识和基本技能的学习 夯实基础 从今年的试卷中不难看出,函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计仍然是考 查的主要内容,从本文的知识点统计中更是一目了然。 试题的框架主体仍是考查数学的基础知识和通性通法。如函数的图象、单调性、定义域等 性质及变换;数列的基本性质及应用;不等式的求解与证明;三角函数图象与性质;空间图形 的识别及线面的位置关系(包括体积和夹角) ;圆锥曲线的基本概念、性质及应用;几种常见 类型的概率问题等。 所以今后的高三复习这些内容仍然是重中之重, 只有夯实这些章节的基础知识, 才能从容 应对高考。 2.坚定新课程改革方向 2.坚定新课程改革方向 随着新课程改革的不断深入,执行和推广新课标是大势所趋, 所以新课标中新增加的教学 内容会不断地出现在今后的高考试题中。特别是今年高考中未涉及到的几何概型、三视图、定 积分、类比推理、独立性检验(2×2 列联表)与回归分析中的基本概念和性质、统计中的散 点图、茎叶图、回归直线方程等,我们在今后的高三复习中更应引起重视。 3.通法为主,变法为辅, 3.通法为主,变法为辅,培养能力 通法为主 重视高中数学的通性通法,倡导举一反三、一题多解和多题一解,努力培养学生“五种能 力、两个意识” ,即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理 能力以及应用意识和创新意识。能力的分类和要求与以前有不同,必然要反映在命题中。特别 应注意新增加的“数据处理能力”和“应用意识和创新意识” 。前者与统计有关,后者与应用 问题有关。另外, “推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力” ,逻辑思维能 力注重是演绎推理, “合情推理”也应引起我们的重视,它可以有效地培养学生的创新意识, 这正是新课改大力倡导的。 今年的试题中在“数据处理能力”方面体现得不是很明显,所以我们要加以重视。 4. 注意立体几何的命题动向 今年试题中立体几何题目学生普遍反映较难,特别是第(II)问用不上向量法,有“返祖” 趋势, 回归立体几何的核心——培养学生的空间想象能力和推理论证能力。 所以教学中不能完 全依赖向量工具, 也要注重培养学生的空间想象能力和推理论证能力, 也就是要适当加强学生 用综合法解立体几何题的训练。

8

参考文献 1.教育部考试中心, 《普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科﹒课程标准实验﹒2009 年 版),高等教育出版社,2008.12 》 2.安徽省教育招生考试院、安徽省教育科学研究院, 《2009 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷考试说明(理科﹒课程标准实验版),黄山书社,2009.2 》 3.安徽省教育招生考试院, 《2009 年普通高等学校招生统一考试试题、参考答案》 (安徽卷) , 2009.6

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