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线面平行的判定


2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行.
b

a

?
判定直线与平面 平行的条件有几 个,是什么?

定理中

的三个条件 ① a 在平面 ? 外,即 a ? ?; ② b 在平面? 内,即 b ? ?; ③ a 与 b 平行,即a / / b (平行).

a

?

b

a ??? ? 用符号语言可概括为: b ? ? ? ? a / /? a / /b ? ?

线线平行?线面平行

例1

求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行
A

于平行于另外两边所在的平面. 分析:先写出已知,求证. 再结合图形证明.
E
F D
C

已知:如图,空间四边形ABCD中, B ? E,F分别是AB,AD的中点.
求证:EF//平面BCD.

证明:连接BD. 因为AE = EB,AF = FD,

A

E

F D
C

所以EF//BD(三角形中位线的性质).

? B

因为EF ? 平面BCD,BD ? 平面BCD,
由直线与平面平行的判定定理得 EF//平面BCD.

【提升总结】 1.要证明直线与平面平行可以运用判定定理. 线线平行 面内、平行” 线面平行 2.能够运用定理的条件是要满足六个字:“面外、

a?? b?? a // b

a // ?

3.运用定理的关键是找平行线;找平行线又经常
会用到三角形中位线定理.

例2

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,

证明BD1∥平面AEC. 证明:连接BD交AC于O,连接EO, 在△BDD1中,
1 ∥ BD1. 所以EO = 2
D1 B1 C1

因为E,O分别为DD1与BD的中点,A1

E D
O

而EO ?平面AEC, BD1 ? 平面AEC,
A

C B

所以 BD1 ∥平面AEC.

【变式练习】
如图所示,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交 于 AB, M∈AC, N∈FB, 且 AM=FN.求证: MN∥平面 BCE.

[证明] 方法一:作 MP∥AB 交 BC 于 P, NQ∥AB 交 BE 于 Q, 如图①,则 MP∥NQ. 因为 AM=FN,
2 2 所以 MP= MC= BN=NQ. 2 2 所以 MP∥NQ,且 MP=NQ,则四边形 MNQP 为平行四边形. 所以 MN∥PQ.又因为 MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE, 所以 MN∥平面 BCE.

3.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,

(1)与AB平行的平面是 平面 A ? B ?C ?D ?, 平面 CC ?D ?D ; (2)与AA′平行的平面是 平面 B ?BC C ?, 平面 CC ?D ?D ;
(3)与AD平行的平面是
D?
A?

平面 A ? B ?C ?D ?, 平面 B ?BCC ? .
C?

B?
D

C
B

A


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