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19.变换与矩阵、极限


2013 高考试题解析分类汇编(理数)19:变换与矩阵、极限
一、选择题 1 . (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))展开式为 ad-bc 的行列式是





a b A. d c
B
2 . 在数列 {an } 中, an

a c B. b d

a d C. b c

b a D. d c

? 2n ?1 ,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素
j?
(C)48 )则该矩阵元素能取到的不同数值的个

(i ? ,2 ,1 ; 7 , ,2 ,1 2, ai, j ? ai ? a j ? ai ? a j , 数为( ) (A)18

(B)28

(D)63

ai, j ? ai ? a j ? ai ? a j ? 2i? j ?1,而 i ? j ? 2,3,
二、填空题 3 . (2013 年高考上海卷(理) )若

,19 ,故不同数值个数为 18 个,选 A.

x2 ?1

y2 1

?

x

x

y ?y

,则 x ? y ? ______

x ? y ? 0.

x2 ? y 2 ? ?2xy ? x ? y ? 0 .
4 . (2013 年高考上海卷(理) )计算: lim
n ??

根据极限运算法则, lim

n ??

n ? 20 1 ? . 3n ? 13 3

n ? 20 ? ______ 3n ? 13

三、解答题(每题 10 分,共 30 分) 5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版) )矩阵与变换

已知直线 l : ax ? y ? 1 在矩阵 A ? ? (Ⅰ)求实数 a, b 的值;

?1 2 ? ' ? 对应的变换作用下变为直线 l : x ? by ? 1 . 0 1 ? ?

(Ⅱ)若点 p ( x0 , y0 ) 在直线上,且 A ?

? x0 ? ? x0 ? ? ? ? ? ,求点 p 的坐标. ? y0 ? ? y0 ?

解:(Ⅰ)设直线 l : ax ? y ? 1 上任意一点 M ( x, y ) 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是

M ?( x?, y?)

1

由?

? x? ? ? 1 2 ?? x ? ? x ? 2 y ? ? x? ? x ? 2 y ,得 ? ?? ?? ? ?? ? ? ? y? ? ? 0 1 ?? y ? ? y ? ? y? ? y

又点 M ?( x?, y?) 在 l ? 上,所以 x? ? by? ? 1 ,即 x ? (b ? 2) y ? 1 依题意 ?

? a ?1 ? a ?1 ,解得 ? ?b ? 2 ? 1 ?b ? ?1

(Ⅱ)由 A ?

? x0 ? ? x0 ? ? x0 ? x0 ? 2 y0 解得 y0 ? 0 ? ? ? ? ,得 ? ? y0 ? ? y0 ? ? y0 ? y0

又点 P ( x0 , y0 ) 在直线上,所以 x0 ? 1 故点 P 的坐标为 (1, 0)
6 . (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

B. [选修 4-2:矩阵与变换]本小题满分 10 分. 已知矩阵 A ? ?

??1 0 ? ?1 2? ?1 ,求矩阵 A B . ,B ? ? ? ? ?0 2 ? ?0 6 ? ?a ?b ? ? ,则 ?c ?d ? ?? 1? 0? ?a ?b ? ?1? 0? ?0? 2 ? ?c ?d ? = ?0 ?1? , 即 ? ? ? ? ? ?

B 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ?

?? a ? ? b? ?1? 0? ?2c ?2d ? = ?0 ?1? , ? ? ? ?
?? 1? 0 ? 1 ?1 ?, 故 a=-1,b=0,c=0,d= ∴矩阵 A 的逆矩阵为 A ? ? ?0 ? ? 1 ? 2 2? ? ?? 1? 0 ? ? ∴ A B=? ?0 ? ? 1 ? 2? ?
?1

?1?2 ? ?? 1? ? 2? ?0?6? = ?? 0? ? 3 ? ? ? ? ?

7 . (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn
a (b1 ? b2 ? 数列 {bn } 满足 bn ? 2 n ,求 lim
n ??

? ?n2 ? n ,

? bn) .

[解]当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? ?n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? ?2n ? 2 . 且 a1 ? s1 ? 0 ,所以 an ? ?2n ? 2 . 因为 bn ? 2
?2 n ? 2

1 1 ? ( ) n ?1 ,所以数列 {b n } 是首项为 1、公比为 的无穷等比数列. 4 4
2

(b1 ? b2 ? 故 lim
n ??

? bn) ?

1 1? 1 4

?

4 . 3

3


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