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线面垂直关系的判定


研一研·问题探究、课堂更高效

6.1

探究点一 直线与平面垂直的定义 问题 1

你能举出在日常生活中给人以直线与平面垂直

的例子吗? 答 旗杆与地面的关系,给人以直线与平面垂直的形象;
将书打开直立在水平桌面上,书脊和书的各页面都与桌 面垂直.

研一研·问题

探究、课堂更高效
问题 2 如图, 把教学用的直角三角板放在墙角, 使三角板的直角顶 点 C 与墙角重合,直角边 AC 所在直线与墙角所在直线重合,将

6.1

三角板绕 AC 转动,在转动过程中,直角边 CB 与地面紧贴, 这表明了什么?
答 表明了 AC 与地面垂直.

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问题 3 (1)阳光下直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上

6.1

的影子 BC 的位置关系是什么?随着太阳的移 动,旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度会发生改 变吗? (2)旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B′C′的位置关系又是什么?依据是 什么?由此得到什么结论?
答 (1)垂直关系,所成的角度不变,都为 90° .
(2)垂直关系,依据是异面直线所成角的概念.得到的

结论是:如果一条直线与平面垂直,则这条直线垂直 于该平面内的任意一条直线.

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6.1

问题 4 通过上述分析,你认为应该如何定义一条直线与一 个平面垂直?
答 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂
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直,那么称这条直线和这个平面垂直.
问题 5 如何画直线与平面垂直?如何用符号表示直线与平面 垂直?


画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的

平行四边形的一边垂直.直线 l 和平面 α 互相垂直,记作 l⊥α.

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6.1

问题 6 若直线与平面内的无数条直线垂直, 则直线垂直于平 面吗?如不是,直线与平面的位置关系如何?
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答 不一定垂直,有可能平行或者相交.

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6.1

探究点二 直线与平面垂直的判定 问题 1 通常定义可以作为判定的依据,那么用上述定义

判定直线与平面垂直是否方便?为什么?
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答 不方便,因为要验证直线垂直平面内所有的直

线,这实际上是很困难的.

6.1

问题 2

请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图

所示的试验:过△ ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、 DC 与桌面接触), 问:折痕 AD 与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕 AD 与 桌面所在平面垂直?



从实验可知:当 AD 与 BC 不垂直时,翻折后的纸片

竖起放置在桌面上折痕 AD 与桌面不垂直;当 AD 与 BC 垂直时, 翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕 AD 与桌面 垂直.

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问题 3


6.1

由 折 痕 AD⊥BC , 翻折 之后 垂直关 系 不变 ,即

AD⊥CD,AD⊥BD.由此你能得到什么结论?

问题 4

如图 1,把 AD、BD、CD 抽象为直线 l、m、n,把桌面 抽象为平面 α, l 与 α 垂直的条 件是什么?

若平面外一条直线与平面内两条相 交直线垂直且相交,则该直线垂直这个 平面.

答 条件是 l 与平面 α 内的两条相交直线 m,n 垂

直且相交.

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问题 5 如图 2,若 α 内两条相交直线 m、n 与 l 无公共点

6.1

且 l⊥m、l⊥n,我们可以把直线 l 平移到交点处,由此 你能给出判定直线与平面垂直的方法吗?
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线面垂直的判定定理:如 果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直,那么该 ? 直线与此平面垂直.


l
P
m

n

符号表示:m? ? ? ? ? ? ,n ? ?? ? ? ? ?

? m?n ? P ?? l ?? ? l ? m, l ? n ?

6.1

例1.有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有一条 长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面 上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D, 如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m,那么旗 杆就和地面垂直,为什么?
A

?

C

B

D

6.1

解 : 如图,旗杆AB ? 8m ,两绳长AC ? AD ? 10 m BC ? BD ? 6m ? B ,C ,D三点不共线 ? B ,C ,D三点确定平面? ? AB ? BC ,AB ? BD ? BC ? BD ? B ? ? AB ? ? 因此,旗杆AB与地面垂直.
A

C

B

D

6.1

判断:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条 直线都垂直,则直线 l⊥ α面

2.b是平面α内任一直线,a⊥α,则a⊥b
3. m ? ? , n

? ? ,l ? m ,l ? n ?

l??

6.1

例1. 如图所示,在 Rt ?ABC 中, ?B ? 900 ,点P为 ?ABC 所在平面外一点, PA ? 平面 ABC .问四面体 PABC 共 有几个直角三角形?

6.1

解 : 因 为 PA ? 平 面 ABC ,所 以

PA ? AB , PA ? AC , PA ? BC .

所以 ? PAB , ? PAC 都是直角三角形.
又 PA ? BC , AB ? BC , 且 PA ? AB ? A ,所以

BC ? 平 面 PAB
所 以 ? PBC 也 是 直 角 三 角 形
所 以 四 面 体 PABC 中 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 .

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6.1

如图,已知 a∥b,a⊥α.求证: b⊥α.
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证明 在平面 α 内作两条相交直线 m,n.

因为直线 a⊥α,根据直线与平面垂直的定义知 a⊥m, a⊥n.

又因为 b∥a,所以 b⊥m,b⊥n.
又因为 m ? α,n
所以 b⊥α.

? α,m, n 是两条相交直线,

6.1

小结 (1)如果两条平行直线有一条垂直于平面,那么

另一条直线也垂直于这个平面.
(2)证明线面垂直的一般思路是依据线面垂直的判定定理,寻

找满足定理的条件,当条件满足了,也就证明了线面垂直; 线面垂直的定义说明了直线垂直平面,则直线垂直这个 平面内的任意直线,常用此性质证线线垂直.


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