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甘肃省天水市秦安二中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


甘肃省天水市秦安二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 12 道题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)cos690°=() A. B. C. D.

2. (5 分)已知集合 M={x∈Z||x|<5},则下列式子正确的是() A.2.5∈M B.0?M C.{0}∈M

D.{0

}?M

3. (5 分)已知集合 M={(x,y)|4x+y=6},P={(x,y)|3x+2y=7},则 M∩P 等于() A.(1,2) B.{1}∪{2} C.{1,2} D.{ (1, 2) } 4. (5 分)函数 f(x)=lg(x﹣2)+ A.(2,3) ∪(3,+∞)
2

的定义域是() C.[2,3)∪(3,+∞) D.(2,3)

B.(3,+∞)

5. (5 分)函数 y=x ﹣4x+3,x∈[﹣1,1]的值域为() A.[﹣1,0] B.[0,8] C.[﹣1,8] 6. (5 分)已知向量 =(sinθ,2) , =(1,cosθ)且 ⊥ ,其中 ﹣cosθ 等于() A. B. C.

D.[3,8] ,则 sinθ

D.

7. (5 分)若 x0 是方程 x+lgx=2 的解,则 x0 属于区间() A. B. C.(1,2) D.(2,3)

8. (5 分)已知 A. B.



,sinα=() C. D.

9. (5 分)在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 等于() A. B. C. D.

,则

10. (5 分)若 f(x)=3sin(2x+φ)+a,对任意实数 x 都有 ,则实数 a 的值等于() A.﹣1 B.﹣7 或﹣1 C.7 或 1 D.±7

,且

11. (5 分)设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,则 a=() A. B .2 C. D.4

12. (5 分)下列函数中,函数图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递增的是() A.y=2 y=
x

B.y=x ﹣1

2

C.y=

D.

二、填空题(本大题共 4 道题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知扇形的圆心角为 150°,半径为 4,则扇形的面积是. 14. (5 分)函数 的定义域为.

15. (5 分)已知 f(n)=sin

,n∈Z,则 f (1)+f (2)+f (3)+…+f =.

16. (5 分)对于函数 f(x)=

,给出下列四个命题:

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值﹣1; ③该函数的图象关于 x= ④当且仅当 2kπ<x< +2kπ(k∈Z)对称; +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .

其中正确命题的序号是. (请将所有正确命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 道题,其中 17 题 10 分,18~22 题每题 12 分,共 70 分) 17. (10 分)若 cosα= ,α 是第四象限角,求 的值.

18. (12 分) (1)求 (2) 若 的值. ,

的值. , , 求 cos (α+β)

19. (12 分)已知向量 =(sinθ,cosθ﹣2sinθ) , =(1,2) . (1)若 (2)若 ,求 tanθ 的值; ,求 θ 的值.

20. (12 分)已知向量 (1)求函数 f(x)的单调递减区间. (2)将函数 f(x)向左平移

,函数

个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵 上的值域.

坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)在

21. (12 分)关于 x 的方程 (1)若方程有解,求实数 a 的取值范围. (2)若方程有两个不等实数根,求实数 a 的取值范围.

﹣a=0 在开区间

上.

22. (12 分)已知函数 f(x)=x +2x,若 f(cos θ﹣2m)+f(2msinθ﹣2)<0 对 θ∈R 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

3

2

甘肃省天水市秦安二中 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 道题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)cos690°=() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值.

分析: 利用利用诱导公式把要求的式子化为 cos(﹣30°) ,从而求得结果. 解答: 解:cos690°=cos(720°﹣30°)=cos(﹣30°)= ,

故选 C. 点评: 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值,属于基础题. 2. (5 分)已知集合 M={x∈Z||x|<5},则下列式子正确的是() A.2.5∈M B.0?M C.{0}∈M

D.{0}?M

考点: 元素与集合关系的判断;集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 由集合 M={x∈Z||x|<5}={﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3,4},利用元素与集合、 集合与集合间关系的符号能得到正确结果. 解答: 解:∵集合 M={x∈Z||x|<5} ={﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3,4}, ∴2.5?M,{0}?M, 故选 D. 点评: 本题考查元素与集合的关系的判断,是基础题.解题时要认真审题,注意熟练掌握 基本概念. 3. (5 分)已知集合 M={(x,y)|4x+y=6},P={(x,y)|3x+2y=7},则 M∩P 等于() A.(1,2) B.{1}∪{2} C.{1,2} D.{(1,2)} 考点: 两条直线的交点坐标;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 直接联立方程组,求出交点坐标即可得到 M∩P. 解答: 解:因为 ,解得 ,

所以 M∩P={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7}={(1,2)}, 故选 D. 点评: 本题考查直线的交点坐标的求法,考查计算能力. 4. (5 分)函数 f(x)=lg(x﹣2)+ A.(2,3) +∞) 考点: 专题: 分析: 解答: B.(3,+∞) 的定义域是() C.[2,3)∪(3,+∞) D. (2,3)∪(3,

对数函数的定义域. 计算题. 令对数的真数 x﹣2 大于 0;分母 x﹣3 非 0,列出不等式组,求出函数的定义域. 解:要使函数有意义,需满足

解得 x>2 且 x≠3 故选 D 点评: 求函数的定义域:常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于 0;对数的真数大于 0 底 数大于 0 且不等于 1;分母不为 0 等.注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示. 5. (5 分)函数 y=x ﹣4x+3,x∈[﹣1,1]的值域为() A.[﹣1,0] B.[0,8] C.[﹣1,8]
2

D.[3,8]

考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 把给出的二次函数配方后,由给出的 x 的值依次求出函数的值域. 解答: 解:y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1, ∵﹣1≤x≤1,∴﹣3≤x﹣2≤﹣1, 2 ∴1≤(x﹣2) ≤9, 2 则 0≤(x﹣2) ﹣1≤8. 2 所以,函数 y=x ﹣4x+3,x∈[﹣1,1]的值域为[0,8]. 故选 B. 点评: 本题考查了函数的值域,利用配方法求二次函数的值域是常用的方法,此题也可借 助于二次函数的图象求解,是基础题.
2 2

6. (5 分)已知向量 =(sinθ,2) , =(1,cosθ)且 ⊥ ,其中 ﹣cosθ 等于() A. B. C. D.

,则 sinθ

考点: 平面向量数量积的运算;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由向量 =(sinθ,2) , =(1,cosθ)且 ⊥ ,其中 ,得到

sinθ+2cosθ=0,利用同角三角函数的平方关系式,求出 sinθ,cosθ,即可求解所求表达式的值. 解答: 解:∵向量 =(sinθ,2) , =(1,cosθ)且 ⊥ , ∴ ? =sinθ+2cosθ=0,又 sin θ+cos θ=1, 解得 sinθ= ,cosθ= ,sinθ﹣cosθ= .
2 2

故选 D. 点评: 本题考查向量的垂直关系的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意 三角函数的灵活运用. 7. (5 分)若 x0 是方程 x+lgx=2 的解,则 x0 属于区间() A. B. C.(1,2) D.(2,3)

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数零点的判定定理即可得出. 解答: 解:令 f(x)=x+lgx﹣2,∵f(1)=1+lg1﹣2=﹣1<0,f(2)=2+lg2﹣2=lg2>0, ∴f(1)f(2)<0, 根据函数零点的判定定理可知:函数 f(x)在区间(1,2)内存在一个零点,即方程 x+lgx=2 的解 x0∈(1,2) . 故选 C. 点评: 正确理解函数零点的判定定理是解题的关键.

8. (5 分)已知 A. B.

, C.

,sinα=() D.

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用两角和差的正弦、余弦公式化简可得 sinα﹣cosα= ,cosα+sinα=﹣ ,由 此解方程组求得 sinα 的值. 解答: 解:∵ = (sinα﹣cosα) ,∴sinα﹣cosα= ①. ②.

=(cosα+sinα) (cosα﹣sinα)=(cosα+sinα) (﹣ ) ,∴cosα+sinα=﹣ 由①②解得 cosα=﹣ ,sinα= ,

故选 D. 点评: 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式的应用,属于中档题.

9. (5 分)在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 等于() A. B. C. D.

,则

考点: 向量的共线定理;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由 M 是 BC 的中点, 知 AM 是 BC 边上的中线, 又由点 P 在 AM 上且满足 得:P 是三角形 ABC 的重心,根据重心的性质,即可求解. 解答: 解:∵M 是 BC 的中点,知 AM 是 BC 边上的中线, 又由点 P 在 AM 上且满足 可

∴P 是三角形 ABC 的重心 ∴ = =﹣

又∵AM=1 ∴ ∴ = =﹣

故选 A 点评: 判断 P 点是否是三角形的重心有如下几种办法: ①定义: 三条中线的交点. ②性质: 或 取得最小值③坐标法:P 点坐标是三个顶点坐标的平均数.

10. (5 分)若 f(x)=3sin(2x+φ)+a,对任意实数 x 都有 ,则实数 a 的值等于() A.﹣1 B.﹣7 或﹣1 C. 7 或 1 D.±7

,且

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;正弦函数的对称性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用对任意实数 x 都有 到 f( 得到 x= 为 f(x)的对称轴,得

)为最大值或最小值,得到 3+a=﹣4 或﹣3+a=﹣4 求出 a 的值. ,

解答: 解:因为对任意实数 x 都有 所以 x= 所以 f( 为 f(x)的对称轴, )为最大值或最小值,

所以 3+a=﹣4 或﹣3+a=﹣4 所以 a=﹣7 或 a=﹣1 故选 B. 点评: 本题考查抽象函数的应用,在解决三角函数的性质问题时,一般先化简三角函数, 然后利用整体角处理的方法来解决. 11. (5 分)设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,则 a=() A. B. 2 C. D.4

考点: 对数函数的单调性与特殊点.

分析: 因为 a>1,函数 f(x)=logax 是单调递增函数,最大值与最小值之分别为 loga2a、 logaa=1,所以 loga2a﹣logaa= ,即可得答案. 解答: 解.∵a>1,∴函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为 loga2a, logaa, ∴loga2a﹣logaa= ,∴ ,a=4,

故选 D 点评: 本题主要考查对数函数的单调性与最值问题.对数函数当底数大于 1 时单调递增, 当底数大于 0 小于 1 时单调递减. 12. (5 分)下列函数中,函数图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递增的是() A.y=2
x

B.y=x ﹣1

2

C.y=

D.y=

考点: 函数的单调性及单调区间. 专题: 探究型;函数的性质及应用. 分析: 先判断函数为偶函数,定义域关于原点对称,再利用函数在(0,+∞)上单调递增, 即可得到结论. 解答: 解:∵函数图象关于 y 轴对称,∴函数为偶函数,定义域关于原点对称 ∴A,C 不符合,B,D 符合 ∵函数在(0,+∞)上单调递增 ∴B 符合,D 不符合 故选 B. 点评: 本题考查函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 道题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知扇形的圆心角为 150°,半径为 4,则扇形的面积是 .

考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 将圆心角 θ=150°转化为 解答: 解:∵圆心角 θ=150°= ∴圆心角 θ 所对的弧长 l=θR= ∴该扇形的面积 S= lR= × 故答案为: . 弧度,再利用扇形的面积公式 S= lR 即可求得答案. ,扇形的半径 R=4, ×4= ×4= , .

点评: 本题考查扇形的面积公式的应用,考查角度制与弧度制的互化,属于中档题.

14. (5 分)函数

的定义域为



考点: 正切函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 利用正切函数的定义域,直接求出函数 解答: 解|:函数 定义域 故答案为: . . 的有意义,必有 的定义域即可. ,所以函数的

点评: 本题是基础题,考查正切函数的定义域的求法,结果必须写成集合的形式,考查计 算能力. ,n∈Z,则 f (1)+f (2)+f (3)+…+f =

15. (5 分)已知 f(n)=sin



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用函数的周期性,可求得其周期为 T= =8,而 f (1)+f (2)+f (3)+…+f

(8)=0,于是可求得答案. 解答: 解:∵f(n)=sin ,n∈Z,其周期为 T= =8,

∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f(8)=sin 又 2012÷8=251 ,

+sin

+…+sin

+sin2π=0,

∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f =f (1)+f (2)+f (3)+f(4)=

+1+

+0=



故答案为: . 点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,考查正弦函数的周期性及特殊角的三角函数值, 属于中档题.

16. (5 分)对于函数 f(x)=

,给出下列四个命题:

①该函数是以 π 为最小正周期的周期函数; ②当且仅当 x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值﹣1;

③该函数的图象关于 x= ④当且仅当 2kπ<x<

+2kπ(k∈Z)对称; +2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ .

其中正确命题的序号是③④. (请将所有正确命题的序号都填上) 考点: 三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的单调性. 专题: 作图题;数形结合. 分析: 由题意作出此分段函数的图象,由图象研究该函数的性质,依据这些性质判断四个 命题的真假,此函数取自变量相同时函数值小的那一个,由此可顺利作出函数图象. 解答: 解:由题意函数 f(x)= 由图象知,函数 f(x)的最小正周期为 2π, 在 x=π+2kπ(k∈Z)和 x= +2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值﹣1,故①②错误, +2kπ(k∈Z)对称, ,故③④正确. ,画出 f(x)在 x∈[0,2π]上的图象.

由图象知,函数图象关于直线 x= 在 2kπ<x< 故答案为

+2kπ(k∈Z)时,0<f(x)≤ ③④

点评: 本题考点是三角函数的最值,本题是函数图象的运用,由函数的图象研究函数的性 质,并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假. 三、解答题(本大题共 6 道题,其中 17 题 10 分,18~22 题每题 12 分,共 70 分) 17. (10 分)若 cosα= ,α 是第四象限角,求 的值.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据 α 是第四象限的角,由 cosα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的 值,进而求出 tanα 的值,然后把所求的式子分子分母分别利用诱导公式化简,分子提取 sinα, 分母提取﹣cosα,约分后利用同角三角函数间的基本关系化为关于 tanα 的式子,把 tanα 的值 代入即可求出值.

解答: 解:∵α 是第四象限角,cosα= ,

∴sinα=﹣

=﹣

=﹣



∴tanα=﹣ 则原式= = =﹣tanα = .



点评: 此题考查了诱导公式,同角三角函数间的基本关系.熟练掌握公式及分子是解本题 的关键.学生做题时注意 α 的范围. 18. (12 分) (1)求 (2) 若 的值. 考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)先利用同角基本关系对 tan10°进行化简,然后利用两角和的正弦公式化简即可 求解 (2) 由 及 , ,进而可求 α+β 即可 , , 可先求 , 的值. , , 求 cos (α+β)

解答: 解: (1)原式

(2)∵ ∵ ∵ ①

∵ ∴①﹣②得 ∴ ∴ ,



点评: 本题主要考查了两角和的三角公式、同角平方关系的简单应用,属于公式的灵活应 用.

19. (12 分)已知向量 =(sinθ,cosθ﹣2sinθ) , =(1,2) . (1)若 (2)若 ,求 tanθ 的值; ,求 θ 的值.

考点: 平面向量的坐标运算. 分析: (1)根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题. (2)由| |=| |化简得 sin2θ+cos2θ=﹣1,再由 θ∈(0,π)可解出 θ 的值. 解答: 解: (1)∵ ∥ ∴2sinθ=cosθ﹣2sinθ 即 4sinθ=cosθ ∴tanθ= (2)由| |=| | ∴sin θ+(cosθ﹣2sinθ) =5 2 即 1﹣2sin2θ+4sin θ=5 化简得 sin2θ+cos2θ=﹣1 故有 sin(2θ+ )=﹣ ∈( = π , π)
2 2

又∵θ∈(0,π)∴2θ+ ∴2θ+ ∴θ= = π 或 2θ+ 或 θ= π

点评: 本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算.向量和三角函 数的综合题是高考的热点问题,每年必考.

20. (12 分)已知向量

,函数

(1)求函数 f(x)的单调递减区间. (2)将函数 f(x)向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵 上的值域.

坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)在

考点: 平面向量数量积的运算;函数的值域;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性; 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)利用三角函数倍角公式、两角和的正弦公式及其单调性、向量的数量积即可得 出; (2)利用三角函数的平移、伸缩变换先求出其解析式,再利用其单调性即可求出值域. 解答: 解: (1) ∵ 由 ∴函数 f(x)减区间为 (2)∵将函数 f(x)向左平移 得到 y=2 = 解得 . +1=2 +1, +1, = = , (k∈Z) ,

再将其横坐标缩短为原来的 ,得到 g(x)=2 ∵ ∴ 即﹣ +1≤g(x)≤3. 上的值域为[﹣ +1,3]. ,∴ ≤4x+ ≤ ≤1. ,

∴g(x)在

点评: 熟练掌握三角函数倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的图象的平移、伸缩变 换及其单调性是解题的关键.

21. (12 分)关于 x 的方程 (1)若方程有解,求实数 a 的取值范围. (2)若方程有两个不等实数根,求实数 a 的取值范围.

﹣a=0 在开区间

上.

考点: 两角和与差的正弦函数;函数的零点;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题;数形结合;三角函数的图像与性质. 分析: (1)先对已知函数化简,由题意可得, 的范围,结合正弦函数的性质可求 a 的范围 ,由 x 的范围先求出

(2)作出函数 解答: 解: (1)∵ ∴ ∴2sin2x+ ∴4sin(2x+ ∵ ∴ ∴ ∴﹣2<a≤4 (2)图象法:函数 由图象可得:a 的取值范围为(2,4) cos2x=a )=a

上图象,结合图象可求 a 的范围 ﹣a=0

上图象如图所示

点评: 本题主要考查了辅助角公式的及正弦函数的性质的简单应用,体现了数 形结合思想 的应用. 22. (12 分)已知函数 f(x)=x +2x,若 f(cos θ﹣2m)+f(2msinθ﹣2)<0 对 θ∈R 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断 f(x)的奇偶性、单调性,由函数 f(x)的性质可把不等式转化为具体不等 式,分离出参数 m 后再转化为求函数最值问题即可解决. 解答: 解:∵f(x)的定义域为 R, ∴f(x)在 R 上是奇函数且是增函数; 2 ∵f(cos θ﹣2m)<﹣f(2msinθ﹣2)=f(2﹣2msinθ) ,
3 2

∴cos θ﹣2m<2﹣2msinθ,即 cos θ﹣2<2m(1﹣sinθ) , (1)当 sinθ=1 时,∴﹣2<0 恒成立,∴m∈R; (2)当 sinθ≠1 即 1﹣sinθ>0 时,有 ,

2

2

, ∵ ,

∴ , ∴ ,∴ , 综上有: ,+∞) . 点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用,考查函数恒成立问题,考查学生灵活运 用知识分析问题解决问题的能力,属中档题.


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