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2016届高三理数周测(11.20)


2016 届高三上学期理科数学周测试题(11 月 20 日)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 设复数 z 满足

1+z =i,则|z|=( 1? z

*



A1

B 2

C 3

D2
*



2.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(?x ? A、 (0, ]

?

1 2

B、 [ , ]

1 3 2 4

) 在 ( , ? ) 单调递减,则 ? 的取值范围是( 2 4 1 5 C、 [ , ] D、 (0,2] 2 4

?

3 函数 f ( x) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减区间为(

*



(A)(错误!未找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。 源。 ),k 错误!未找到引用源。 (C)(错误!未找到引用源。 ),k 错误!未找到引用源。 引用源。 ),k 错误!未找到引用源。

(b)(错误!未找到引用

(D)(错误!未找到

4.设 D 为错误!未找到引用源。ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则(

??? ?

??? ?

*



???? ? 4 ???? 1 ??? A AD ? ? AB ? AC 3 3 ????? ? ???? 4 ??? ? 1 C AD ? AB ? AC 3 3

???? 1 ??? ? 4 ???? B AD ? AB ? AC 3 3 ??????? ? ???? 4 ??? ? 1 D AD ? AB ? AC 3 3
( * )

5. 已知 {an } 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? A、7 B、 -7 C、-5 D、5

6. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,则 m ? ( *

)
1

A.3

B .4

C.5

D.6 * )

7.等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 S 3 ? a2 ? 10a1 , a5 ? 9 ,则 a1 ? ( A

1 3

B?

1 3

C

?

1 9

D

1 9

8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( * ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 9.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组 由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( * ) A、12 种 B、10 种 C、9 种 D、8 种 10.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率 为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( A 0.36 B 0.432 C 0.648 D 0.312 * )

11. .4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益 活动的概率( * )

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

12. 函数 y ? 于( * )

1 的图像与函数 y ? 2sin? x (? 2 ? x ? 4)的图像所有焦点的横坐标之和等 x ?1

(A)2

(B) 8

(C) 6

(D)4

二、填空题(每小题5分,共 20分) 13. 若已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ?BD ? _______. 14.在 ? ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 15. 已 知 a, b, c 分 别 为 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , a =2 , 且

??? ? ??? ?

( 2 ?b ) ( A s? i n

?ABC Bs ?i n c? ) b ,则 ( C ) s 面积的最大值为 i n
2 2

.

16. .若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f ( x) 的最大值是 ______. 三.解答题(6 小题,共 70 分) 17. ( 本 小 题 满分 12 分 ) 已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 三 个内 角 A 、 B 、 C 的 对边,

a cosC ? 3a sin C ? b ? c ? 0 .
(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 b 、 c
2

2 18.(本小题满分 12 分) Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an =错误!未找

到引用源。. (Ⅰ)求{ an }的通项公式: (Ⅱ)设错误!未找到引用源。 ,求数列错误!未找到引用源。}的前 n 项和

19. (本小题满分 12 分))已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其 中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

20.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一 1 点,∠BPC=90° (1)若PB= ,求PA;(2)若∠APB=150° ,求tan∠PBA 2

21.(本小题满分 12 分) f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?1 x ln x k ? , x ? 2y ? 3 ? 0 。 (Ⅰ)求 a 、b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? x ?1 x

求 k 的取值范围。

3

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(选修 4—1 几何证明选讲) (本小题满分 10 分)

如图,AB 是 ? O 的直径,AC 是 ? O 的切线,BC 交 ? O 于 E

(I)

若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 ? O 的切线;

(Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求∠ACB 的大小.

23.选修 4─4:坐标系与参数方程选讲. (本小题满分 10 分)

在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为
2 2

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (I) 求 C1 , C2 的极坐标方程;

(II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求

?C2 MN 的面积

24.选修 4—5;不等式选讲.(本小题满分 10 分)

已知函数错误!未找到引用源。=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

4

2016 届高三上学期理科数学周测试题(11 月 20 日)答案
1-6. ACDABC 13. 2 7-12.DBACDB 14. 2 7 15. 3 16. 16

17 解:(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2
解得: b ? c ? 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4

2 18.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 4S1 ? 3 ? 4a1 +3 ,因为 an ? 0 ,所以 a1 =3, 2 2 当 n ? 2 时, an ? an ? an ?1 ? an?1 = 4Sn ? 3 ? 4Sn ?1 ? 3 = 4 an ,即

(an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) ,因为 an ? 0 ,所以 an ? an?1 =2,
所以数列{ an }是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 所以 an = 2n ? 1 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn =
1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 ? )] 所以数列{ bn }前 n 项和为 b1 ? b2 ? ?? bn = [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 = ? . 6 4n ? 6
19 、

5

20.

( Ⅰ ) 由 已 知 得 , ∠ PBC=

60o , ∴ ∠ PBA=30o , 在 △ PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得

1 1 7 7 ; PA2 = 3 ? ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= 4 2 4 2
(Ⅱ) 设∠PBA= ? , 由已知得, PB= sin ? , 在△PBA 中, 由正弦定理得,

3 sin ? ? , o sin150 sin(30o ? ? )

化简得,

3 cos ? ? 4sin ? ,∴ tan ? =

3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4

21.

(Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ?

? f (1) ? 1, 1 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2

?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2

解得 a ? 1 , b ? 1 。

(Ⅱ)①当 x ? (1,+ ? )时, (k ?1)(x 2 ?1) ? ?2x ln x
令 g ( x) ? (k ?1)(x ?1) ? 2x ln x
2

注意到 g (1) ? 0

要使 g ( x) ? 0 ? g (1) ,只要 g ( x) 在(1,+ ? )上递减,则 g ?( x) ? 2 x(k ? 1) ? 2(ln x ? 1) ? 0 有 k ? (?

ln x ? 1 ln x ? 1 ln x ? 1) min 再令 h( x) ? ? ? 1, h?( x) ? 2 ? 0 , h( x) 在(1,+ ? )上递 x x x
6

增, h( x) ? h(1) ? 0 ,所以 k ? 0 ?当 x ? (0,1) 时 (k ?1)(x 2 ?1) ? ?2x ln x 令 g ( x) ? (k ?1)(x 2 ?1) ? 2x ln x 注意到 g (1) ? 0

(0, 1 ) 要使 g ( x) ? 0 ? g (1) ,只要 g ( x) 在 上递减,则 g ?( x) ? 2 x(k ? 1) ? 2(ln x ? 1) ? 0
有 k ? (?

ln x ? 1 ln x ? 1 ln x (0, 1 ) ? 1) min 再令 h( x) ? ? ? 1, h?( x) ? 2 ? 0 , h( x) 在 上递减, x x x

h( x) ? h(1) ? 0 ,所以 k ? 0

22.

23.(Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ∴ C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标方程为
7

? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .……5 分
(Ⅱ)将 ? =
2 ? 代入 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 ,得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 4

?1 = 2 2 , ?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,
因为 C2 的半径为 1,则 ?C2 MN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = . 2 2

.

8


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