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山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第三次四校联考数学理试题


2013 届高三年级第三次四校联考

数学试题(理科)
命题:临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 集合 P ? ? x ? Z | 0 ? x ? 2? , M ? x ? Z | x ? 4 ,则 P ? M 等于
2

?

?

A. ? ? 1

B. ?0,1?

C. [0,2)

D. [0,2]

2. 某教师一天上 3 个班级的课,每班一节,如果一天共 9 节课,上午 5 节、下午 4 节,并且 教师不能连上 3 节课(第 5 和第 6 节不算连上) ,那么这位教师一天的课的所有排法有 A. 474 种 B. 77 种 C. 462 种 D. 79 种

3. 复数 z1=3+i,z2=1-i,则复数 A. 2 B. -2i
2 2

z1 的虚部为 z2
C. -2 D. 2i

4. 过点 M (2, 0) 作圆 x ? y ? 1 的两条切线 MA , MB ( A , B 为切点 ) ,则 MA ? MB ? A.

???? ????

5 3 2

B.

5 2
? ?

C.

3 3 2

D.

3 2

5. 函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

??

? 的最小正周期是 ? ,若其图像向右平移 个单 3 2?

?

位后得到的函数为奇函数,则函数 f ? x ? 的图像 A.关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

B.关于直线 x ?

?
12

对称

C.关于点 ?

? 5? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

D.关于直线 x ?

5? 对称 12
中 的

6. 如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为-55, 则判断框 条件为 A. n ? 11? C. n ? 10 ? B. n ? 11? D. n ? 10 ?

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x2 y2 7. 点 P 为双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 和圆 C 2 : a b

x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 的一个交点,且 2?PF1 F2 ? ?PF2 F1 ,其
中 F1 , F2 为双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为 A. 3 B. 1 ?

2

C. 3 ? 1

D. 2

8. 若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形, 则该几何体的外接球的表面积为 A. 10? C. 25? B. 50? D. 100?
? ,则△ABC 有两 6

9. 对于下列命题: ①在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ,则△ABC 若 为等腰三角形;②已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,若 a ? 2 , b ? 5 , A ? 组解;③设 a ? sin
2012? 2012? 2012? , b ? cos , c ? tan ,则 a 3 3 3

? b ? c ;④将函数

?? ? ? ?? ? y ? 2sin ? 3 x ? ? 图象向左平移 个单位,得到函数 y ? 2cos ? 3 x ? ? 图象.其中正确命题 6? 6? 6 ? ?
的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
?

10. 已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30 ,则棱 锥 S—ABC 的体积为 A. 3 3 B. 2 3 C.

3

D. 1

11. 函数 f ? x ? ? cos ? x 与函数 g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为 A.2 B. 4 C. 6 D. 8

12. 函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0) 对称, x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2 x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 ,M (1, 2), N ( x, y ) ,O 为坐标原点, 则当 1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围为 ( A. ?12,?? ? B. ?0,3?

???? ???? ?

) D. ?0,12?

C. ?3,12?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.在正三角形 AB ? 3 中, D 是 AB 上的点, AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ?

??? ???? ?

.

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? x ? y ? 2 ? 0, 14. 实数对 ( x, y ) 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则目标函数 z=kx-y 当且仅当 x=3,y=1 时取 ? ? y ? 2 ? 0, ?
最大值,则 k 的取值范围是 15.已知 f ( x) ? . .

ln x ,在区间 ?2,3? 上任取一点 x 0 ,使得 f '( x0 ) ? 0 的概率为 x

16. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 , 数列 ?a n ?

3 2

满足 a1 ? ?1 ,且

Sn a ? 2 ? n ? 1 (其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项和),则 n n
.

f (a5 ) ? f (a 6 ) ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,首项为 a1 ,且 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 an
2

1 , an , S n 成等差数列.(1) 2

b 1 ? ( )bn ,设 cn ? n ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an 2
参加人数

18. (本小题满分 12 分) 某中学参加一次社会公益活动 (以下简称活动) 该校合唱团共有 . 100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数 恰好相等的概率. (3)从合唱团中任选两名学生,用? 表示这两人参加活动 次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 50 40 30 20 10

活动次数

1

2

3

E? .
19. (本小题满分 12 分)如图,四边形 PCBM 是直角梯形, ?PCB ? 90? , PM ∥ BC , PM ? 1, BC ? 2 .又 AC ? 1 , 直线 AM 与直线 PC 所成的角为 ?ACB ? 120?, AB ? PC , 60? . (1)求证: PC ? AC ; (2)求二面角 M ? AC ? B 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率e ? , 左、右焦点分别为 F1、F2,点 2 2 a b

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P(2, 3 ) ,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补, 求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? ln x. (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程; ( (2)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立, 求 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 PA 与圆 O 相切于点 A , 经过点 O 的割线 PBC 交 圆 O 于点 B、C , ?APC 的平分线分别交 AB、AC 于 点 D、E . (1)证明: ?ADE ? ?AED ; (2)若 AC ? AP ,求

PC 的值. PA

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线
x ? ?2 ? t ? C : ? sin 2 ? ? 2a cos ? (a ? 0) ,已知过点 P (?2,?4) 的直线 l 的参数方程为: ? 2 , ? ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ? ? 2

直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x ) ? x ? a , a ? R. (1)当 ?1 ? x ? 3时, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围; (2)若对任意 x∈R, f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) ? 1 ? 2a 恒成立,求实数 a 的最小值.

2013 届高三第三次四校联考试题答案
一、 题号 答案 选择题 1 2 B A 3 A 4 D 5 D 6 C 7 C 8 B 9 C

(理科)
10 C 11 B 12 D

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二、填空题 13、

15 2

14、 ? ?

? 1 ? ,1? ? 2 ?

15、 e ? 2

16、 3

三、解答题 17、解(1)由题意知 2an ? S n ? 当 n ? 1 时 , 2a1 ? a1 ?

1 , an ? 0 2

??????1 分 当 n?2 时 ,

1 2 1 1 S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 2

? a1 ?

1 2

两式相减得 an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 ??????3 分 4分 ∴数列 ?an ? 是以 分 (2) an ? 2
2 ? bn

整理得:

an ?2 an ?1

???

1 1 为首项, 为公比的等比数列. an ? a1 ? 2 n ?1 ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ?????5 2 2 2
∴ bn ? 4 ? 2n ,????????6 分

? 22n?4

Cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ① ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ??????9 分 2 2 2 2 2 n ?1 1 1 ( ? n ?1 ) 1 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? ( ? n ?1 ) ? n ?1 41 2 2 4n 8n ? n .????????????11 分 ?Tn ? n . ?????12 2 2
分 18、由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40. ( 1 ) 该 合 唱 团 学 生 参 加 活 动 的 人 均 次 数 为

1?10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 230 ? ? 2.3 .??????4 分 100 100

(2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为

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P0 ?

2 2 2 C10 ? C50 ? C40 41 .???????8 分 ? 2 C100 99

(3)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次活动” 为事件 A , “这两人中一人参加 2 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 B , “这两人中一人 参加 1 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 C .易知
1 1 1 1 1 1 P(? ? 1) ? P( A) ? P( B) ? C10C50 ? C50C40 ? 50 ; P(? ? 2) ? P(C ) ? C10C40 ? 8 ; 2 4 2

C100

C100

99

C100

99

? 的分布列:
?
0
41 99

1
50 99

2
8 99

P

???????10 分

? 的数学期望: E? ? 0 ?

41 50 8 2 ? 1? ? 2 ? ? .???????12 分 99 99 99 3

19、方法 1: (1)∵ PC ? BC , PC ? AB ,∴ PC ? 平面 ABC,∴ PC ? AC . 分) (4
? ? (2)取 BC 的中点 N,连 MN.∵ PM ? CN ,∴ MN ? PC ,∴ MN ? 平面 ABC.作 NH ? AC , AC 的延长线于 H, 交 连结 MH. 由三垂线定理得 AC ? MH , ?MHN 为二面角 M ? AC ? B ∴ 的平面角.∵直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? ,∴在 Rt ?AMN 中, ?AMN ? 60? .

在 ?ACN 中, AN ? AC 2 ? CN 2 ? 2 AC ? CN ? cos120? ? 3 . 在 Rt ?AMN 中, MN ? AN ? cot ?AMN ? 3 cot 60? ? 1 . 在 Rt ?NCH 中, NH ? CN ? sin ?NCH ? 1? sin 60? ? 在 Rt ?MNH 中,∵ MH ? MN 2 ? NH 2 ? 故二面角 M ? AC ? B 的余弦值为
3 . 2

7 NH 21 ,∴ cos ?MHN ? . ? 2 MH 7

21 . (12 分) 7 方法 2: (1)∵ PC ? BC , PC ? AB ,∴ PC ? 平面 ABC,∴ PC ? AC . 分) (4

(2)在平面 ABC 内,过 C 作 BC 的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示.设 P(0, 0, z ) ,
???? ? ??? ? 3 1 3 3 则 CP ? (0, 0, z ) . AM ? (0,1, z ) ? ( , ? , 0) ? (? , , z ) . 2 2 2 2 ?????(5 分)
???? ??? ? ? ???? ??? ? ? AM ? CP z2 ? ? ∵ cos 60? ?| cos ? AM , CP ?|?| ???? ??? |? , | AM | ? | CP | 3 ? z2 ? | z |

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且 z ? 0 ,∴

z z2 ? 3

?

???? ? 3 3 1 , ,1) .?????(7 分) ,得 z ? 1 ,∴ AM ? (? 2 2 2

? 3 3 ???? ? ?n ? AM ? 0, ?? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ? x ? ? 3 , ? ? ? 设平面 MAC 的一个法向量为 n ? ( x, y,1) , 则由 ? ??? 得? 得? ? 3 ∴ 3 1 ? n ? CA ? 0 ? ? y ? ?1, ? ? ? 2 x ? 2 y ? 0, ?
n ? (? 3 , ?1,1) .?????(9 分) 3

??? ? ??? ? n ? CP 21 ????? ? ? 平面 ABC 的一个法向量为 CP ? (0, 0,1) . cos ? n, CP ?? .?????(11 分)
| n | ?| CP | 7
21 . (12 分) 7

??? ?

显然,二面角 M ? AC ? B 为锐二面角,∴二面角 M ? AC ? B 的余弦值为 20、 (1)由椭圆 C 的离心率 e ?

2 c 2 2 2 得 ? ,其中 c ? a ? b , 2 , a 2

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上

?| F1 F2 |?| PF2 |,? (2c) 2 ? ( 3 ) 2 ? (2 ? c) 2 ? ? ? ? ? ( 3 分 )

解 得

c ? 1, a 2 ? 2, b 2 ? 1,
? 椭圆的方程为 x2 ? y 2 ? 1. ????? (5 分) 2

? x2 ? ? y 2 ? 1, (2)由题意,知直线 MN 存在斜率,其方程为 y ? kx ? m. 由 ? 2 ? y ? kx ? m ?
消去 y, 得(2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0.
2 2 2

? (6 分)

△=(4km) —4(2k +1)(2m —

2

2

2

2)>0 ( 7 分) 设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), 分) 且 k F2 M ? 则 x1 ? x 2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , x1 x 2 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

????? (8

kx1 ? m kx ? m , k F2 N ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

?????(9 分)

由已知直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补, k F2 M ? k F2 N ? 0, 即 得

kx1 ? m kx 2 ? m ? ? 0. x1 ? 1 x2 ? 1

? (10

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分)

化简,得 2kx1x2 ? (m ? k )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 0 整理得 m ? ?2k .

? 2k ?

2m 2 ? 2 4km(m ? k ) ? ? 2m ? 0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

(11 分)

直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) , ?????(12 分)

因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0)

21、解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? 3 x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ? 因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 .

1 .??????2 分 x
????????4 分

所以切线方程是 y ? ?2.

( ? . (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 0, ?)
当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

??????5 分

1 2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? 0) x x
所以 x ?

令 f ' ( x) ? 0 , 即 f ' ( x) ?

2ax 2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? ?0 , x x

1 或 2

1 .??7 分 a 1 当 0 ? ? 1 ,即 a ? 1 时, f (x) 在[1,e]上单调递增,所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 a x?
f (1) ? ?2 ;
当1 ? 当

1 1 ? e 时, f (x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; a a

1 ? e 时, f (x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意??????8 分 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax ? ax ? ln x ,
2

? 只 要 g (x) 在(0, ?)上 单 调 递 增 即 可 . ? ? ? ? ? ? 9 分
g ' ( x) ? 2ax ? a ? 1 2ax 2 ? ax ? 1 ? x x
1 ( ? 上单调递增;????????10 分 ? 0 ,此时 g (x) 在 0, ?) x
2



当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

( ? 上恒成立,因为 x ? (0,??) ,只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 , 当 a ? 0 时,只需 g ' ( x) ? 0 在 0, ?)
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则需要 a ? 0 ,????????????12 分 对于函数 y ? 2ax 2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1) ,对称轴 x ? 即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 .

1 ? 0 ,只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 , 4

??????????????????12 分

22、 (1)∵ PA 是切线,AB 是弦,∴ ∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED。 (2)由(1)知∠BAP=∠C,又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴

PC CA ? , PA AB

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°, ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°, ∴ ∠ C= ∠ APC= ∠ BAP=

1 CA × 90 ° =30 ° 。 在 Rt △ ABC 中 , = 3 , ∴ 3 AB

PC CA ? = 3。 PA AB
? ? x ? ?2 ? ? 2 23、解: (Ⅰ) y ? 2ax, y ? x ? 2 . ??.5 分(Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
为参数), 代 入
y 2 ? 2ax

2 t 2 (t 2 t 2

,

得 到 t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8 (4 ? a) ? 0 , ? 7



则 有

t1 ? t2 ? 2 2 (4 ? a), t1 ? t2 ? 8 (4 ? a) .

因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 ) 2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . 24、解: (1)f (x)=|x-a|≤3,即 a-3≤x≤a+3.依题意,?

解得

a ? 1 .?10 分

?a-3≤-1,

?a+3≥3. 由此得 a 的取值范围是[0,2].????? 5 分 (2)f (x-a)+f (x+a)=|x-2a|+|x|≥|(x-2a)-x|=2|a|.

当且仅当(x-2a)x≤0 时取等号. 1 故 a 的最小值为 4 .

?7 分 1 解不等式 2|a|≥1-2a,得 a≥ . 4 ?10 分

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