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全国181套中考数学试题分类汇编31折叠问题


31:折叠问题
一、选择题 1.(山东日照 4 分)在平面直角坐标系中,已知直线 y ? ? x ? 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点,点 C(0,n)是 y 轴上一点.把坐标平面沿直线 AC 折叠,使点 B 刚好落在 x 轴上, 则点 C 的坐标是 A、 (0, 【答案】B。 【考点】一次函数综合题,翻折变换(折叠问题)的性质,直线上点的坐标与方程的关系, 勾股定理,角平分线的性质。 【分析】过 C 作 CD⊥AB 于 D,交 AO 于 B′,根据点在直线上点的 坐标满足方程的关系, y ? ? x ? 3 中分别令 x =0 和 y =0 求出 在 A,B 的坐标,分别为(4,0)(0,3) , 。从而得 OA=4,OB=3,根 据勾股定理得 AB=5。再根据折叠对称的性质得到 AC 平分∠OAB, 得到 CD=CO=n,DA=OA=4,则 DB=5-4=1,BC=3-n。从而在 Rt△BCD 中,DC +BD =BC ,即 n +1 = (3-n) , 解得 n= 故选 B。 2.(天津 3 分)如图.将正方形纸片 ABCD 折叠,使边 AB、CB 均落在对角线 BD 上, 得折痕 BE、BF,则∠EBF 的大小为 (A) 15° 【答案】C。 【考点】折叠对称,正方形的性质。 【分析】根据折叠后,轴对称的性质,∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠FBC=22.5 ,∴∠EBF=45 。故 选 C。 3.(重庆4分)如图,正方形 ABCD 中,AB=6,点 E 在边 CD 上,且 CD=3DE.将 △ADE 沿 AE 对折至△AFE,延长 EF 交边 BC 于点 G,连接 AG、CF.下列结论: ①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是 A、1 【答案】C。 B、2 C、3 D、4
0 0 2 2 2 2 2 2

3 4

3 ) 4

B、 (0,

4 ) 3

C、 (0,3)

D、 (0,4)

3 4

4 4 ,因此点 C 的坐标为 (0, ) 。 3 3

(B) 30°

(C) 45°

(D) 60°

【考点】翻折变换(折叠问题) ,全等三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】①正确:因为 AB=AD=AF,AG=AG,∠B=∠AFG=90°,∴△ABG≌△AFG; ②正确:因为 EF=DE= CD=2,设 BG=FG= x ,则 CG=6﹣ x .在直角△ECG 中,由勾 股定理得 ? 6 ? x ? ? 42 ? ? x ? 2? ,解得 x =3.所以 BG=3=6﹣3=GC;
2 2

③正确; 因为 CG=BG=GF, 所以△FGC 是等腰三角形, ∠GFC=∠GCF. 又∠AGB=∠AGF, ∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF,∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,∴AG∥CF; ④ 错 误 : 过 F 作 FH⊥DC , ∵BC⊥DH , ∴FH∥GC , ∴△EFH∽△EGC ,

FH EF FH EF 2 2 6 ? ? ? ,∴FH= 3 ? ? 。 ,EF=DE=2,GF=3,∴EG=5,∴ GC EG GC EG 5 5 5 1 1 6 18 ? 3 。故选 C。 ∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC= ? 3 ? 4 ? ? 4 ? ? 2 2 5 5
∴ 4.(浙江温州 4 分)如图,O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,⊙O 与边 AB,BC 都相切,点 E,F 分别在 AD,DC 上,现将△DEF 沿着 EF 对折,折痕 EF 与⊙O 相切,此时点 D 恰好落在圆心 O 处.若 DE=2,则正方形 ABCD 的边 长是 A、3 【答案】 【考点】翻折变换(折叠问题) ,正方形的性质,切线的性质,勾股定理。 【分析】 延长 FO 交 AB 于点 G, 根据折叠对称可以知道 OF⊥CD, 所以 OG⊥AB, 即点 G 是切点, 交 EF 于点 H, H 是切点. OD 点 结合图形可知 OG=OH=HD=EH, 等于⊙O 的半径,先求出半径,然后求出正方形的边长:在等腰直角三角 形 DEH 中,DE=2, EH=DH= 2 =AE,所以 AD=AE+DE= 2 ? 2 。故选 C。 5.(浙江省 3 分)如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8,按如图那样折叠,使 点 A 与点 B 重合,折痕为 DE,则 S△BCE:S△BDE 等于 A. 2: 5 【答案】B。 【考点】折叠对称的性质,勾股定理,相似三角形的判定和 性质。 【分析】由已知,根据勾股定理可求出 AB=10,由折叠对称的性质,知 BD=AD=5。由相似三 B.14:25 C.16:25 D. 4:21 B、4 C、 2 ? 2 D、 2 2

角形的判定知△BDE∽△ACB,从而得
2 2

ED BD 15 ED 5 ,即 ? ? ,得 ED= 。在 Rt△EBD 和 BC AC 4 6 8
2 2 2 2 2 2 2 2 2

Rt△EBC 中,由勾股定理,得 BE =ED +BD ,BE =BC +CE ,即 ED +BD = BC +CE ,所以 CE =

15 2 2 2 49 7 7 1 1 ) +5 -6 = ,从而 CE= 。因此,S△BCE:S△BDE= ·BC·CE: ·BD·ED=6× : 2 2 4 4 4 16 15 5× =14:25。故选 B。 4
( 6.(吉林省 3 分)如图所示,将一个正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后 折叠的纸片 沿虚线剪去一个三角形和一个形如“ 1 ”的图形,将纸片展开,得到的图形是

【答案】D。 【考点】折叠,轴对称。 【分析】根据折叠和轴对称的性质,从折叠的方向和剪去一个三角形的位置看,放开后是位 于中间的正方形,故要 B,D 两项中选择;从剪去的如“ 1 ”的图形方向看箭头朝外。故选 D。 7.(江苏海南 3 分)如图,将平行四边形 ABCD 折叠,使顶点 D 恰落在 AB 边 上的点 M 处,折痕为 AN,那么对于结论 ①MN∥BC,②MN=AM,下列说法正确 的是 A、①②都对 C、①对②错 【答案】A。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,平行四边形的性质,菱形的判定和性质。 【分析】∵平行四边形 ABCD,∴∠B=∠D=∠AMN,∴MN∥BC。∵AM=DA,∴四边形 AMND 为菱 形,∴MN=AM。故选 A。 8. 山东菏泽 3 分) ( 如图所示, 已知在三角形纸片 ABC 中, BC=3, AB=6, ∠BCA=90°. 在 AC 上取一点 E,以 BE 为折痕,使 AB 的一部分与 BC 重合,A 与 BC 延长线上的点 D 重合,则 DE 的长度为 B 、①②都错 D、①错②对

A、6 【答案】C。

B、3

C、2 3

D、 3

【考点】翻折变换(折叠问题) ,含 30 度角的直角三角形的性质,三角函数。 【分析】由已知易得∠ABC=60°,∠A=30°.根据折叠的性质∠CBE=∠D=30°.在△BCE 和 △DCE 中用三角函数解直角三角形求解.∵∠ACB=90°,BC=3,AB=6,∴sinA= ∴∠A=30° , ∠CBA=60° 。 根 据 折 叠 的 性 质 知 , ∠CBE=∠EBA= ∴CE=BCtan30°= 3 ∴DE=2CE=2 3 。故选 C。 9. (山东济宁 3 分)如图:△ABC 的周长为 30cm,把△ABC 的边 AC 对折,使顶点 C 和点 A 重合,折痕交 BC 边于点 D,交 AC 边与点 E,连接 AD,若 AE=4cm,则△ABD 的周 长是 A. 22cm 【答案】 A。 【考点】折叠的性质。 【分析】根据折叠的性质,AE=CE=4,AD=CD,∴AC=8。 ∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=△ABC 的周长=AC=30-8=22。故选 A。 10.(山东泰安 3 分)如图,点 O 是矩形 ABCD 的中心,E 是 AB 上的点,沿 CE 折叠后,点 B 恰好与点 O 重合,若 BC=3,则折痕 CE 的长为 A、 2 3 【答案】A。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,矩形的性质,解直角三角形,特殊角的三角函数值,三角 形内角和定理。 【分析】根据图形翻折变换的性质求出 AC 的长,再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即 可得出结论: ∵△CED 是△CEB 翻折而成,∴BC=CO,∠ACE=∠BCE。 又∵O 是矩形 ABCD 的中心,AC=2BC=2×3=6。 ∴在 Rt△ABC 中,sin∠CAB= B、 B.20cm C. 18cm D.15cm

BC 3 1 ? ? 。 AB 6 2

1 ∠CBA=30° 。 2

3 3 2

C、 3

D、6

BC 1 0 0 0 ? 。∴∠CAB=30 。∴∠ACB=60 ,∠BCE=30 。 AC 2

∴在 Rt△CBE 中,CE=

BC 3 ? ? 2 3 。故选 A。 cos ?BCE 3 2

11.(广东广州 3 分)如图所示,将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折,接着对折后 的纸片沿虚线 CD 向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是

A、

B、

C、

D、 【答案】D。 【考点】轴对称的性质。 【分析】细观察图形特点,利用对称性与排除法求解:根据对称性可知,答案 A,B 都不是 轴对称,可以排除;由第三个图可知,两个短边正对着对称轴 AB,故排除 C。故选 D。 12. (河北省 3 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6,D,E 分别在 AB、AC 上,将△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A′处,若 A′为 CE 的中点,则折痕 DE 的长 为 A、 【答案】B。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,相似三角形的判定和性质。 【分析】∵△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A′处,∴∠EDA=∠EDA′=90°,AE=A′E, ∴△ACB∽△AED。 ∴ B、2 C、3 D、4

ED AE 。 ? BC AC ED 1 ? 。∴ED=2。 6 3

又∵A′为 CE 的中点,∴AE=A′E=A′C。∴ 故选 B。

13.(四川宜宾 3 分)如图,矩形纸片 ABCD 中,已知 AD =8,折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合,点 B 落在点 F 处,折痕为 AE,且 EF=3,则 AB 的长为 A.3 【答案】D。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,矩形的性质,勾股定理。 【分析】∵四边形 ABCD 是矩形,AD=8,∴BC=8,
B E C F

B.4

C.5

D.6

A

D

∵△AEF 是△AEB 翻折而成, ∴BE=EF=3,AB=AF,CE=8-3=5,△CEF 是直角三角形。 在 Rt△CEF 中,CF=

CE2 ? EF2 ?
2 2 2

52 ? 32 ? 4 。
2 2 2

设 AB=x,在 Rt△ABC 中,AC =AB +BC ,即(x+4) =x +8 ,解得 x=6。故选 D。 14.(四川泸州 2 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,将 BC 向 BA 方向翻折过去,使点 C 落在 BA 上的点 C′,折痕为 BE,则 EC 的长度是 A、 5 3 【答案】B。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,折叠对称的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函 数值,等腰直角三角形的性质。 【分析】作 ED⊥BC 于 D,设所求的 EC 为 x,则 CD= ∵∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10, ∴BC=AC×cosC=5,BD=BC-CD=5- B、 5 3 ? 5 C、 10 ? 5 3 D、 5 ? 5 3

3 1 x,ED = x, 2 2

1 x。 2
3 x。 2

∵根据折叠对称的性质,∠CBE=∠C′BE =45°,∴BC= ED =

∴5-

3 1 x = x,解得 x= 5 3 ? 5 。故选 B。 2 2

15.(四川内江 3 分)如图.在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为(1,3) ,将矩形沿对角线 AC 翻折,B 点落在 D 点的位置, 且 AD 交 y 轴于点 E.那么点 D 的坐标为 A、 ( ? , ) 【答案】A。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,坐标与图形性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理, 平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质。 【分析】如图,过 D 作 DF⊥AF 于 F, ∵点 B 的坐标为(1,3) ,∴AO=1,AB=3, 根据折叠可知:CD=OA=1,而∠D=∠AOE=90°,∠DEC=∠AEO, ∴△CDE≌△AOE(AAS) 。∴OE=DE。 设 OE=x,那么 CE=3-x,DE=x,

4 12 5 5

B、 ( ? , )

2 13 5 5

C、 ( ? , )

1 13 2 5

D、 ( ? , )

3 12 5 5

∴在 Rt△DCE 中,CE =DE +CD ,∴(3-x) =x +1 ,∴x= 而 AD=AB=3,∴AE=CE=3-

2

2

2

2

2

2

4 。 3

4 5 = 。 3 3

又 DF⊥AF,∴DF∥EO,∴△AEO∽△ADF。

5 4 1 AE EO AO 12 9 ∴ ,即 3 ? 3 ? 。∴DF= ,AF= 。 ? ? 3 DF AF AD DF AF 5 5
∴OF=

9 4 4 12 -1= 。∴D 的坐标为(- , ) 。故选 A。 5 5 5 5

16.(甘肃天水 4 分)如图,有一块矩形纸片 ABCD,AB=8,AD=6.将纸片折叠,使得 AD 边 落在 AB 边上,折痕为 AE,再将△AED 沿 DE 向右翻折,AE 与 BC 的交点为 F,则 CF 的长为

A、6 【答案】C。

B、4

C、2

D、1

【考点】翻折变换(折叠问题) ,折叠的性质,矩形的判定和性质,相似三角形的判定和性 质。 【分析】由矩形纸片 ABCD,AB=8,AD=6.根据矩形与折叠的性质,即可得在第三个图中: AB=AD﹣BD=6﹣2=4, AD∥EC, BC=6, 即可得△ABF∽△ECF, 根据相似三角形的对应边成比例, 即可求得 CF 的长: 由四边形 ABCD 是矩形,AB=8,AD=6, 根据题意得:BD=AB-AD=8-6=2,四边形 BDEC 是矩形。∴EC=BD=2。 ∴在第三个图中: AB=AD-BD=6-2=4, AD∥EC, BC=6, ∴△ABF∽△ECF。 ∴ 设 CF=x,则 BF=6-x,∴

AB BF 。 ? EC CF

4 6?x ,解得:x=2,即 CF=2。故选 C。 ? 2 x

17. (云南昭通 3 分) 如图所示, 将矩形纸片 ABCD 折叠, 使点 D 与点 B 重合, C 落在点 C′ 点 处,折痕为 EF,若∠EFC′=125 ,那么∠ABE 的度数为 A.15
0 0

B.20

0

C.25

0

D.30

0

【答案】B。 【考点】矩形的性质,折叠对称的性质,平行的性质,等腰三角形的性质, 三角形内角和定理

【分析】∵ABCD 是矩形,∴BE∥C′F,∴∠BEF=180 -∠EFC′=180 -125 =55 。 由折叠对称的性质,用 ASA 可证得△ABE≌△C′BF,∴BE=BF。∴∠BFE=∠BEF= 55 。 ∴∠FEB=70 。∴∠ABE=20 。故选 B。 18.(福建三明 4 分)如图,在正方形纸片 ABCD 中,E,F 分别是 AD,BC 的中点,沿过点 B 的直线折叠,使点 C 落在 EF 上,落点为 N,折痕交 CD 边于点 M,BM 与 EF 交于点
A E N M D
0 0 0

0

0

0

0

P,再展开.则下列结论中:①CM=DM;②∠ABN=30°;③AB =3CM ;④△PMN 是等 边三角形.正确的有 A、1 个 【答案】C。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,正方形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三 角函数值,三角形内角和定理,等边三角形的判定。 【分析】∵△BMN 是由△BMC 翻折得到的,∴BN=BC, 又∵点 F 为 BC 的中点,∴在 Rt△BNF 中,sin∠BNF ? B、2 个 C、3 个 D、4 个
B

2

2

P F (第10题) C

BF BF 1 ? ? 。 BN BC 2

∴∠BNF=30°,∠FBN=60°,∴∠ABN=90°﹣∠FBN=30°,故②正确。 在 Rt△BCM 中,∠CBM=
2 2

CM 3 1 ? ∠FBN=30°,∴tan∠CBM=tan30° ? 。 BC 3 2

∴BC= 3 CM,AB =3CM 。故③正确。 又∵∠NPM=∠BPF=90°-∠MBC=60°,∠NMP=90°-∠MBN=60°, ∴△PMN 是等边三角形,故④正确。 由题给条件,证不出 CM=DM,故①错误。 故正确的有②③④,共 3 个。故选 C。 19.(福建莆田 4 分)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 AB 边上,沿 CE 折叠矩形 ABCD,使点 B 落在 AD 边上的点 F 处,若 AB=4,BC=5,则 tan∠AFE 的值为 A.

4 3

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5

【答案】C。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,矩形的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义。 【分析】∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=∠B=∠D=90°,CD=AB=4,AD=BC=5。 由 折 叠 的 性 质 得 : ∠EFC=∠B=90° , CF=BC=5 , ∴∠AFE+∠DFC=90° , ∠DFC+∠FCD=90°。

∴∠DCF=∠AFE。 ∵在 Rt△DCF 中,CF=5,CD=4,∴DF= CF2 - CD2 ? 52 - 42 ? 3 ∴tan∠AFE=tan∠DCF=

DF 3 。故选 C。 ? DC 4

20.(黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西 3 分)如图,在 Rt△ABC 中,AB=CB, BO⊥AC,把△ABC 折叠,使 AB 落在 AC 上,点 B 与 AC 上的点 E 重合,展开后,折痕 AD 交 BO 于点 F,连接 DE、EF.下列结论:①tan∠ADB=2;②图中有 4 对全等三角形;③若 将△DEF 沿 EF 折叠,则点 D 不一定落在 AC 上;④BD=BF;⑤S 四边形 DFOE=S△AOF,上述结 论中正确的个数是 A、1 个 【答案】C。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数。 【分析】根据折叠的知识,锐角正切值的定义,全等三角形的判定,面积的计算判断所给选 项是否正确即可: ① 由折叠可得 BD=DE,而 DC>DE,∴DC>BD,又 AB=CB,∴tan∠ADB≠2,故本选项错误; ② 图中的全等三角形有△ABF≌△AEF,△ABD≌△AED,△FBD≌△FED,△AOB≌△COB 共 4 对, 故本选项正确; ③∵∠AEF=∠DEF=45°,∴将△DEF 沿 EF 折叠,可得点 D 一定在 AC 上,故本选项错 误; ④易得∠BFD=∠BDF=67.5°,∴BD=BF,故本选项正确; ⑤连接 CF, ∵△AOF 和△COF 等底同高, △AOF=S△COF。 ∴S ∵∠AEF=∠ACD=45°, ∴EF∥CD, ∴S△EFD=S△EFC。∴S 四边形 DFOE=S△COF。∴S 四边形 DFOE=S△AOF。故本选项正确。 所以正确的有 3 个:②④⑤。故选 C。 21.(湖南岳阳 3 分)如图,把一张长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠, 使 C 点落在 E 处,BE 与 AD 相交于点 F,下列结论:①BD=AD +AB ; ②△ABF≌△EDF;③ A、①② 【答案】B。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,勾股定理,相似三角形的判定和性质,特殊角的三角函数
2 2

B、2 个

C、3 个

D、4 个

DE EF ;④AD=BD?cos45°.其中正确的一组是 = AB AF
B、②③ C、①④ D、③④

值。 【分析】 ①∵△ABD 为直角三角形, ∴BD =AD +AB , 故说法错误; ②根据折叠可知: DE=CD=AB, ∠A=∠E,∠AFB=∠EFD,∴△ABF≌△EDF,故说法正确;③根据②可以得到△ABF∽△EDF, ∴
2 2 2

DE EF ,故说法正确;④在 Rt△ABD 中,∠ADB≠45°,∴AD≠BD?cos45°,故说法错 = AB AF

误.所以正确的是②③。故选 B。 二、填空题 1. (重庆潼南 4 分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,点 D 在 AC 上,将△BCD 沿着直线 BD 翻 折,使点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处,DC=5cm,则点 D 到斜边 AB 的距离是 【答案】5。 【考点】翻折变换(折叠问题) 。 【分析】折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位 置变化,对应边和对应角相等。因此可得出结论: ∵△BDE 是△BDC 翻折而成,∠C=90°,∴△BDE≌△BDC。∴DE⊥AB,DE=CD, ∵DC=5cm,∴DE=5cm。 2.(浙江绍兴 5 分)取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折,并沿图 3 中过矩形顶点 的斜线(虚线)剪开,把剪下的①这部分展开,平铺在桌面上.若平铺的这个图形是正六边 形,则这张矩形纸片的宽和长 之比为 ▲ ▲ cm.

【答案】

:2。

【考点】剪纸问题,翻折变换(折叠问题) 。 【分析】作 OB⊥AD,根据已知可以画出图形,∵根据折叠方式可得:AB=AD, CD=CE,∠OAB=60°,AO 等于正六边形的边长, ∴∠BOA=30°,∴2AB=AO,

BO =tan60°= AB

,∴BO:AM=

:2。

3.(浙江台州 5 分)点 D、E 分别在等边△ABC 的边 AB、BC 上,将△BDE 沿直线 DE 翻折,使点 B 落在 B1 处,DB1、EB1 分别交边 AC 于点 F、G.若 ∠ADF=80?,则∠CGE= 【答案】80°。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,等边三角形的性质,相似三角形的判定和性 质。 【分析】由翻折可得∠B1=∠B=60°,∴∠A=∠B1=60°。 ∵∠AFD=∠GFB1,∴△ADF∽△B1GF。∴∠ADF=∠B1GF, ∵∠CGE=∠FGB1,∴∠CGE=∠ADF=80°。 4.(广西贺州 3 分)把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠,使顶点 B 和顶 点 D 重合,折痕为 EF.若 BF=4,FC=2,则∠DEF 的度数是_ 【答案】60?。 【考点】折叠对称,锐角三角函数的应用,特殊角的三角函数,矩形的性质, 平行的性质,平角定义,三角形内角和定理。 【分析】 由折叠对称可知, DF=BF=4, ∠BFE=∠DFE。 Rt△CDF 中, 在 FC=2, DF=4, cos∠DFC = ▲ . ▲ .

1 , 2

∴∠DFC=60?。∴由平角定义得∠DFE=60?。又由矩形得 AD∥BC,∴∠EDF=∠DFC=60?。 ∴由三角形内角和定理可得∠DEF=60?。 5.(广西贵港 2 分)如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部 分是一个四边形 ABCD,若 AD=6cm,∠ABC=60°,则四边形 ABCD 的 面积等于_ ▲ cm .
2

【答案】 18 3 。 【考点】矩形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,特殊角的三角函数。 【分析】如图,作 BE⊥AD,DF⊥AB,垂足分别为点 E、F,由于两长方形 是等宽的, 从而根据 AAS 知△ABE≌△ADF, 得到 AB=AD=6。 由∠ABC=60°, BE⊥AD,得∠ABE=30°,因此 BE=AB·cos∠ABE= 3 3 ,从而四边形 ABCD 的面积等于 AD ·BE= 18 3 。 6.(湖北荆州 4 分)如图,双曲线 y ?

2 ( x >0)经过四边形 OABC 的顶点 A、C, x

∠ABC=90°,OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角,AB∥ x 轴,将△ABC 沿 AC 翻折 后得△AB′C,B′点落在 OA 上,则四边形 OABC 的面积是 【答案】2。 【考点】反比例函数综合题,翻折变换(折叠问题) ,折叠对称的性质,角平 分线的性质,三角形全等的判定和性质,曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】延长 BC,交 x 轴于点 D,设点 C( x , y ) ,AB= a , ∵△ABC 沿 AC 翻折后得△AB′C, ∴∠OB′C=∠AB′C=∠ABC=90°= ∠ODC。 ∵OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角,∴CD=CB′。 又 OC=OC,∴Rt△OCD≌Rt△OCB′(HL) 。 再由翻折的性质得,BC=B′C。 ∵双曲线 y ? ∴S△OCD= ▲ .

2 ( x >0)经过四边形 OABC 的顶点 A、C, x

1 1 x y =1,∴S△OCB′= x y =1。 2 2

∵AB∥ x 轴,∴点 A( x - a ,2 y ) 。∴2 y ( x - a )=2。∴ a y =1。 ∴S△ABC=

1 1 a y= 。 2 2

∴SOABC=S△OCB′+S△ABC+S△ABC=1+

1 1 + =2。 2 2

7.(湖南衡阳 3 分)如图所示,在△ABC 中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 DE,则△ABE 的周长为 【答案】7。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,勾股定理。 【分析】 根据勾股定理求出 BC 的长, 再根据图形翻折变换的性质得出 AE=CE, 从而求出△ABE 的周长: ∵在△ABC 中,∠B=90°,AB=3,AC=5, ∴BC= AC2 ? AB2 ? 52 ? 32 ? 4 。 ∵△ADE 是△CDE 翻折而成, ∴AE=CE,∴AE+BE=BC=4。 ∴△ABE 的周长=AB+BC=3+4=7。 8.(湖南怀化 3 分)如图,∠A=30°,∠C′=60°,△ABC 与△A'B'C'关于直线 l 对称,则∠B= ▲ ▲ .

【答案】90°。 【考点】轴对称的性质,三角形内角和定理。 【分析】∵△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称,∴△ABC≌△A′B′C′, ∴∠C=∠C′=60°,∵∠A=30°,∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-30°-60°=90°。 9.(江苏南通 3 分)如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=2cm,点 E 在 BC 上,且 AE=CE.若将纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好与 AC 上的点 B1 重合,则 AC= 【答案】4。 【考点】矩形的性质,折叠对称的性质,等腰三角形性质,直角三角形性质,30 角直角三 角形的性质。 【分析】由矩形性质知,∠B=90 ,又由折叠知∠BAC=∠EAC。根据等腰三角形等边对等角 的性质, 由 AE=CE 得∠EAC=∠ECA。而根据直角三角形两锐角互余的性质,可以得到∠ECA=30 。 因此根 据 30 角直角三角形中,30 角所对直角边是斜边一半的性质有,Rt?ABC 中 AC=2AB=4。 10. (山东滨州 4 分) 将矩形 ABCD 沿 AE 折叠, 得到如图所示图形. 若∠CED′=56°, 则∠AED 的大小是 ▲ .
0 0 0 0 0



cm.

【答案】62°。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,平角定义。 【分析】易得∠DED′的度数,除以 2 即为所求角的度数:∵∠CED′=56°, ∴∠DED′=180°-∠56°=124°。 又∵∠AED=∠AED′,∴∠AED=

1 ∠DED′=62°。 2

11.(内蒙古包头 3 分)如图,把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中,使 OA,OC 分别落 在 x 轴、y 轴上,连接 AC,将矩形纸片 OABC 沿 AC 折叠,使点 B 落在点 D 的位 置,若 B(1,2) ,则点 D 的横坐标是 【答案】- ▲ .

3 。 5

【考点】翻折变换(折叠问题) ,矩形的性质,平行的判定和性质,折叠对称的 性质,相似三角形的判定和性质,坐标与图形性质。 【分析】过点 D 作 DF⊥OA 于 F,

∵四边形 OABC 是矩形,∴OC∥AB。∴∠ECA=∠CAB。 根据折叠对称的性质得:∠CAB=∠CAD,∠CDA=∠B=90°, ∴∠ECA=∠EAC,∴EC=EA。 ∵B(1,2) ,∴AD=AB=2。 设 OE=x,则 AE=EC=OC-OE=2-x, 在 Rt△AOE 中,AE =OE +OA ,即(2-x) =x +1, 解得:x=
2 2 2 2 2

3 3 5 。∴OE= ,AE= , 4 4 4

∵DF⊥OA,OE⊥OA,∴OE∥DF,∴△AOE∽△AFD。

5 AO AE 4 5 5 ? ? ? 。∴AF= 。 ∴ AF AD 2 8 8
∴OF=AF-OA=

3 3 。∴点 D 的横坐标为:- 。 5 5

12. (内蒙古巴彦淖尔、 赤峰 3 分) 如图, 是△ABC 的中线, AD ∠ADC=60°, BC=6,把△ABC 沿直线 AD 折叠,点 C 落在 C′处,连接 BC′,那么 BC′ 的长为 ▲ .

【答案】3。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,轴对称的性质,平角定义,等边三角形 的判定与性质。 【分析】根据题意:BC=6,D 为 BC 的中点;故 BD=DC=3。 由轴对称的性质可得:∠ADC=∠ADC′=60°, ∴DC=DC′=2,∠BDC′=60°。 故△BDC′为等边三角形,故 BC′=3。 13.(四川广元 5 分)如图,M 为矩形纸片 ABCD 的边 AD 的中点,将 纸片沿 BM、CM 折叠,使点 A 落在 A1 处,点 D 落在 D1 处.若∠A1MD1 =40?,则∠BMC 的度数为 【答案】110°。 【考点】翻折变换(折叠问题) 。 【分析】∵∠A1MD1=40°,∴∠A1MA+∠DMD1=180°﹣40°=140°。 根据折叠的性质,得∠A1MB=AMB,∠D1MC=∠DMC,∴∠BMC=140°× ▲ .

1 +40°=110°。 2

14.(四川绵阳 4 分)如图,将长 8 cm,宽 4 cm 的矩形纸片 ABCD 折叠,使 点 A 与 C 重合,则折痕 EF 的长等于 ▲ cm.

【答案】 2 5 。 【考点】折叠对称的性质,矩形的性质,勾股定理。 【分析】由折叠对称的性质,设 DF=BE= x ,AE=CF=CE= y ,则

?x ? y ? 8 ?x ? 3 ,解得 ? 。 ? 2 2 2 ?y ? 5 ?x ? 4 ? y
过点 F 作 FG⊥AB 于点 G,则 FG=4,GE=5-3=2, ∴EF= 42 ? 22 ? 2 5 。 15.(四川成都 4 分)在三角形纸片 ABC 中,已知∠ABC=90°,AB=6,BC=8.过点 A 作直线 l 平行于 BC,折叠三角形纸片 ABC,使直角顶点 B 落在直线 l 上的 T 处,折痕为 MN.当点 T 在直线 l 上移动时,折痕的端点 M、N 也随之移动.若限定端点 M、N 分别在 AB、BC 边上移 动,则线段 AT 长度的最大值与最小值之和为 【答案】 14 ? 2 7 。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,勾股定理。 【分析】关键在于找到两个极端,即 AT 取最大或最小值时,点 M 或 N 的位置。经实验不难 发现,当点 M 与 A 重合时,AT 取最大值是 6;当点 N 与 C 重合时,此时 AT 取最小值,由勾 股定理得,AT 的最小值为 8 ? 82 ? 62 ? 8 ? 2 7 。所以线段 AT 长度的最大值与最小值之 和为: 6 ? 8 ? 2 7 ? 14 ? 2 7 。 16.(贵州安顺 4 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图 中所示方法将△BCD 沿 BD 折叠,使点 C 落在 AB 边的 C′点,那么△ADC′的面 积是 ▲
2



(计算结果不取近似值) .



【答案】6cm 。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,勾股定理。 【分析】 由已知, 根据勾股定理得到 AB=10cm, 再根据折叠的性质得到 DC=DC′, BC=BC′=6cm, 则 AC′=4cm,在 Rt△ADC′中利用勾股定理得(8﹣DC′) = DC′ +4 ,解得 DC′=3,然后 根据三角形的面积公式计算,得 ∴△ADC′的面积=
2 2 2

1 2 ×4×3=6(cm ) 。 2

17. (浙江金华、 丽水 4 分) 如图, 将一块直角三角板 OAB 放在平面直角坐标系中, (2, , B 0) ∠AOB=60°,点 A 在第一象限,过点 A 的双曲线为 y ?

k .在 x 轴上取一点 P,过点 P 作直 x

线 OA 的垂线 l,以直线 l 为对称轴,线段 OB 经轴对称变换后的像是 O?B?. (1)当点 O?与点 A 重合时,点 P 的坐标是 ▲ ; ▲ .

(2)设 P(t,0) ,当 O?B?与双曲线有交点时,t 的取值范围是 【答案】 (4,0) ,4≤t≤2 5 或﹣2 5 ≤t≤4。

【考点】反比例函数综合题,解二元一次方程组,一元二次方程根的判别式, 解一元一次不等式,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形内角和定理,含 30 度角的直角三角形的性质,勾股定理。 【分析】 (1)当点 O?与点 A 重合时,即点 O 与点 A 重合, ∵∠AOB=60°,过点 P 作直线 OA 的垂线 l,以直线 l 为对称轴, 线段 OB 经轴对称变换后的像是 O?B?。AP′=OP′,∴△AOP′是等边三角形。 ∵B(2,0) ,∴BO=BP′=2。∴点 P 的坐标是(4,0) 。 (2)∵∠AOB=60°,∠P′MO=90°,∴∠MP′O=30°。 ∴OM=

1 t,OO′=t。 2
3 1 1 t,NO′= t。∴O′( t, 2 2 2

过 O′作 O′N⊥ x 轴于 N,∠OO′N=30°,∴ON=

3 t) 。 2
同法可求 B′的坐标是(

t?2 , 2

, 3t ? 2 3 )

设直线 O′B′的解析式是 y ? kx ? b ,将 O′、B′的坐标代入,得

? ?1 3 3 t?2 3 t ?k ? ? tk ? b ? ? ?2 2 2 ,解得: ? 。 ? ?b ? ? 3 t 2 + 3 3 ? t ? 2 k ? b ? 3t ? 2 3 ? ? 2 ? 4 2 ?
∴ y ??

? 3 ? 3 2 3 3 。 ? 2 t ? 2 3?x ? 4 t + 2 ? ? ?

∵∠ABO=90°,∠AOB=60°,OB=2,∴OA=4,AB=2 3 , ∴A(2,2 3 ) ,代入反比例函数的解析式得: k =4 3 , ∴y?

4 3 2 2 , 代入上式整理得: (2 3 t﹣8 3 )x + (﹣ 3 t +6 3 t)x ﹣4 3 =0, x
2 2

△ =(﹣ 3 t +6 3 t) ﹣4(2 3 t﹣8 3 )?(﹣4 3 )≥0,

解得:t≤2 5 或 t≥﹣2 5 。 ∵当点 O?与点 A 重合时,点 P 的坐标是(4,0) 。 ∴4≤t≤2 5 或﹣2 5 ≤t≤4。 18.(重庆江津 4 分)如图,在平面直角坐标系中有一矩形 ABCD,其 中 A(0,0) (8,0) (0,4) ,B ,D ,若将△ABC 沿 AC 所在直线翻折, 点 B 落在点 E 处.则 E 点的坐标是 【答案】 ( ▲ .

24 32 , ) 。 5 5

【考点】翻折变换(折叠问题) ,坐标与图形性质,等腰三角形的判定 和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,解方程。 【分析】连接 BE,与 AC 交于 G,作 EF⊥AB,垂足为 F。 ∵由折叠对称,知 AB=AE,∠BAC=∠EAC, ∴△AEB 是等腰三角形,AG 是 BE 边上的高。 ∴EG=GB,EB=2EG, ∵△ABC∽△AGB,∴

CB AC 。 ? BG AB

∴ BG=

CB ? AB 4?8 5 ? ? 5。 2 2 AC 8 4 ?8

设 E( x , y ) ,则有:AF= x ,BF=8- x ,EF= y ,BE=
2 2 2 2 2 2

5 5 ,AE=8。 4
2 2 2 2

由勾股定理,得 AE =AF +EF ,BE =BF +EF ,两式相减,得 AE -BE = AF -BF 即: 8 -( 三、解答题 1.(贵州遵义 10 分)把一张矩形 ABCD 纸片按如图方式折叠,使点 A 与 点 E 重合,点 C 与点 F 重合(E、F 两点均在 BD 上) ,折痕分别为 BH、DG. (1)求证:△BHE≌△DGF; (2)若 AB=6cm,BC=8cm,求线段 FG 的长. 【答案】解:(1)∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠A=∠C=90 ,AB=CD,∠ABD=∠CDB。 ∵△BHE、△DGF 分别是由△BHA、△DGC 折叠所得
O 2

24 5 32 2 2 2 2 2 2 ,代入 AE =AF +EF ,可得 y ? 。 5 ) = x -(8- x ) ,解得, x ? 5 4 5

∴BE=AB,DF=CD,∠HEB=∠A,∠GFD=∠C,∠HBE=

1 1 ∠ABD, ∠GDF= ∠CDB。 2 2

∴∠HBE=∠GDF,∠HEB=∠GFD,BE=DF。 ∴△BHE≌△DGF(ASA) 。 (2)在 Rt△BCD 中,∵AB=CD=6,BC=8, ∴BD= BC2 +CD2 ? 82 ? 62 ? 10 。 ∴BF=BD-DF=BD-CD=4。 设 FG= x ,则 BG=BC-CG=BC-FG=8- x 。 则有: (8 ? x) 2 ? x 2 ? 4 2 , 解得 x =3。 ∴线段 FG 的长为 3 cm。 【考点】矩形的性质,翻折变换(折叠问题) ,勾股定理。 【分析】 (1)根据矩形和折叠的性质,由 ASA 可得出△BEH≌△DFG。 (2)先根据勾股定理得出 BD 的长,从而得出 BF 的长,由图形翻折变换的性质得 出 CG=FG, 设 FG= x ,则 BG=8- x ,再利用勾股定理即可求出 x 的值。 2.(黑龙江大庆 7 分)如图,ABCD 是一张边 AB 长为 2、边 AD 长为 1 的矩形纸片,沿过点 B 的折痕将 A 角翻折, 使得点 A 落在边 CD 上的点 A1 处, 折痕交边 AD 于点 E. (1)求∠DA1E 的大小; (2)求△A1BE 的面积. 【答案】解: (1)由翻折得 Rt△ABE≌Rt△A1BE, 则在 Rt△A1BE 中,A1B=2,BC=1。 ∴由 sin ?BA1C ?

1 得 ?BA1C ? 300 。 2

又 ?BA1E ? 900 ,∴ ?DA1E ? 600 。 (2)设 AE ? x ,则 ED ? 1 ? x , A1E ? x 在 Rt△A1DE 中, sin ?DA1E ?

1? x 3 ED ? ,即 x 2 A1E

得 x ? 4?2 3 。

在 Rt△A1BE 中, A1E ? 4 ? 2 3, A1B ? AB ? 2 , ∴ S?A1BE ?

1 ? 2 ? (4 ? 2 3) ? 4 ? 2 3 。 2

【考点】翻折变换(折叠问题) ,全等三角形的性质,锐角三角函数,矩形的性质。 【分析】 (1)先根据图形翻折变换的性质得出 Rt△ABE≌Rt△A′BE,再根据直角三角形的

性质可得出∠DA′E 的度数; (2)设 AE ? x ,则 ED ?1 ? x , A E ? x ,在 Rt△A′DE 中,利用 sin ?DA1E ? 1 可求出 x 的值,在根据 Rt△A′BE 中,A1B=AB,利用三角形的面积公式即可求解。 3.(广东省 7 分)如图,直角梯形纸片 ABCD 中,AD//BC,∠A=90?,∠C=30?.折叠纸片使 BC 经过点 D,点 C 落在点 E 处,BF 是折痕,且 BF=CF=8. (1)求∠BDF 的度数; (2)求 AB 的长. 【答案】解: (1)∵BF=CF,∠C=30?,∴∠CBF=∠C=30?。 又∵?BEF 是?BCF 经折叠后得到的, ∴?BEF≌?BCF。∴∠EBF=∠CBF=30?。 又∵∠DFB=∠CBF+∠C=60?,∴∠BDF=180 —∠DFB—∠EBF=90?。 ∴∠BDF 的度数是 90?。 (2)在 Rt?BDF 中,∠DBF=30?,BF=8, ∴ BD ? BF ? cos?DBF ? 8cos300 ? 8 ?
0 0

ED A1E

3 ?4 3。 2

在 Rt?ABD 中,∠ABD=90 —∠EBF—∠CBF=30?, BD ? 4 3 , ∴ AB ? BD ? cos?ABD ? 4 3cos300 ? 4 3 ? ∴AB 的长是 6。 【考点】折叠对称的性质,三角形外角定理,三角形内角和定理,解直角三角形,特殊角三 角函数值。 【分析】 要求∠BDF 的度数, (1) 由三角形内角和定理只要求出∠DFB 和∠DBF 即可, 而∠DFB 和∠DBF 都可以由已知的∠C 和折叠对称以及三角形外角定理求得。 (2)由(1)的结论,解 Rt?BDF 和 Rt?BD 即可求得。 4.(广东深圳 8 分)如图 1,一张矩形纸片 ABCD,其中 AD=8cm, AB=6cm,先沿对角线 BD 折叠,点 C 落在点 C′的位置,BC′交 AD 于点 G. (1)求证:AG=C′G; (2)如图 2,再折叠一次,使点 D 与点 A 重合,得折痕 EN,EN 交 AD 于 M,求 EM 的长. 【答案】解: (1)证明:由对折和图形的对称性可知, CD=C′D,∠C=∠C′=90°。

3 ?6。 2

在矩形 ABCD 中,AB=CD,∠A=∠C=90°, ∴AB=C′D,∠A=∠C′。 在△ABG 和△C’DG 中,∵AB=C′D,∠A=∠C′,∠AGB=∠C′GD , ∴△ABG≌△C′DG(AAS) ∴AG=C′G。 。 (2)如图 2,设 EM=x,AG=y,则有: C′G=y,DG=8-y, DM= 在 Rt△C’DG 中,∠DC′G=90°,C′D=CD=6, 即: y 2 ? 62 ? (8 ? y) 2 。 解得: y ?

1 AD=4 。 2

∴ C?G 2 ? C?D2 ? DG 2 。

7 7 25 。∴C′G= ,DG= 。 4 4 4 4 x DM ME 7 又∵△DME∽△DC′G,∴ , 即: ? , 解得: x ? 。 ? 7 6 DC? C?G 6 4 7 即:EM= 。 6 7 ∴所求的 EM 长为 cm。 6
【考点】轴对称的性质,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的 判定和性质。 【分析】 (1)要证 AG=C′G,只要证明它们是全等三角形的对应边即可。由已知的矩形和轴 对称性易证△ABG≌△C’DG。 (2)考虑 Rt△DME 和 Rt△DC′G。△DC’G 中 DC′(=6)已知,DG=AD(=8)-AG, 而由(1)AG=C′G,从而应用勾股定理可求得 C′G。而△DME 中 DM=DM= Rt△DME∽Rt△DC′G 得到对应边的比相等可求 EM 的长。 5. (四川南充 8 分)如图,点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点,△BCE 沿 BE 折叠为△BFE, 点 F 落在 AD 上. (1)求证:△ABE∽△DFE (2)若 sin∠DFE= ,求 tan∠EBC 的值。 【答案】解: (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=∠D=∠C=90°。 ∵△BCE 沿 BE 折叠为△BFE,∴∠BFE=∠C=90°。∴∠AFB+∠DFE=180°﹣ ∠BFE=90°。 又∠AFB+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DFE。∴△ABE∽△DFE。 (2)在 Rt△DEF 中,sin∠DFE=

1 AD=4,从而由 2

1 3

DE 1 ? , EF 3

∴设 DE=a, EF=3a,则 DF= EF2 ? DE 2 ? ∵△BCE 沿 BE 折叠为△BFE,

?3a ?

2

? a 2 ? 2 2a 。

∴CE=EF=3a,CD=DE+CE=4a,AB=4a,∠EBC=∠EBF, 又由(1)△ABE∽△DFE, ∴

FE DF 2 2a 2 ? ? ? BF AB 4a 2




∴tan∠EBF=

FE 2 ? BF 2



∴tan∠EBC=tan∠EBF=

【考点】翻折变换(折叠问题) ,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形。 【分析】 (1)根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°,△BCE 沿 BE 折叠为△BFE,得出 ∠BFE=∠C=90° , 再 根 据 三 角 形 的 内 角 和 为 180° , 可 知 ∠AFB+∠ABF=90° , 得 出 ∠ABF=∠DFE,即可证明△ABE∽△DFE。 (2)由 sin∠DFE= ,设 DE=a,EF=3a,DF= EF2 ? DE2 ? 2 2a ,可得出 CE=EF=3a, CD=DE+CE=4a , AB=4a , ∠EBC=∠EBF , 由 ( 1 ) 中 △ABE∽△DFE , 可 得 tan∠EBC=tan∠EBF=

1 3

FE 2 ? 。 BF 2

6. 江苏徐州 6 分) ( 如图, 将矩形纸片 ABCD 按如下顺序进行折叠: 对折、 展平, 得折痕 EF(如 图①); 沿 GC 折叠, 使点 B 落在 EF 上的点 B' 处(如图②); 展平, 得折痕 GC(如图③); 沿 GH 折叠, 使点 C 落在 DH 上的点 C' 处(如图④); 沿 GC' 折叠(如图⑤); 展平, 得折痕 GC' 、 GH(如图⑥)。 (1)求图②中∠BCB' 的大小; (2)图⑥中的△GCC' 是正三角形吗?请说明理由.

A

E

D

A G

E B'

D A G

E

D

A G

D A C' H C 图④ G A' B

D A C' H C 图⑤ G B 图⑥

D C' H C

B

F 图①

C

B

F C 图②

B

F C 图③

B

【答案】解: (1)延长 GB?交 CD 于 G?(图②) 。 ∵ EF是AD、BC的中线 ,∴ CD ∥ EF ∥ CD 。∴ GB′ G′′ = B 。 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BCD=∠B=90 。
0

∵△B′CG 是△BCG 折叠所得, ∴∠BCG=∠B′CG,∠CB′G=∠CB′G′=90 。 又∵CB′=CB′,∴△B′CG≌△B′C G′(SAS) 。∴∠B′CG=∠B′CG′。 ∴∠BCG=∠B′CG=∠B′CG′=30 。∴∠BCB'=60 。 (2)图⑥中的△GCC' 是正三角形。 由(1)可知,∠GCC′=60 ,CG=CG′。 ∴△GCC' 是正三角形。 【考点】矩形的性质,折叠对称的性质,平行的性质,全等三角形的性质和判定,正三角形 的判定。 【分析】 (1) 要求∠BCB' 的大小, 考虑到△B′CG 是△BCG 折叠所得, 根据折叠对称的性质, 有∠BCG=∠B′CG,而 延长 GB?交 CD 于 G?得到?B′CG′。由 SAS 易证它与它们也全等。 而∠BCD=90 ,因此∠BCG= ∠B′CG=∠B′CG′=30 ,从而求出∠BCB' =60 。更简单可 根据锐角三角函数定义,由 cos∠B′CF= FC:B′C=FC:BC=1:2 得∠BCB' =60 。 (2)要证△GCC' 是正三角形,由(1)知∠GCG' =60 ,CG=CG′,根据有一个角是 60 的等腰三角形是正方形的判定定理得证。 7.(山东莱芜 9 分)已知:矩形纸片 ABCD,AB=2, BC=3。 操作:将矩形纸片沿 EF 折叠,使点 B 落在边 CD 上。 探究: (1)如图①,若点 B 与 A 重合,你认为△EDA′ 和△FDC 全等吗?如果全等给出证明,如果不全等请说 明理由; (2)如图②,若点 B 与 CD 中点重合,求△FCB′与△B′DG 的周长之比。 【答案】解: (1)全等。证明如下: ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=∠B =∠C =∠ADC= 90 ,AB=CD。 由题意知:∠A=∠A ′,∠B =∠A ′D F=90 ,AB =CD, ∴∠A ′=∠C= 90 ,A ' D =CD。 ∵∠A ′DE+∠EDF=90 , ∠CDF+∠EDF=90 , ∴∠A ′DE=∠CDF。∴△ED A '≌△FDC(ASA) 。 ( 2 ) ∵∠DGB′+∠D B′G=90 , ∠D B′G+∠C B′F=90 ,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

∴∠DGB′=∠C B′F。 又∵∠D∠C= 90 ,∴△ FC B′∽△B′ DG。 设 FC= x ,则 B′F =3- x ,B′C = 在 Rt △B′CF 中 FC +B′C =F B′ , ∴ x +l = ( 3- x )
2 2 2 2 2 2 0

1 DC=1。 2

。∴ x ?

4 。 3

∵△ FC B′∽△B′ DG,∴

C? FC B? FC 4 ? ? 。 C? B? DG B? D 3

【考点】矩形的性质,折叠对称的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定和性质,相 似三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】 (1)由矩形和折叠对称的性质,经过等量代换即可证得。 (2)由证△ FC B′∽△B′ DG 得△FCB′与△B′DG 的周长之比等于对应边的比的 关系,由勾股定理和等量代换表示出△FCB′与△B′DG 的边 FC 与 B′D 即可。 7.(山东威海 11 分)如图,ABCD 是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M,在 CD 上取一点 N,将纸片沿 MN 折叠,使 MB 与 DN 交于点 K,得到△MNK。 C D C D B K A ⑴若∠1=70°,求∠MKN 的度数; ⑵△MNK 的面积能否小于 B A N 1 M

1 ?若能,求出此时∠1 的度数;若不能,试说明理由; 2
C D C

⑶如何折叠能够使△MNK 的面积最大?请你用备用图探究可能出现的情况,求最大值。 D

A

B A 备用图

B

【答案】解: ⑴ ∵四边形 ABCD 是矩形,∴AM∥DN。∴∠KNM=∠1。 ∵∠KMN=∠1,∴∠KNM=∠KMN。 ∵∠1=70°,∴∠KNM=∠KMN=70°。∴∠MKN=40°。

(2)不能。理由如下:过 M 点作 AE⊥DN,垂足为点 E。 则 ME=AD=1。 由⑴知,∠KNM=∠KMN,∴MK=NK。 又∵MK≥ME,ME=AD=1,∴MK≥1。

1 1 NK ? ME ? 。 2 2 1 1 即△MNK 面积的最小值为 ,不可能小于 。 2 2
又∵S△MNK= (3)分两种情况: 情况一:将矩形纸片对折,使点 B 与点 D 重合, 此时点 K 与点 D 也重合。设 NK=MK=MD= x ,则 AM=5- x 。 根据勾股定理,得 1 +(5- x ) = x 。 解之,得 x =2.6。 则 MD=NK=2.6,S△MNK=S△MND=
2 2 2

1? 2.6 ? 1.3 。 2

情况二:将矩形纸片沿对角线对折,此时折痕即为 AC。 设 MK=AK=CK= x ,则 DK=5- x 。 同理可得,MK=AK=CK=2.6, S△MNK=S△ACK=

1? 2.6 ? 1.3 。 2

因此,△MNK 的面积的最大值为 1.3。 【考点】矩形的性质,折叠的性质,平行的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的判定, 点与直线上点的关系,勾股定理。 【分析】⑴由矩形和平行的性质,折叠的性质可得∠KNM=∠KMN=70°,根据三角形内角和 定理,可求得∠MKN 的度数。 (2)考虑△MNK 面积的最小值,即可证明。 (3)分两种情况讨论△MNK 的面积的最大值的情况即可。 8.(湖北十堰 8 分)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 为半径 OB 上一点,过点 C 作 CD⊥AB 交半圆 O 于点 D,将△ACD 沿 AD 折叠 得到△AED,AE 交半圆于点 F,连 接 DF。 (1)求证:DE 是半圆的切线; (2)连接 OD,当 OC=BC 时,判断四边形 ODFA 的形状,并证明你的结

论。 【答案】解: (1)证明:如图,连接 OD,则 OA=OD,∴∠OAD=∠ODA。 ∵△AED 由△ACD 对折得到,∴∠CDA=∠EDA。 又∵CD⊥AB,∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°。 又∵D 在半圆 O 上,∴DE 是半圆的切线。 (2)四边形 ODFA 是菱形。理由如下: 1 1 如图,连接 OF,OC=BC= OB= OD, 2 2 ∴在 Rt△OCD 中,cos∠DOC =

OC 1 ? 。∴∠DOC=60°。 OD 2

∵∠DOC=∠OAD+∠ODA,∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°。 ∴OD//AF,∠FAO=60°。 又∵OF=OA,∴△FAO 是等边三角形。∴OA=AF。∴OD=AF。 ∴四边形 ODFA 是平行四边形。 又∵OA=OD,∴四边形 ODFA 是菱形。 【考点】等腰三角形的性质,切线的判定,菱形的判定,圆周角定理,翻折变换(折叠问题) 的对称性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行的判定和性质,等边三角形和 判定和性质。 【分析】 (1)连接 OD,由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA,由图形翻折变换的性质可 得到∠CDA=∠EDA,再根据 CD⊥AB 即可得出结论。 (2)连接 OF,由垂径定理可得到 OC=BC= 12OB= 12OD,由平行线的判定定理可得出 OD∥AF,从而可得出△FAO 是等边三角形,由等边三角形的性质可判断出四边形 ODFA 是平 行四边形,由 OA=OD 即可得出结论。 9. (甘肃兰州 12 分)已知:如图所示的一张矩形纸片 ABCD(AD>AB) ,将 纸片折叠一次,使点 A 与点 C 重合,再展开,折痕 EF 交 AD 边于点 E,交 BC 边于点 F,分别连接 AF 和 CE. (1)求证:四边形 AFCE 是菱形; (2)若 AE=10cm,△ABF 的面积为 24cm ,求△ABF 的周长; (3)在线段 AC 上是否存在一点 P,使得 2AE =AC?AP?若存在,请说明点 P 的位置,并予以 证明;若不存在,请说明理由. 【答案】解: (1)证明:由折叠可知 OA=OC,EF⊥AO, ∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,∴△AOE≌△COF(AAS) 。
2 2

∴AE=CF,又 AE∥CF,∴四边形 AECF 是平行四边形。 ∵AC⊥EF,∴四边形 AECF 是菱形。 (2)∵四边形 AECF 是菱形,∴AF=AE=10cm, 设 AB=a,BF=b, ∵△ABF 的面积为 24cm ,∴a +b =100,ab=48。∴(a+b) =196。 ∴a+b=14 或 a+b=﹣14(不合题意,舍去) 。 ∴△ABF 的周长为 14+10=24cm。 (3)存在,过点 E 作 AD 的垂线,交 AC 于点 P,点 P 就是符合条件的点。证明 如下: ∵∠AEP=∠AOE=90°,∠EAO=∠EAP, ∴△AOE∽△AEP。∴ ∴AE =AO?AP, ∵四边形 AECF 是菱形,∴AO= ∴AE =
2 2 2 2 2 2

AE AO 。 ? AP AE

1 AC。 2

1 2 AC?AP,∴2AE =AC?AP。 2

【考点】翻折变换(折叠问题) ,折叠的性质,矩形的性质,平行的性质,全等三角形的判 定和性质,菱形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质。 【分析】 (1)通过证明△AOE≌△COF,可得四边形 AFCE 是平行四边形;由折叠的性质,可 得 AE=EC,即可证明。 (2)由勾股定理得 AB +FB =100,△ABF 的面积为 24cm 可得,AB×BF=48;变换成 完全平方式,即可解答。 (3)过点 E 作 AD 的垂线,交 AC 于点 P,通过证明△AOE∽△AEP,即可证明。 10.(辽宁抚顺 14 分) 如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是梯形,BC∥AD,∠BAD +∠CDA=90°,且 tan∠BAD=2,AD 在 x 轴上,点 A 的坐标(-1,0),点 B 在 y 轴的正半 轴上,BC=OB. (1)求过点 A、B、C 的抛物线的解析式; (2)动点 E 从点 B(不包括点 B)出发,沿 BC 运动到点 C 停止,在运动过程中,过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,将四边形 ABEF 沿直线 EF 折叠,得到四边形 A1B1EF,点 A、B 的对应点分别 是点 A1、B1,设四边形 A1B1EF 与梯形 ABCD 重合部分的面积为 S,F 点的坐标是( x ,0). .... ①当点 A1 落在(1)中的抛物线上时,求 S 的值; ②在点 E 运动过程中,求 S 与 x 的函数关系式.
2 2 2

备用图 OB 【答案】解:(1)在△ABO 中∠AOB=90°,tanA= =2, OA ∵点 A 坐标是(-1,0),∴OB=2。∴点 B 的坐标是(0,2)。 又∵BC∥AD,BC=OB,∴点 C 的坐标是(2,2)。 由点 B (0,2)在抛物线上,设抛物线表达式为 y ? ax2 ? bx ? 2 。 ∵点 A(-1,0)和点 C(2,2)在抛物线上,

?a ? b ? 2 ? 0 ∴? ?4a ? 2b ? 2 ? 2

2 ? ?a ? ? 3 ? ,解得 ? 。 ?b ? 4 ? 3 ?

∴过点 A、B、C 的抛物线的解析式为 y ? ? x2 ?

2 3

4 x ? 2。 3

(2)①当点 A1 落在抛物线上,根据抛物线的轴对称性可得 A1 与点 A 关于对称轴 对称。由沿直线 EF 折叠,所以点 E 是 BC 中点,点 E 的坐标为(1,2),点 F 的坐标为(1, 1 1 0),重合部分面积就是梯形 ABEF 的面积。面积为:S= (BE+AF)·EF= (1+2)·2=3。 2 2 ②当 0< x ≤1 时,重合部分面积就梯形 ABEF 的面积,由题得 AF= x +1,BE = x, 1 S=S 梯形 ABEF= (BE+AF)·BO=2 x +1。 2 当 1< x ≤2 时,如图,设 A1B1 交 CD 于点 N,作 MN⊥DF 于点 N,CK⊥AD 于点 K, 重合部分面积就是五边形形 A1NCEF 的面积。 MA1 NM 由△NMA1∽△DMN 得, = , NM MD ∵∠BAO=∠MA1N,tan∠BAO=2, MN 1 ∴tan∠MA1N= =2。∴MA1= MN,MD=2MN。 A1M 2 1 ∵tan∠BAO=2,∠BAO+∠CDK=90°,∴tan∠CDK= 。 2

CK 1 在△DCK 中,∠CKD=90°,CK=OB=2,tan∠CDK= = , DK 2 ∴DK=4,OD=6。 ∵OF= x ,A1F= x +1,∴A1D=OD-OF-A1F=5-2 x ,FD=6- x 。 2 ∴MN= (5-2 x )。 3 1 1 ∴S=S 梯形 DCEF-S△A1ND= (EC+FD)·CK - A1 D·MN 2 2 1 4 2 14 1 2 =8-2 x - (5-2 x ) =- x + x - .。 3 3 3 3

?2x+1? 0<x ? 1? ? 综上所述,S 与 x 的函数关系式为 S= ? 4 。 1 2 14 ?- x + x ? ?1<x ? 2 ? 3 3 ? 3
【考点】 锐角三角函数, 梯形的性质, 待定系数法求抛物线表达式, 点的坐标与方程的关系, 对称的性质,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由已知,应用锐角三角函数和梯形的性质可求出点 A、B、C 的坐标,然后根据 点在抛物线上,点的坐标满足方程的关系,由待定系数法可求抛物线表达式。 (2)分 0< x ≤1 和 1< x ≤2 分别讨论四边形 A1B1EF 与梯形 ABCD 重合部分的面积。 讨论时把有关线段用含 x 的表达式表示即能求出。 11.(黑龙江牡丹江 10 分)如图,将矩形 OABC 放置在平面直角坐标 系中,点 D 在边 OC 上,点 E 在边 OA 上,把矩形沿直线 DE 翻折,使 点 O 落在边 AB 上的点 F 处,且 tan∠BFD=
2

4 .若线段 OA 的长是一元 3

二次方程 x —7 x 一 8=0 的一个根,又 2AB=3OA.请解答下列问题: (1)求点 B、F 的坐标: (2)求直线 ED 的解析式: (3)在直线 ED、FD 上是否存在点 M、N,使以点 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形, 若存在,请直接写出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】解: (1)解 x —7 x 一 8=0 得 x l=8, x 2=-1(舍去).∴OA=8 。 又∵2AB=3OA,∴AB=12。 ∵∠EFD=90 ,∴∠DFB+∠EFA=∠EFA+∠AEF=90 。∴∠AEF=∠DFB。
0 0 2

∵tan∠BFD=tan∠AEF=

AF 4 ? , AE 3

∴设 AF=4k,AE=3k,根据勾股定理得,EF=EO=5k。 又∵AE+EO=AO,即 3k+5k=8,∴k=1。 ∴AE=3,AF=4,EF=EO=5。 ∴点 B 的坐标为(12,8),点 F 的坐标为(4,8)。 (2) 过 D 作 DH⊥AB,设 FH= x , ∴

8 4 =tan∠BFD= ,解得。 x =6, x 3

∴OD=AH=AF+FH= 10,∴D(10,0) 。 设直线 ED 的解析式为 y ? kx ? b , ∵直线 ED 经过 E (0,5),D (10,0)两点,

1 ? ?b ? 5 ?k ? ? ∴? ,解得, ? 2。 ?10k ? b ? 0 ?b ? 5 ?
∴直线 ED 的解析式为 y ? ? x ? 5 。

1 2

? 66 8 ? ? 34 8 ? (3)存在。 M1 ? , ? ? , M 2 ? , ? 。 ? 5 5? ? 5 5?
【考点】一次函数综合题,矩形的性质,翻折变换(折叠问题) ,解一元二次方程,锐角三 角函数,勾股定理,平行四边形的性质,待定系数法,点的坐标与方程的关系。 【分析】 (1)根据题意解方程 x —7 x 一 8=0 求出 OA=8,再根据条件 2 AB=30A 求出 AB=12, 这样就得到 B 点坐标,然后证出∠AEF=∠DFB,从而得到 tan∠AEF= 勾股定理求出即可得到 AF,AE 的长,从而得到 F 点坐标。 (2)首先根据 tan∠BFD=
2

4 ,再根据折叠,利用 3

4 ,求出 D 点坐标,再利用待定系数法,把 E,D 两点坐 3

标代入函数关系式,可得到直线 ED 的解析式。 (3)利用平行四边形对边平行且相等的性质即可得出: 设直线 FD 的解析式为 y ? mx ? n , ∵直线 FD 经过 F (4,8),D (10,0)两点,

4 ? ?m ? ? 3 ? 4m ? n ? 8 ? ∴? ,解得, ? 。 ?10m ? n ? 0 ?n ? 40 ? 3 ?
∴直线 ED 的解析式为 y ? ? x ?

4 3

40 。 3 40 ? 3 y ,y) 。 4

∵直线 ED 的解析式可化为 x =10-2 y ,∴设点 M 的坐标为(10-2 y , y ) 。 ∴根据平行四边形对边平行的的性质,得点 N 的坐标为(

又∵DC=2,∴根据平行四边形对边相等的性质,得 MN= DC=2,即 10-2 y -

8 8 40 ? 3 y 40 ? 3 y =2 或 -(10-2 y )=2,解之得 y ? ? 或y ? 。 5 5 4 4 66 8 34 ;当 y ? 时,10-2 y = 。 5 5 5

当 y ? ? 时,10-2 y =

8 5

? 66 8 ? ? 34 8 ? ∴满足条件的点 M 的坐标为 ? , ? ? 和 ? , ? 。 ? 5 5? ? 5 5?
12.(湖南怀化 10 分)在矩形 AOBC 中,OB=6,OA=4,分別以 OB,OA 所在 直线为 x 轴和 y 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系. 是 BC 上的一个动 F 点(不与 B、C 重合) ,过 F 点的反比例函数 y ? 于点 E. (1)求证:AE?AO=BF?BO; (2)若点 E 的坐标为(2,4) ,求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式; (3)是否存在这样的点 F,使得将△CEF 沿 EF 对折后,C 点恰好落在 OB 上?若存在,求出 此时的 OF 的长:若不存在,请说明理由. 【答案】解: (1)证明:∵E,F 点都在反比例函数图象上, ∴根据反比例函数的性质得出, xy ? k ,∴AE?AO=BF?BO。 (2)设经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c , ∵点 E 的坐标为(2,4) ,∴AE?AO=BF?BO=8。 ∵BO=6,∴BF=

k (k ? 0) 的图象与 AC 边交 x

4 4 ,∴F(6, ) , 3 3

把 O、E、F 三点的坐标分别代入二次函数解析式得:

1 ? ? ?a ? ? 3 ?c ? 0 ? ? 8 ? 。 ?4a ? 2b ? c ? 4 ,解得: ?b ? 3 ? ? 4 ?c ? 0 ?36a ? 6b ? c ? 3 ? ? ?
∴经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? x 。 (3)如果设折叠之后 C 点在 OB 上的对称点为 C', 连接 C'E、C'F,过 E 作 EG 垂直于 OB 于点 G, 则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有: 设 BC'= a ,BF= b ,则 C'F=CF= 4 ? b . ∴点的坐标 F(6, b ) ,E(1.5 b ,4) 。 EC'=EC= 6 ? 1.5b , ∴在 Rt△C'BF 中, a 2 ? b2 ? (4 ? b)2 ①。 ∵Rt△EGC'∽Rt△C'BF, ( 6 ? 1.5b ) 4 ? b ) ∴ : ( =4:a = 6 ? 1.5b ? a ) b ②。 ( :

1 3

8 3

10 , 9 2 754 10 ∴F 点的坐标为(6, ) 。∴OF= 。 9 9
解得: a ? ,b ? 【考点】相似三角形的判定和性质,反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法,曲线上 点的坐标与方程的关系,矩形的性质,翻折变换(折叠问题)的性质,勾股定理。 【分析】 (1)根据反比例函数的性质得出 xy ? k ,即可得出 AE?AO=BF?BO。 (2)利用 E 点坐标首先求出 BF=

8 3

4 ,再利用待定系数法求二次函数解析式即可。 3

(3)设折叠之后 C 点在 OB 上的对称点为 C',连接 C'E、C'F,过 E 作 EG 垂直于 OB 于点 G,则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理得出即可。 13.(江苏苏州 10 分)已知二次函数 y ? a x2 ? 6 x ? 8 ? a ? 0? 的图象与 x 轴分别交于点 A、 B,与 y 轴交于点 C.点 D 是抛物线的顶点. (1)如图①,连接 AC,将△OAC 沿直线 AC 翻折,若点 O 的对应点 O'恰好落在该抛物线 的对称轴 上,求实数 a 的值; (2)如图②,在正方形 EFGH 中,点 E、F 的坐标分别是(4,4)(4,3) 、 ,边 HG 位于边 EF 的右

?

?

侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题:“若点 P 是边 EH 或边 HG 上的任意一点, 则四条线 段 PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成 平行四边 形) .”若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点,刚才的结论是否也成立?请你积极探索,并 写出探索过 程; (3)如图②,当点 P 在抛物线对称轴上时,设点 P 的纵坐标 t 是大于 3 的常数,试问: 是否存在一 个正数 a,使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条 线段能构 成平行四边形)?请说明理由.

【答案】解: (1)由 y ? a x 2 ? 6 x ? 8 , 令 y ? 0 ,解得, x1 ? 2, x2 ? 4 。 令 x ? 0 ,解得, y ? 8a 。 ∴点 A、B、C 的坐标分别为(2,0)(4,0)(0, 8a ) , , 。 ∴该抛物线的对称轴为 x ? 3 。 如图①,设该抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 M,则由 OA=2 得 AM=1。 由题意,得 O'A=OA=2,∴O'A=2AM,∴∠O'AM=60 。 ∴∠OAC=∠CAO'=60 。∴OC= OA ? 3 ? 2 3 ,即 8a ? 2 3 。
0 0

?

?

∴a ?

3 。 4
(2)若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点,结论仍然成立。 ①如图②,若点 P 是边 EF 上的任意一点(不与点 E 重合) ,

连接 PM, ∵点 E(4,4) 、F(4,3)与点 B(4,0)在一直线上,点 C 在 y 轴上, ∴PB<4,PC≥4,∴PC>PB。 又∵PD>PM>PB,PA>PM>PB, ∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD。 ∴此时线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形。 ②设点 P 是边 FG 上的任意一点(不与点 G 重合) , ∵点 F 的坐标是(4,3) ,点 G 的坐标是(5,3) ,∴FG=3,GB= 10 。∴3≤PB < 10 。 ∵PC≥4,∴PC>PB。 又 PD>PM>PB,PA>PM>PB,∴PB≠PA,PB≠PC,PB≠PD。 ∴此时线段 PA、PB、PC、PD 也不能构成平行四边形。 (3)存在一个正数 a,使得线段 PA、PB、PC、PD 能构成一个平行四边形, 如图③,∵点 A、B 是抛物线与 x 轴交点,点 P 在抛物线对称轴上,∴PA=PB。 ∴当 PC=PD 时,线段 PA、PB、PC、PD 能构成一个平行四边形。 ∵点 C 的坐标是(0,8a) ,点 D 的坐标是(3,-a) ,点 P 的坐标是(3, t ) ,
2 2 , ( ∴ PC2 ? 32+(t-8a) PD2 ? t+a) 2 2 ( 由 PC=PD 得 PC =PD ,∴ 32+(t-8a) ? t+a),
2 2

整理得, 7a 2 ? 2ta ? 1 ? 0 ,解得 a ?

t ? t2 ? 7 。 7

显然 a ?

t ? t2 ? 7 满足题意。 7 t ? t2 ? 7 , 7

∴当 t 是一个大于 3 的常数时, 存在一个正数 a ? 使得线段 PA、PB、PC、PD 能构成一个平行四边形。

【考点】二次函数综合题,图形的翻转,含 30 角的直角三角形的性质,平行四边形的判定, 解一元二次方程。 【分析】(1)先利用点在抛物线上,点的坐标满足方程和含 30 角的直角三角形中 30 角所对 的直角边是 斜边一半的性质,求出点 A、B、C 的坐标,再求出 a。 (2)分点 P 在边 EF 或边 FG 上两种情况比较四线段的长短来得出结论。 (3)因为点 A、B 是抛物线与 X 轴的交点,点 P 在抛物线对称轴上,所以 PA=PB。要 PA,PB,PC,PD 构成一个平行四边形的四条边,只要 PC=PD,,从而推出 a。 14.(广东珠海 9 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC, AD=AB=1,BC=2.将点 A 折叠到 CD 边上,记折叠后 A 点对应的点为 P 与 D 点不重合) 折痕 EF 只与边 AD、 相交, (P , BC 交点分别为 E、 过 N F. 点 P 作 PN∥BC 交 AB 于 N、交 EF 于 M,连结 PA、PE、AM,EF 与 PA 相 交于 O. (1)指出四边形 PEAM 的形状(不需证明) ; (2)记∠EPM= ? ,△AOM、△AMN 的面积分别为 S1、S2. ① 求证: B F C A O M P E D
0 0

0

S1 tan

?
2

1 2 = PA . 8

② 设 AN=x, y=

S1 ? S2 tan

?

, 试求出以 x 为自变量的函数 y 的解析式, 并确定 y 的取值范围.

2

【答案】解: (1)四边形 AMPE 为菱形 (2)① 证明:∵四边形 AMPE 为菱形,∠ EPM= ? , 1 ∴∠MAP= ? 2 1 , S1= OA·OM。 2

∵在 Rt△OM 中, tan

?

OM ? = ,∴OM=OA· tan 。 2 OA 2

1 OA·OM S1 2 1 OA 1 2 1 1 2 1 2 ∴ = = OA·OM·· = OA = ·( PA) = PA 。 OM 2 OM 2 2 2 8 ? tan OA 2 ②过 D 作 DH 垂直于 BC 于 H,交 NP 于点 K, 则 DK⊥PN,BH=AB=AD=DH=1,DK=AN= x 。 ∵CH=BC-BH=2-1=1,∴CH=DH。 G

∴∠NPD=∠BCD=45°。 ∴PK=DK= x 。∴PN=1+ x 。 在 Rt△ANP 中,AP =AN +PN = x +(1+ x ) =2 x +2 x +1。 过 E 作 PM 的垂线 EG(垂足为 G) ,令△EGM 的面积为 S。
2 2 2 2 2 2

x S EG 2 ∵△EGM∽△AOM,∴ =( ) = S1 AO 1 4

2

?

AP2

4 x2 4x2 。则 S= S1。 AP 2 AP2

∵四边形 ANGE 的面积等于菱形 AMPE 的面积,∴2S1=S2+S。 ∴S1-S2=S-S1=

4x2 4x2 S1-S1=( -1)S1. AP 2 AP 2

∴ y=

S1 ? S2 tan

?

=(

2

S1 4x2 4x2 1 2 -1)× =( 2 2 -1)×8 PA ? AP AP tan 2



1 1 2 2 2 2 (4 x -AP )= [4 x -(2 x +2 x +1)] 8 8

1 2 1 1 1 1 2 3 ∴ y= x - x- = ( x- ) - 。 4 4 8 4 2 16

? 0 < DP ? 1 , 0 < DK ? ? 而当 x ? 0 时 ,y = ?

2 2 ,即0 < x ? 。 2 2

1 2 2 1 3 ;当 x ? 时 ,y = ? ;当 x ? 时 ,y最小 = ? 。 8 2 8 2 16

1 2 1 1 3 1 ∴ 函数 y 的解析式为 y = x - x - 。 y 的取值范围为 ? ? y < ? 。 4 4 8 16 8 【考点】折叠对称,线段垂直平分线的性质,平行的性质,等腰三角形的判定,菱形的判定 和性质,三角函数,列二次函数关系式,相似三角形的判定和性质,二次函数值。 【分析】 (1)∵根据折叠对称的性质,E,F 是 AP 垂直平分线上的点, ∴AE=EP,AM=MP。∴∠EAP=∠EPA。 又∵PN∥BC∥AD,∴∠EAP= ∠APM。 ∴ ∠EPA = ∠APM。∴ EP= MP,即 AE=EP=AM=MP。 ∴ 四边形 AMPE 为菱形。 (2)① 只要把等式左边用有关以线段表示,再经过等量代换即可证得。 ②把

S1 ? S2 tan

?

用 x(=AN)的代数式表示,然后由 x 的取值范围确定函数值 y

2

的取值范围。

15.(湖北孝感 14 分)如图(1) ,矩形 ABCD 的一边 BC 在直接坐标系中 x 轴上,折叠边 AD, 使点 D 落在 x 轴上点 F 处,折痕为 AE,已知 AB=8,AD=10,并设点 B 坐标为( m , 0 ) ,其中

m>0 .
(1)求点 E、F 的坐标(用含的式子表示)(5 分) ; (2)连接 OA,若△OAF 是等腰三角形,求 m 的值; 分) (4 (3)如图(2) ,设抛物线 y ? a( x ? m ? 6)2 ? h 经过 A、E 两点,其顶点为 M,连接 AM,若 ∠OAM=90°,求 a 、 h 、 m 的值.(5 分)
y A D E O B F C
y A D E O B M C x

图(1) 【 答

图(2)
x

案】解 :

(1)∵四边形

ABCD 是矩形,∴AD=BC=10,AB=DC=8,∠D=∠DCB=∠ABC=90°。 由折叠对称性:AF=AD=10,FE=DE 在 Rt△ABF 中,BF= AF2 ? Ab2 = 102 ? 82 =6,∴FC=4.。 设 EF= x ,则 EC=8- x 在 Rt△ECF 中,4 +(8- x ) = x
2 2 2

解得 x =5。∴CE=8- x =3。

∵B( m ,0) ,∴E( m +10,3) ,F( m +6,0) 。 (2)分 三种情形讨论: 若 AO=AF,∵AB⊥OF ∴OB=BF=6 ∴ m =6 若 OF=AF,则 m +6=10 解得 m =4 若 AO=OF,在 Rt△AOB 中,AO =OB +AB = m +64 ∴( m +6) = m +64 综上所述, m =6 或 4 或
2 2 2 2 2 2

解得 m =

7 。 3

7 。 3

(3)由(1)知 A( m ,8) ,E( m +10,3)

1 ? ?a ? m ? m ? 6 ?2 ? h ? 8 ?a ? ? 依题意 ? 得? 4 。 2 ?a ? m ? 10 ? m ? 6 ? ? h ? 3 ? h ? ?1 ? ?
∴M( m +6,-1)

设对称轴交 AD 于 G, ∴G( m +6,8) 。∴AG=6,GM=8-(-1)=9。 ∵∠OAB+∠BAM=90°, ∠BAM+∠MAG=90°,∴∠OAB=∠MAG。 又∵∠ABO=∠MGA=90°,∴△AOB∽△AMG。 ∴

OB AB m 8 ,即 ? 。∴ m =12 ? MG AG 9 6

【考点】二次函数综合题,矩形的性质,折叠对称的性质,勾股定理,等腰三角形的性质, 曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质。 【分析】 (1)根据四边形 ABCD 是矩形以及由折叠对称性得出 AF=AD=10,EF=DE,从而求出 BF 的长, 即可得出 E,F 点的坐标。 (2)分三种情况讨论:若 AO=AF,OF=FA,AO=OF,利用勾股定理求出即可。 (3)由 E( m +10,3) ,A( m ,8) ,代入二次函数解析式得出 M 点的坐标,再利 用△AOB∽△AMG,求出 m 的值即可。 16. (陕西省 12 分)如图①,在矩形 ABCD 中,将矩形折叠,使 B 落在边 AD(含端点)上, 落点记为 E,这时折痕与边 BC 或者边 CD(含端点)交于 F,然后展开铺平,则以 B、E、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形 ABCD 的“折痕三角形” (1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形 ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个 角形 (2)如图②、在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4, ,当它的“折痕△BEF”的顶点 E 位于 AD 的中 点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点 F 的坐标; (3)如图③,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”? 若存在,说明理由,并求出此时点 E 的坐标?若不存在,为什么? 三

图① 【答案】解: (1)等腰。

图②

图③

图④

(2)如图①,连接 BE,画 BE 的中垂线交 BC 与点 F,连接 EF,△BEF 是矩形 ABCD 的一个折痕三角形. ∵折痕垂直平分 BE,AB=AE=2, ∴点 A 在 BE 的中垂线上,即折痕经过点 A。

∴四边形 ABFE 为正方形。∴BF=AB=2。∴F(2,0) 。 (3)矩形 ABCD 存在面积最大的折痕三角形 BEF,其面积为 4,理由如下: ①当 F 在边 BC 上时,如图②所示, S△BEF≤

1 S 矩形 ABCD,即当 F 与 C 重合时,面积最大为 4。 2

②当 F 在边 CD 上时,如图③所示, 过 F 作 FH∥BC 交 AB 于点 H,交 BE 于 K, ∵S△EKF= S△BKF=

1 1 1 KF?AH≤ HF?AH= S 矩形 AHFD, 2 2 2 1 1 1 KF?BH≤ HF?BH= S 矩形 BCFH, 2 2 2 1 S 矩形 ABCD=4。 2

∴S△BEF≤

即当 F 为 CD 中点时,△BEF 面积最大为 4。 下面求面积最大时,点 E 的坐标。 ①当 F 与点 C 重合时,如图④所示。 由折叠可知 CE=CB=4, 在 Rt△CDE 中,ED= CD2 ? CE2 ? 42 ? 22 ? 2 3 。 ∴AE=4- 2 3 。∴E(4- 2 3 ,2) 。 ②当 F 在边 DC 的中点时,点 E 与点 A 重合,如图⑤所示. 此时 E(0,2) . 综上所述, 折痕△BEF 的最大面积为 4 时, E 的坐标为 E 点 (0, 或 E 4- 2 3 , 2) ( 2) 。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,矩形的判定和性质,正方形的判定和性质,线段垂直平分 线的性质,勾股定理。 【分析】 (1)由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答。 (2)由折叠性质可知,折痕垂直平分 BE,求出 AB、AE 的长,判断出四边形 ABFE 为正方形,求得 F 点坐标。 (3)矩形 ABCD 存在面积最大的折痕三角形 BEF,其面积为 4。 ①当 F 在边 CD 上时,S△BEF≤ S 矩形 ABCD,即当 F 与 C 重合时,面积最大为 4; ②当 F 在边 CD 上时,过 F 作 FH∥BC 交 AB 于点 H,交 BE 于 K,再根据三角形的面 积公式即可求解。

再根据此两种情况利用勾股定理即可求出 AE 的长,从而求出 E 点坐标。 17.(宁夏自治区 10 分)在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6.动点 M、N 分 别在两腰 AB、AC 上(M 不与 A、B 重合,N 不与 A、C 重合) ,且 MN∥BC.将 △AMN 沿 MN 所在的直线折叠,使点 A 的对应点为 P. (1)当 MN 为何值时,点 P 恰好落在 BC 上? (2)当 MN=x,△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为 y,试写出 y 与 x 的 函数关系式.当 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少? 【答案】解: (1)连接 AP,交 MN 于 O, ∵将△AMN 沿 MN 所在的直线折叠,使点 A 的对应点为 P, ∴OA=OP,AP⊥MN,AN=PN,AM=PM。 ∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC,AO⊥MN。 ∴

MN AO 1 ? ? 。 BC AP 2

∵BC=6,∴MN=3。 ∴当 MN=3 时,点 P 恰好落在 BC 上。 (2)当 AO≤

1 AD 时,过点 A 作 AD⊥BC 于 D,交 MN 于 O, 2

∵MN∥BC,∴AO⊥MN,∴△AMN∽△ABC。 ∴

MN AO 。 ? BC AD

∵AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC, ∴∠ADB=90°,BD= ∴

1 BC=3,∴AD= 52 ? 32 ? 4 。 2

x AO 2 1 1 2 1 2 。∴AO= x。∴S△AMN= MN?AO= ?x? x= x , ? 2 2 6 4 3 3 3

根据题意得:S△PMN=S△AMN, ∴△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为 S△AMN, ∴y= x (0<x≤3) 。 ∵对于 y= x (0<x≤3) ,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大, ∴当 AO= 当 AO>

1 3

2

1 3

2

1 1 AD 时,即 x= BC=3 时,y 最大,最大值为 3。 2 2

1 AD 时,连接 AP 交 MN 于 O,交 BC 于 D,MP 与 2

BC 的交点为 E,NP 与 BC 的交点为 F。

则 AO⊥MN。 ∵MN∥BC, ∴AP⊥BC,△AMN∽△ABC,△PEF∽△PMN∽△AMN。 ∴

AO MN AO x EF PD EF PD , ,即: 。 ? ? ? , ? AD BC 4 6 x AO MN PO
2 2? x ? 4 3 ,∴EF=2x-6。 2 x 3

EF EF 2AO ? AD 2 ? ∴AO= x, ,∴ ? x x AO 3

∴OD=AD-AO=4-

2 x, 3
1 2 2 ×(2x-6+x)×(4- x)=-x +8 x-12。 2 3
2

∴S 梯形 MNFE= (EF+MN)?OD=
2

∴y=-x +8 x-12(3<x<6) ∵y=-x +8 x-12=-(x-4) +4, ∴当 x=4 时,y 有最大值,最大值为 4。
2

?1 2 ? x(0<x ? 3 ) 综上所述:y 与 x 的函数关系式为 y= ? 3 , ?-x 2+8x-12 (3 <x <6 ) ?
且当 x=4 时,y 的值最大,最大值是 4。 【考点】翻折变换(折叠问题) ,二次函数的最值,等腰三角形的性质,相似三角形的判定 和性质。 【分析】 (1)首先连接 AP,交 MN 于 O,由 MN∥BC.将△AMN 沿 MN 所在的直线折叠,使点 A 的对应点为 P,即可得△AMN∽△ABC, 落在 BC 上。 (2)分为 AO≤

MN AO 1 ? ? ,则可求得当 MN 为何值时,点 P 恰好 BC AP 2

1 1 AD 和 AO> AD 两种情况分析,由△AMN∽△ABC,求得各线段的长, 2 2

然后求△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积,即可得关于 x 的二次函数, 根据二次函数求最值的方法,即可求得答案。 18.(辽宁辽阳 14 分)如图,已知 Rt△ABO,∠BAO=90°,以点 O 为坐 标原点, 所在直线为 y 轴, OA 建立平面直角坐标系, AO=3, ∠AOB=30°, 将 Rt△ABO 沿 OB 翻折后,点 A 落在第一象限内的点 D 处. (1)求 D 点坐标; (2)若抛物线 y=ax +bx+3(a ≠0)经过 B、D 两点,求此抛物线的表达式;
2

(3)若抛物线的顶点为 E,它的对称轴与 OB 交于点 F,点 P 为射线 OB 上一动点,过点 P 作 y 轴的平行线,交抛物线于点 M.是否存在点 P,使得以 E、F、M、P 为顶点的四边形为等腰梯形?若存在,请求出所有符合条件的点 P 的 坐标; 若不存在, 请说明理由. 参考公式: 抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)
2

? b 4ac-b ?. 的顶点坐标是?- , ? 4a ? ? 2a
【答案】解:(1) 如图,过点 D 作 DC⊥x 轴于点 C, 由翻折可知:DO=AO=3,∠AOB=∠BOD=30°, ∴∠DOC=30°。 在 Rt△COD 中,OC=OD·cos30°=3× 1 3 CD=OD·sin30°=3× = , 2 2 ∴D? 3 3 3 = , 2 2

2

?3 3 3? , ?。 ? 2 2?
3 = 3,∴B( 3,3)。 3

(2)在 Rt△AOB 中,AB=AO·tan30°=3×

∵抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)经过 B( 3,3),D?
2

?3 3 3? , ?两点, ? 2 2?

?3a+ 3b+3=3, ? ∴ ?27 3 3 3 ? 4 a+ 2 b+3=2 ?

?a=-2, ? 3 解得? 2 3 ?b= 3 . ?

2 2 2 3 ∴此抛物线表达式为 y=- x + x+3。 3 3 (3)存在符合条件的点 P,设 P(x,y),如图,作 EH⊥PM 于点 H,FG⊥PM 于点 G。 2 2 2 3 ∵E 为抛物线 y=- x + x+3 的顶点, 3 3 ∴E?

? 3 7? , ?。 ? 2 2?

设 OB 所在直线的表达式为 y=kx, 将点 B( 3,3)代入,得 k= 3。

∴OB 所在直线的表达式为 y= 3x。 ∵P 在射线 OB 上,∴P(x, 3x),F?

? 3 3? , ?。 ? 2 2?

? 7? ? 3? 则 H?x, ?,G?x, ?。 ? 2? ? 2?
2 2 3 ? ? ∵M 在抛物线上,∴M?x,- x2+ x+3?。 3 3 ? ? 7 3 ? 2 2 3 ? 要使四边形 EFMP 为等腰梯形, 只需 PH=GM: 3x- = -?- x2+ x+3?, 2 2 ? 3 3 ? 2 2 2 3 3 即- x + x+3+ 3x=5,解得 x1=2 3,x2= 。 3 3 2 ∴P1 点坐标为(2 3,6),P2 点坐标为?

? 3 3? , ?。 ? 2 2?

【考点】二次函数综合题,翻折对称的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,待 定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,抛物线的顶点坐标,等腰梯形的判定和性质。 【分析】(1)由翻折对称的性质,可得 DO=AO=3,∠AOB=∠BOD=30°,从而在 Rt△COD 中,∠DOC=30°。因此由锐角三角函数可求出 OC 和 CD 而得到 D 点坐标。 (2)由锐角三角函数求出 AB,得到 B 点的坐标,从而由抛物线)经过 B,D 两点,根 据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线的表达式。 (3)设 P(x,y),作 EH⊥PM 于点 H,FG⊥PM 于点 G。要使四边形 EFMP 为等腰梯形, 只需 PH=GM 即可。故把 PH 和 GM 用 x 的表达式来表示即可求出 P 点的坐标。 19.(贵州六盘水 16 分)如图 10 所示,Rt△ABC 是一张放在平面直 角坐标系中的纸片,点 C 与原点 O 重合,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 B 在 y 轴的正半轴上,已知 OA=3,OB=4。将纸片的直角部分翻折, 使点 C 落在 AB 边上,记为 D 点,AE 为折痕,E 在 y 轴上。 (1)在图 10 所示的直角坐标系中,求 E 点的坐标及 AE 的长。 (2)线段 AD 上有一动点 P(不与 A、D 重合)自 A 点沿 AD 方向以 .. 每秒 1 个单位长度向 D 点作匀速运动,设运动时间为 t 秒(0<t<3) , 过 P 点作 PM∥DE 交 AE 于 M 点,过点 M 作 MN∥AD 交 DE 于 N 点,求四 边形 PMND 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系式,当 t 取何值时,S 有最大值?最大值是多 少? (3)当 t(0<t<3)为何值时,A、D、M 三点构成等腰三角形?并求出点 M 的坐标。

【答案】解(1)由题意,根据翻折对称的性质得△AOE≌△ADE, ∴OE=DE,∠ADE=∠AOE=90 ,AD=AO=3 在 Rt△AOB 中,AB= 32 ? 42 ? 5 。设 DE=OE=x, 在 Rt△BED 中,BD +DE =BE ,即 2 +x =(4-x) , 解得 x ?
2 2 2 2 2 2 0

3 3 。 ∴E(0, ) 。 2 2
2 2

3 5 ?3? 在 Rt△AOE 中,AE= 3 ? ? ? ? 。 2 ?2?
(2)∵PM∥DE,MN∥AD,且∠ADE=90 ,∴四边形 PMND 是矩形。 ∵AP=t×1=t,∴PD=3-t。 ∵△AMP∽△AED,∴ ∴ S矩形PMND
0

AP t 3 t PM AP 。∴PM= ? ? DE= ? ? 。 AD 3 2 2 DE AD t 1 3 ? PM ? PD= ? ? 3 ? t ? ? ? t 2 ? t 。 2 2 2

1 3 1? 3? 9 又∵ S矩形PMND ? ? t 2 ? t= ? ? t ? ? ? , 2 2 2? 2? 8
∴当 t ?

3 9 时, S最大 ? 。 2 8

(3)△ADM 为等腰三角形有以下二种情况: ①当 MD=MA 时,点 P 是 AD 中点,

AD 3 3 3 。 ? ,∴ t ? ? 1 ? (秒) 2 2 2 2 3 ∴当 t ? 时,A、D、M 三点构成等腰三角形。 2
∵AP= 过点 M 作 MF⊥OA 于 F, ∵△APM≌△AFM(ASA) ,

3 t 3 ,MF=MP= ? 。 2 2 4 3 3 3 3 ∴OF=OA-AF=3- ? 。∴M( , ) 。 2 4 2 2
∴AF=AP= ②当 AD=AM=3 时,△AMP∽△AED, ∴

6 5 6 5 6 5 AP 3 AP AM ?1 ? 。∴ 。∴ AP= 。∴ t ? (秒) 。 ? ? 5 5 5 3 AD AE 3 5 2

∴当 t ?

6 5 秒时,A、D、M 三点构成等腰三角形。 5

过点 M 作 MF⊥OA 于 F,∵△AMF≌△AMP(ASA) , ∴AF=AP=

6 5 t 3 5 ,FM=PM= ? 。 2 5 5
6 3 6 5 5, 5) 。∴M( 3 ? 。 5 5 5

∴OF=OA-AF=3-

综上所述,当 t ?

3 3 6 5 3 时,A、D、M 三点构成等腰三角形,M( , ) ;当 t ? 5 2 4 2

秒时,A、D、M 三点构成等腰三角形,M( 3 ?

6 3 5, 5) 。 5 5

【考点】翻折对称的性质, 全等三角形的性质, 勾股定理, 矩形的判定和性质, 平行的性质, 相似三角形的判定和性质,二次函数的最值,等腰三角形的判定。 【分析】 (1)由折叠可知△AOE≌△ADE,根据全等三角形的对应边相等,以及对应角相等得 到 OE=ED,∠ADE=∠AOE=90°,AD=AO=3,根据勾股定理求出 AB 的长,设出 ED=OE=x,在直 角三角形 BED 中,根据勾股定理列出关于 x 的方程,求出方程的解得到 x 的值,从而写出点 E 的坐标,再在直角三角形 AOE 中,根据勾股定理求出 AE 的长即可。 (2)根据两组对边互相平行得到四边形 MNDP 为平行四边形,又∠ADE 为直角,所以 MNDP 为矩形,根据题意表示出 AP 的长,从而得到 PD 的长,又由平行得到两对同位角相等, 从而得到△AMP∽△AED, 根据相似三角形对应边成比例得到比例式, 将各自的值代入表示出 PM 的长,由矩形的面积公式长乘以宽和表示出的长 DP 与宽 PM,表示出矩形的面积,得到面 积与 t 成二次函数关系, 利用二次函数求最值的方法求出面积 S 的最大值及取得最大值时 t 的值即可。 (3)根据题意分 MD=MA 和 AD=AM 两种情况满足△ADM 为等腰三角形,①当 MD=MA 时, P 为 AD 中点, AD 求出 AP, 由 进而根据速度求出此时 t 的值, 此时三角形 AMD 为等腰三角形, 过 M 作 MF 垂直于 x 轴,根据“ASA”得到△APM≌△AFM,求出 MF=MP,即为 M 的纵坐标,求 出 FA,从而求出 OF 的长,即为 M 的横坐标;②当 AD=AM=3 时,由平行的两对同位角相等, 得到△AMP∽△AED,根据相似三角形对应边成比例得到比例式,求出 AP 的长,由速度求出 此时 t 的值,此时三角形 AMD 为等腰三角形,过 M 作 MF 垂直于 x 轴,根据“ASA”得到 △APM≌△AFM,同理可得 M 的坐标。 20.(福建漳州 14 分)如图 1, 抛物线 y=mx -11mx+24m (m<0) 与 x 轴交于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧) ,抛物线另有一点 A 在第一象限内,且∠BAC=90°. (1)填空:OB=_ ▲ ,OC=_ ▲ ;
2

(2)连接 OA,将△OAC 沿 x 轴翻折后得△ODC,当四边形 OACD 是菱形时,求此时抛物线的 解析式; (3)如图 2,设垂直于 x 轴的直线 l:x=n 与(2)中所求的抛物线交于点 M,与 CD 交于点 N,若直 线 l 沿 x 轴方向左右平移,且交点 M 始终位于抛物线上 A、C 两点之间时,试探究:当 n 为 何值时, 四边形 AMCN 的面积取得最大值,并求出这个最大值.

【答案】解: (1)OB=3,OC=8。 (2)连接 AD,交 OC 于点 E, ∵四边形 OACD 是菱形, 1 ∴AD⊥OC,OE=EC= ×8=4。∴BE=4-3=1。 2 又∵∠BAC=90°,∴△ACE∽△BAE。 ∴ AE CE 2 = 。∴AE =BE·CE=1×4=4。∴AE=2。∴点 A 的坐标为 (4,2) 。 BE AE

1 2 把点 A 的坐标 (4,2)代入抛物线 y=mx -11mx+24m,得 m=- 。 2 1 2 11 ∴抛物线的解析式为 y=- x + x-12。 2 2 (3)∵直线 x=n 与抛物线交于点 M, 1 2 11 ∴点 M 的坐标为 (n,- n + n-12) 。 2 2 由(2)知,点 D 的坐标为(4,-2) , 1 则由 C、D 两点的坐标求直线 CD 的解析式为 y= x-4。 2 1 ∴点 N 的坐标为 (n, n-4)。 2 1 2 11 1 1 2 ∴MN=(- n + n-12)-( n-4)=- n +5n-8。 2 2 2 2 1 1 1 2 2 ∴S 四边形 AMCN=S△AMN+S△CMN= MN·CE= (- n +5n-8)×4=-(n-5) +9 。 2 2 2

∴当 n=5 时,S 四边形 AMCN=9。 【考点】二次函数综合题,解一元二次方程,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系, 菱形的性质,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值。 【分析】 (1)根据二次函数与 x 轴交点坐标求法,由 mx -11mx+24m =0(m<0),解一元二 次方程即可得出。 (2)利用菱形性质得出 AD⊥OC,从而得出△ACE∽△BAE,即可得出 A 点坐标,从 而求出二次函数解析式。 (3)用待定系数法求出过 C、D 两点的坐标的直线 CD 的解析式,从而由 S
AMCN 四边形 2

=S△AMN+S△CMN 利用二次函数的最值求出即可。

21.(福建龙岩 14 分)如图,在直角梯形 ABCD 中, ∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,点 E 是 CD 上 的一个动点(E 不与 D 重合),过点 E 作 EF∥AC,交 AD 于 点 F(当 E 运动到 C 时,EF 与 AC 重合).把△DEF 沿 EF 对折, D 的对应点是点 G, DE=x, 点 设 △GEF 与梯形 ABCD 重叠部分的面积为 y。 (1) 求 CD 的长及∠1 的度数; (2) 若点 G 恰好在 BC 上,求此时 x 的值; (3) 求 y 与 x 之间的函数关系式。并求 x 为何值时,y 的值最大?最大值是多少? 【答案】解: (1)过点 A 作 AM⊥BC 于 M, ∵∠B=60°,AB=6 ∴BM=AB?cos∠B=6×

1 =3, 2 3 AM=AB?sin∠B=6× =3 3 。 2

∵∠D=∠BCD=90°,∴四边形 AMCD 是矩形。∴CD=AM=3 3 。 ∵AD=9,∴tan∠DAC=

CD 3 3 3 ? ? 。∴∠DAC=30°。 AD 9 3

∵EF∥AC,∴∠1=∠DAC=30°。 ∴CD=3 3 ,∠1=30°。 (2)若点 G 恰好在 BC 上,则有 GE=DE=x,EC=3 3 -x 。 ∵∠1=30°,∴∠FED=60°。∴∠GEF=60°。∴∠GEC=60°。

∴GE=2CE,即 x=2(3 3 -x) ,解得 x=2 3 。 (3)∵△EFG≌△EFD,

1 1 3 2 x 。 ∴S△EFG=S△EFD= ? DE ? DF= ? x ? 3x ? 2 2 2
①当 0<x≤2 3 时,随着 x 的增大,S△EFG 增大,此时 S△EFG 就是重叠的面积, 即 y=S△EFG=

3 2 x 。当 x= 2 3 时,y 达到最大值,为 6 3 。 2
②当 x>2 3 时,△EFG 就有一部分在梯形外,如图。 ∵GE=DE=x,EC=3 3 -x, ∴ME=2(3 3 -x) 。 ∴GM=GE-ME= x- 2(3 3 -x)=3 x-6 3 。

∴NG=

3x-6 3 3

? 3x ? 6 。

1 1 ∴S△MNG = ? NG ? MG= 2 2
此时 y= S△EFG-S△MNG =

?

3x ? 6 3x ? 6 3 ?

??

?

3 2

?

3x ? 6 。

?

2

3 2 3 x - 2 2

?

3x ? 6

?

2

? ? 3 x ?3 3

?

?

2

?9 3 。

∴当 x= 3 3 时,y 最大值= 9 3 。

? 3 2 ? x 0<x ? 2 3 ? 综上所述,y 与 x 之间的函数关系式为 y= ? 2 ; ?? 3 x ? 3 3 2 ? 9 3 x >2 3 ? ?

?

?

?

?

?

?

当 x= 3 3 时,y 最大值= 9 3 。 【考点】直角梯形的性质,二次函数的最值,全等三角形的判定和性质,翻折变换(折叠问 题) ,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行的性质,矩形的判定和性质,勾股定 理。 【分析】 (1)将 AB 平移,使点 A 与点 D 重合,利用勾股定理,则可得出 CD 的长度,根据 CD 与 AD 的长度关系可得出∠DAC 的度数,也就得出了∠1 的度数。 (2)根据点 G 落在 BC 上时,有 GE=DE=x,EC=3 3 -x ,求出∠GEF=∠GEC=60°, 然后根据 GE=2CE 列出方程即可得出 x 的值。

(3)根据△EFG≌△EFD 列出 y 的表达式,从而讨论 x 的范围,分别得出可能的值 即可。 22.(福建宁德 13 分)直线 y ? x ? 6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,点 E 从 B 点,出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 BO 向 O 点移动(与 B、O 点 不重合) ,过 E 作 EF∥AB,交 x 轴于 F.将四边形 ABEF 沿 EF 折叠,得到四 边形 DCEF,设点 E 的运动时间为 t 秒. ⑴①直线 y ? x ? 6 与坐标轴交点坐标是 A(___,___) ,B(___,___) ; ②画出 t=2 时,四边形 ABEF 沿 EF 折叠后的图形(不写画法) ; ⑵若 CD 交 y 轴于 H 点,求证:四边形 DHEF 为平行四边形;并求 t 为何值时,四边形 DHEF 为菱形(计算结果不需化简) ; ⑶设四边形 DCEF 落在第一象限内的图形面积为 S, S 关于 t 的函数表达式, 求 并求出 S 的最 大值. 【答案】解:⑴① 6,0;0,-6。 ②如图,四边形 DCEF 即为四边形 ABEF 沿 EF 折叠后的图形:

⑵∵四边形 DCEF 与四边形 ABEF 关于直线 EF 对称, 又 AB∥EF,∴CD∥EF。 ∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠BAO=45°。 ∵AB∥EF,∴∠AFE=135°。∴∠DFE=∠AFE=135°。 ∴∠AFD=360°-2×135°=90°,即 DF⊥x 轴。∴DF∥EH。 ∴四边形 DHEF 为平行四边形。 要使□DHEF 为菱形,只需 EF=DF。 ∵AB∥EF,∠FAB=∠EBA,∴FA=EB。 ∴DF=FA=EB= t 。

又∵OE=OF=6- t ,∴EF= 2 ?6 ? t ?。∴ 2 ?6 ? t ? = t 。∴ t ?

6 2 。 1? 2

∴当 t ?

6 2 时, ? DHEF 为菱形。 1? 2

⑶分两种情况讨论: ①当 0< t ≤3 时,四边形 DCEF 落在第一象限内的图形是△DFG,

1 2 t 。 2 1 2 ∵S= t ,在 t >0 时,S 随 t 增大而增大, 2 9 ∴t=3 时,S 最大= 。 2
∴S= ②当 3< t <6 时, 四边形 DCEF 落在第一象限内的图形是四边形 DHOF。 ∴S 四边形 DHOF=S△DGF—S△HGO。

1 2 1 3 3 2 2 t ? ?2t ? 6 ? = ? t 2 ? 12t ? 18 = ? ?t ? 4 ? ? 6 。 2 2 2 2 3 ∵ a = ? <0,∴S 有最大值。 2
∴S= ∴当 t =4 时,S 最大=6.。 综上所述,当 S=4 时,S 最大值为 6。 【考点】一次函数综合题,直线上点的坐标与方程的关系,轴对称的性质,平行的性质,三 角形内角和定理,平行四边形的判定,菱形的性质,动点问题,二次函数的最值。 【分析】 (1)①在 y ? x ? 6 令 x ? 0 ,得 y ? ?6 ;令 y ? 0 x ? 0 ,得 x ? 6 。 ∴直线 y ? x ? 6 与坐标轴交点坐标是 A(6,0) ,B(0,-6) 。 ②作点 A、B 关于 EF 的对称点 D、C,连接 DC,AD,CB,四边形 DCEF 即为四边 形 ABEF 沿 EF 折叠后的图形。 (2)由轴对称和平行的性质,得到 DF∥EH 即可证得四边形 DHEF 为平行四边形。 要使其为菱形,只要邻边相等,在此条件下求出 t 的值即可。 (3)分 0< t ≤3 和 3< t <6 两种情况讨论,利用二次函数的最值即可求解。


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