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江苏省常州市2015届高三第一学期期末考试(一模) 数学试卷 含答案


江苏省常州市 2015 届高三第一学期期末调研测试 数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 设集合 A ? ??1,0,1? , B ? ?0,1, 2,3? ,则 A 2. 设复数 z ?
B=

▲ .

开始

>
m ? 3i ( m ? 0 ,i 为虚数单位) ,若 z ? z ,则 m 的值为 ▲ . 1 ? mi

a ←1 a ← 2a +1 a > 64
Y N

3. 已知双曲线 ax2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为 3 ,则实数 a 的值为 ▲ . 4. 函数 f ( x) ? log2 x ? 6 的定义域为 ▲ .
2

?

?

x? x x? 5. 函数 f ( x) ? cos ? sin ? 3 cos ? 的最小正周期为 ▲ . 2? 2 2?

输出a
结束

6. 右图是一个算法流程图,则输出的 a 的值是 ▲ .

(第 6 题)

7. 现有 5 道试题,其中甲类试题 2 道,乙类试题 3 道,现从中随机取 2 道试题,则至少有 1 道试题是乙 类试题的概率为 ▲ .
?2 x ? y ≤ 2, ? 8. 若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ▲ . ? x ? y ≥ 1, ?
?p p ? 9. 曲线 y ? x ? cos x 在点 ? , ? 处的切线方程为 ▲ . ?2 2?

10.已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 ? x ? ? ?1, 2? ? ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为

▲ .

11.已知向量 a ? ?1,1? , b ? ? ?1,1? ,设向量 c 满足 ? 2a ? c ? ? ? 3b ? c ? ? 0 ,则 c 的最大值为 ▲ .

3 12.设等比数列 ?an ? 的公比为 q ( 0 ? q ? 1 ) ,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 4a3 a4 ,且 a 6 与 a4 的等差中项为 a 5 , 4
则 S6 ? ▲ .

13.若不等式 x2 ? 2 y 2≤cx( y ? x) 对任意满足 x ? y ? 0 的实数 x, y 恒成立,则实数 c 的最大值为 ▲ . 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O1 ,圆 O2 均与 x 轴相切且圆心 O1 , O2 与原点 O 共线, O1 , O2 两 点的横坐标之积为 6,设圆 O1 与圆 O2 相交于 P , Q 两点,直线 l : 2 x ? y ? 8 ? 0 ,则点 P 与直线 l 上 任意一点 M 之间的距离的最小值为 ▲ .
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二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知
b 2 3 ? , A ? 3C ? p . c 3

(1)求 cos C 的值; (2)求 sin B 的值; (3)若 b ? 3 3 ,求△ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, 平面 PBD ⊥平面 ABCD, PB=PD, PA ⊥ PC , CD ⊥ PC , O , M 分 别是 BD , PC 的中点,连结 OM .求证: (1) OM ∥平面 PAD ; (2) OM ⊥平面 PCD .
A O B C M D P

(第 16 题) 17. (本小题满分 14 分) 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为 900m2 的矩形 温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔 1m,三块矩 形区域的前、 后与内墙各保留 1m 宽的通道, 左、 右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽 的通道,如图.设矩形温室的室内长为 x (m) ,三块种植植物的矩形区域的总面积 为 S (m2) . ... (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)求 S 的最大值.

1
3

1

1
1

3

x
(?第17题?)
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18. (本小题满分 16 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y中 , 已 知 椭 圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 离 心 率 e ? , 直 线 2 2 a b

C 的右焦点 F ,且交椭圆 C 于 A , B 两点. l : x? m y ? 1 ? 0 ( m? R 过椭圆 )

(1)求椭圆 C 的标准方程;

5 (2)已知点 D( ,0) ,连结 BD ,过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1 ,设直线 l1 与直线 BD 交于点 P ,试探 2
索当 m 变化时,是否存在一条定直线 l2 ,使得点 P 恒在直线 l2 上?若存在,请求出直线 l2 的方程; 若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 16 分)
? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? * 已知数列 {an } ( n ? N , 1 ≤ n ≤ 46 )满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, 其中 d ? 0 , n ? N* . ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, ?d

(1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; (2)设集合 M ? {b | b ? ai ? a j ? ak ,i , j , k ? N?,1 ≤i ? j ? k ≤16} .

1 1 ①若 a ? , d ? ,求证: 2?M ; 3 4

1 53 ②是否存在实数 a , d ,使 , 1 , 都属于 M ?若存在,请求出实数 a , d ;若不存在,请说明 8 40 理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知 a,b 为实数,函数 f ( x) ?

1 ? b ,函数 g ( x) ? ln x . x?a

(1)当 a ? b ? 0 时,令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 F ( x) 的极值; (2)当 a ? ?1 时,令 G ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,是否存在实数 b ,使得对于函数 y ? G( x) 定义域中的任意实数 x1 ,均存在实数 x2 ? [1, ??) ,有 G( x1 ) ? x2 ? 0 成立,若存在,求出实数 b 的取 值集合;若不存在,请说明理由.

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数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 ...... ....... 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 已知 AB 是圆 O 的直径,P 是上半圆上的任意一 点,PC 是 ?APB 的平分线, E 是下半圆的中点. 求证:直线 PC 经过点 E .

P

A

O

B

E
C

(第 21-A 题) B.选修 4—2:矩阵与变换
?0 a ? 已知矩阵 M ? ? ? 满足: Mαi ? l i αi ,其中 l i (i ? 1, 2) 是互不相等的实常数, αi (i ? 1, 2) ?b 0 ? ?1? 是非零的平面列向量, l 1 ? 1 , α2 ? ? ? ,求矩阵 M . ?1?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知两个动点 P , Q 分别在两条直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x 上运动,且它们的横坐标分别为角 q 的正弦, 余弦, q ? [0, π] .记 OM ? OP ? OQ ,求动点 M 的轨迹的普通方程.

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0 ,证明: (a2 ? b2 ? ab)(ab2 ? a2b ? 1) ≥ 9a2b2 .

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 一位网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的 A, B, C , D, E 五种商品有购买意向. 已知该网民购买 A, B 两种商品的概率均为 率为

3 2 ,购买 C , D 两种商品的概率均为 ,购买 E 种商品的概 4 3

1 .假设该网民是否购买这五种商品相互独立. 2

(1)求该网民至少购买 4 种商品的概率; (2)用随机变量 h 表示该网民购买商品的种数,求 h 的概率分布和数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 设 n 个正数 a1 , a2 ,
, an 满足 a1 ≤ a2 ≤
≤ an ( n ? N 且 n ≥ 3 ) .
*

(1)当 n ? 3 时,证明: (2)当 n ? 4 时,不等式

a1a2 a2 a3 a3 a1 ? ? ≥ a1 ? a2 ? a3 ; a3 a1 a2
a1a2 a2 a3 a3 a4 a4 a1 ? ? ? ≥ a1 ? a2 ? a3 ? a4 也成立,请你将其推广到 n( n ? N* 且 a3 a4 a1 a2

n ≥ 3 )个正数 a1 , a2 , , an 的情形,归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.

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江苏省常州市教育学会高三学生学业水平监测
参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1. ?0,1? 8.1 2. 3 3.8 4. ??, ? 6

?

? ?

6, ??

?

5. 2p

6.127

7.

9 10

8 5 p 63 ? 6 12. 13. 2 2 ? 4 14. ? 0 10. ? 0, 2 ? 11. 26 5 2 4 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

9. 2x ? y ?

15.解: (1)因为 A ? B ? C ? p , A ? 3C ? p , 所以 B ? 2C . 又由正弦定理,得 ?????????2 分

2 3 2sin C cos C b c b sin B ? , ? , , ? 3 sin C sin B sin C c sin C 3 化简得, cos C ? . ?????????5 分 3

(2)因为 C ? ? 0, p ? ,所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? 所以 sin B ? sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ? (3)因为 B ? 2C ,

1 6 ? . 3 3

6 3 2 2 ? ? . 3 3 3

?????????8 分

1 1 所以 cos B ? cos 2C ? 2cos2 C ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 3 3
因为 A ? B ? C ? p , 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

????????10 分

2 2 3 1 6 6 ? ? (? ) ? ? . 3 3 3 3 9

?????????12 分 因为
b 2 3 9 ? , b ? 3 3 ,所以 c ? . c 3 2

1 1 9 6 9 2 ? 所以△ABC 的面积 S ? bc sin A ? ? 3 3 ? ? . ?????????14 分 2 2 2 9 4

16.证明: (1)连结 AC, 因为 ABCD 是平行四边形,所以 O 为 AC 的中点. 在△ PAC 中,因为 O , M 分别是 AC , PC 的中点, 所以 OM ∥ PA . 因为 OM ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , 所以 OM ∥平面 PAD . ?????????6 分 ?????????4 分 ?????????2 分

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(2)连结 PO .因为 O 是 BD 的中点,PB=PD, 所以 PO⊥BD. 又因为平面 PBD⊥平面 ABCD,平面 PBD 面 ABCD = BD , PO ? 平面 PBD 所以 PO ⊥平面 ABCD . 从而 PO ⊥ CD .????????8 分 又因为 CD ⊥ PC , PC 所以 CD ⊥平面 PAC . 因为 OM ? 平面 PAC ,所以 CD ⊥ OM . 因为 PA ⊥ PC , OM ∥ PA ,所以 OM ⊥ PC . 又因为 CD ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , CD 所以 OM ⊥平面 PCD . 17.解: (1)由题设,得
7200 ? 900 ? S ? ? x ? 8? ? ? 2 ? ? ?2 x ? ? 916 , x ? ?8, 450? . x ? x ?
PC ? C ,
B

P


A O

M D

C

PO ? P , PC ? 平面 PAC , PO ? 平面 PAC ,

?????????10 分 ?????????12 分

?????????14 分

?????????6 分 ????????8 分

(2)因为 8 ? x ? 450 ,所以 2 x ? 当且仅当 x ? 60 时等号成立. 从而 S ≤ 676 .

7200 7200 ≥ 2 2x ? ? 240 , x x

?????????10 分 ?????????12 分

答 : 当 矩 形 温 室 的 室 内 长 为 60 m 时 , 三 块 种 植 植 物 的 矩 形 区 域 的 总 面 积 最 大 , 最 大 为
676 m2 .

?????????14 分

? c ? 1, ? c ? 1, ? 18. 解: (1)由题设,得 ? c 1 解得 ? 从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , ? , ?a ? 2, ? ?a 2

x2 y 2 ?????????4 分 ? ?1. 4 3 3 3 3 3 (2)令 m ? 0 ,则 A(1, ) , B(1,? ) 或者 A(1,? ) , B(1, ) . 2 2 2 2
所以椭圆 C 的标准方程为

3 3 3 3 3 3 当 A(1, ) , B(1,? ) 时, P(4, ) ;当 A(1,? ) , B(1, ) 时, P(4,? ) , 2 2 2 2 2 2
所以,满足题意的定直线 l2 只能是 x ? 4 . 下面证明点 P 恒在直线 x ? 4 上. 设 A( x1 ,y1 ) , B( x2 ,y2 ) ,由于 PA 垂直于 y 轴,所以点 P 的纵坐标为 y1 ,从而只要证明 P(4 ,y1 ) 在 直线 BD 上. ?????????8 分
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?????????6 分

? x ? my ? 1 ? 0 , ? 由 ? x2 y 2 得 (4 ? 3m2 ) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , ? 1, ? ? 3 ?4

D ? 144(1 ? m2 ) ? 0 ,

? y1 ? y2 ?

?6m ?9 , y1 y2 ? .① 4 ? 3m2 4 ? 3m2

?????????10 分

∵ kDB ? kDP

3 3 y ? y1 (my2 ? ) y2 ? 0 y1 ? 0 y2 y1 2 2 2 ? ? ? ? ? 5 5 5 3 3 3 x2 ? 4? my2 ? 1 ? (my2 ? ) 2 2 2 2 2 2

2 y1 +y2 ? my1 y2 3 , ? 3 my2 ? 2
①式代入上式,得 kDB ? kDP ? 0 , 所以 kDB =kDP .

?????????13 分

?????????15 分

∴点 P(4 ,y1 ) 恒在直线 BD 上,从而直线 l1 、直线 BD 与直线 l2 : x ? 4 三线恒过同一点

P , 所以存在一条定直线 l2 : x ? 4 使得点 P 恒在直线 l2 上.
19.解: (1)当 a ? 1 时,

??????16 分

1 a16 ? 1 ? 15d , a31 ? 16 ? 15d , a46 ? 16 ? 15(d ? ) . d
因为 d ? 0 , d ?

?????????2 分

1 1 ≥ 2 ,或 d ? ≤ ?2 , d d
?????????4 分 ?????6 分

所以 a46 ? (??, ?14] [46, ??) .

1 n ?1 i ? j ? k ?3 (2)①由题意 an ? ? , 1 ≤ n ≤ 16 , b ? 1 ? . 3 4 4
令1?

i ? j ? k ?3 ? 2 ,得 i ? j ? k ? 7 . 4

因为 i, j , k ? N? , 1 ≤ i ? j ? k ≤ 16 , 所以令 i ? 1, j ? 2, k ? 4 ,则 2?M . ?????????8 分 ?????????9 分

1 53 ②不存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 8 40 1 53 假设存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 8 40
an ? a ? (n ? 1)d ,∴ b ? 3a ? (i ? j ? k ? 3)d ,

从而 M ? {b | b ? 3a ? md ,3 ≤ m ≤ 42, m ? Z } .

?????????11 分

第 8 页 共 13 页

1 53 因为 , 1 , 同时属于 M ,所以存在三个不同的整数 x, y, z ( x, y, z ? ?3, 42? ) , 8 40
1 ? ?3a ? xd ? 8 , ? 使得 ?3a ? yd ? 1, ? 53 ?3a ? zd ? , 40 ?

7 ? ( y ? x )d ? , ? ? 8 从而 ? 6 ? ( z ? x )d ? , ? 5 ?



y ? x 35 . ? z ? x 48

?????????13 分

因为 35 与 48 互质,且 y ? x 与 z ? x 为整数, 所以 | y ? x |≥ 35,| z ? x |≥ 48 ,但 | z ? x |≤ 39 ,矛盾.

1 53 所以不存在实数 a , d ,使 , 1 , 都属于 M . 8 40

?????????16 分

20.解: (1) F ( x) ?

1 ? ln x , x
?????????1 分

F ?( x) ?
列表:

x ?1 ,令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 . x2

x
F ?( x ) F ( x)

(0,1)
?

1
0 极小值

(1, ??)

+ ↗



所以 F ( x) 的极小值为 F (1) ? 1 ,无极大值.

?????????4 分
(1, ??) 上 恒 成

1 ( 2 ) 当 a ? ?1 时 , 假 设 存 在 实 数 b 满 足 条 件 , 则 G( x) ? ( ? b ) lnx ≥1 在 x ? (0,1) x ?1
立. 1)当 x ? (0,1) 时, G( x) ? ( ?????????5 分

1 ? b)ln x ≥1 可化为 (bx ? 1 ? b) ln x ? x ? 1 ≤ 0 , x ?1

令 H ( x) ? (bx ? 1 ? b) ln x ? x ? 1, x ? (0,1) ,问题转化为: H ( x) ≤ 0 对任意 x ? (0,1) 恒成立; (*) 则 H (1) ? 0 , H ?( x) ? b ln x ? 令 Q( x) ? b ln x ? ①b≤

1? b ? b ? 1 , H ?(1) ? 0 . x

1? b b( x ? 1) ? 1 . ? b ? 1 ,则 Q?( x) ? x x2

1 1 1 时,因为 b( x ? 1) ? 1 ≤ ( x ? 1) ? 1 ? ? 2 ? 1 ? 0 , 2 2 2

故 Q?( x) ? 0 ,所以函数 y ? Q( x) 在 x ? (0,1) 时单调递减, Q( x) ? Q(1) ? 0 , 即 H ?( x) ? 0 ,从而函数 y ? H ( x) 在 x ? (0,1) 时单调递增,故 H ( x) ? H (1) ? 0 ,所以(*) 成立,满足题意; ?????????7 分

第 9 页 共 13 页

b( x ? 1) ? 1 1 ? ②当 b ? 时, Q?( x) ? x2 2

1 b[ x ? ( ? 1)] b , x2

因为 b ?

1 1 1 1 ,所以 ? 1 ? 1,记 I ? ,则当 x ? I 时, x ? ( ? 1) ? 0 , ( ? 11 , )(0,1 ) 2 b b b

故 Q?( x) ? 0 ,所以函数 y ? Q( x) 在 x ? I 时单调递增, Q( x) ? Q(1) ? 0 , 即 H ?( x) ? 0 ,从而函数 y ? H ( x) 在 x ? I 时单调递减,所以 H ( x) ? H (1) ? 0 ,此时(*)不成立; 所以当 x ? (0,1) , G( x) ? (

1 1 ? b)ln x ≥1 恒成立时, b ≤ ; x ?1 2

??????9 分

2)当 x ? (1, ??) 时, G( x) ? (

1 ? b)ln x ≥1 可化为 (bx ? 1 ? b) ln x ? x ? 1≥ 0 , x ?1

令 H ( x) ? (bx ? 1 ? b) ln x ? x ? 1, x ? (1, ??) ,问题转化为: H ( x) ≥ 0 对任意的 x ? (1, ??) 恒成立; (**) 则 H (1) ? 0 , H ?( x) ? b ln x ? 令 Q( x) ? b ln x ?

1? b ? b ? 1 , H ?(1) ? 0 . x

1? b b( x ? 1) ? 1 . ? b ? 1 ,则 Q?( x) ? x x2

1 1 ① b ≥ 时, b( x ? 1) ? 1 ? 2b ? 1≥ ? 2 ? 1 ? 0 , 2 2
故 Q?( x) ? 0 ,所以函数 y ? Q( x) 在 x ? (1, ??) 时单调递增, Q( x) ? Q(1) ? 0 , 即 H ?( x) ? 0 ,从而函数 y ? H ( x) 在 x ? (1, ??) 时单调递增,所以 H ( x) ? H (1) ? 0 ,此时(**)成立;11 分 ②当 b ?

1 时, 2

ⅰ)若 b ≤ 0 ,必有 Q?( x ) ? 0 ,故函数 y ? Q( x) 在 x ? (1, ??) 上单调递减,所以 Q( x) ? Q(1) ? 0 ,即
H ?( x ) ? 0 , 从 而 函 数 y ? H ( x) 在 x ? (1, ??) 时 单 调 递 减 , 所 以 H ( x) ? H (1) ? 0 , 此 时 ( ** ) 不 成

立; ⅱ)若 0 ? b ?

?????????13 分

1 1 1 ,则 ? 1 ? 1 ,所以当 x ? 时, ( 1, ? 1) 2 b b
1 b[ x ? ( ? 1)] b ? 0, x2

b( x ? 1) ? 1 Q?( x) ? ? x2

1 故函数 y ? Q( x) 在 x ? 上单调递减, Q( x) ? Q(1)? 0 ,即 H ?( x ) ? 0 ,所以函数 y ? H ( x) 在 ( 1, ? 1) b 1 时单调递减,所以 H ( x) ? H (1) ? 0 ,此时(**)不成立; x? ( 1, ? 1) b
所以当 x ? (1, ??) , G( x) ? ( 综上所述,当 x ? (0,1)

1 1 ? b)ln x ≥1 恒成立时, b ≥ ; ??????15 分 x ?1 2 1 1 ? b)ln x ≥1 恒成立时, b ? ,从而实数 b 的取值集合 x ?1 2
?????????16 分

(1, ??) , G( x) ? (

1 为{ }. 2

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高三数学Ⅱ(附加题) 参考答案
21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明: 连结 AE , EB, OE ,则 ?AOE ? ?BOE ? 90o . 因为 ?APE 是圆周角, ?AOE 同弧上的圆心角, ?????????2 分

1 所以 ?APE ? ?AOE ? 45o . 2
同理可得, ?BPE ? 45o ,所以 PE 是 ?APB 的平分线.

?????????5 分 ?????????8 分

又 PC 也是 ?APB 的平分线, ?APB 的平分线有且只有一条,所以 PC 与 PE 重合. 所以直线 PC 经过点 E . B.选修 4—2:矩阵与变换 解:由题意, l 1 , l 2 是方程 f (l ) ? 因为 l 1 ? 1 ,所以 ab ? 1 .①
l ?a ? l 2 ? ab ? 0 的两根. ?b l

?????????10 分

?????????2 分

?a ? l 2 , ?0 a ? ?1? ?1? ? l 2 ? ? ,从而 ? 又因为 Mα2 ? l 2 α2 ,所以 ? ?????????5 分 ? ? ? ?b 0 ? ?1? ?1? ?b ? l 2 .
2 所以 l 2 ? ab ? 1 .

因为 l 1 ? l 2 ,所以 l 2 ? ?1 .从而 a ? b ? ?1 .
? 0 ?1? 故矩阵 M ? ? ?. ? ?1 0 ?

?????????8 分

?????????10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? sin q ? cos q, 解:设 M ( x, y ) ,则 ? ? y ? sin q ? cos q,

?????????2 分

两式平方相加得 x2 ? y 2 ? 2 .

?????????5 分

π π 又 x ? 2 sin(q ? ), y ? 2 sin(q ? ), q ? [0, π], 4 4
? ? ? 所以 x ? ? ? ?1, 2 ? , y ? ? ?1, 2 ? .

?????????8 分

? .?????????10 分 所以动点 M 轨迹的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 ( x, y ? ? ? ?1, 2 ? )

D.选修 4—5:不等式选讲
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证明:因为 a ? 0, b ? 0 所以 a2 ? b2 ? ab ≥ 3 3 a2 ? b2 ? ab ? 3ab ? 0 ,
ab2 ? a2b ? 1≥ 3 3 ab2 ? a2b ?1 ? 3ab ? 0 ,

?????????4 分 ?????????8 分 ?????????10 分

所以 (a2 ? b2 ? ab)(ab2 ? a2b ? 1) ≥ 9a2b2 . 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.

3 3 2 2 1 1 22.解: (1)记“该网民购买 i 种商品”为事件 Ai , i ? 4,5 ,则: P( A5 ) ? ? ? ? ? ? , 4 4 3 3 2 8

3 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 3 1 1 1 3 1 2 P( A4 ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? ? ? ? C2 ? (1 ? ) ? ? ? ? ,?????2 分 4 4 3 3 2 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 3 1 1 11 所以该网民至少购买 4 种商品的概率为 P( A5 ) ? P( A4 ) ? ? ? . 8 3 24

11 . 24 (2)随机变量 h 的可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 ,
答:该网民至少购买 4 种商品的概率为

?????????3 分

3 3 2 2 1 1 , P(h ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 288 3 2 2 1 2 3 3 1 1 3 1 2 P(h ? 1) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 1 3 3 2 2 11 , ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 4 3 3 288 3 3 2 2 1 2 2 3 3 1 P(h ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 3 3 4 4 2 2 2 3 3 1 3 2 2 1 1 1 3 C2 (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3 4 4 2 4 4 3 3 2 3 2 1 47 1 3 1 2 , ?C2 ? (1 ? ) ? C2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 4 3 3 2 288 P(h ? 3) ? 1 ? P(h ? 0,1,2,4,5) ? 1 ? 1 P(h ? 4) ? P( A4 ) ? , 3 1 P(h ? 5) ? P( A5 ) ? . 8 所以:随机变量 h 的概率分布为: h 0 1 2
?????????8 分

1 11 47 1 1 97 , ? ? ? ? ? 288 288 288 3 8 288

3

4

5

P
故 Eh ? 0 ?

1 288

11 288

47 288

97 288

1 3

1 8

1 11 47 97 1 1 10 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? .?????????10 分 288 288 288 288 3 8 3
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23.解: (1)证明:因为 a n ( n ? N* 且 n ≥ 3 )均为正实数,
? 1?a a a a ? 1?a a a a ? 1?a a a a 左—右= ? 1 3 ? 1 2 ? 2a1 ? ? ? 2 3 ? 1 2 ? 2a2 ? ? ? 2 3 ? 1 3 ? 2a3 ? 2 ? a2 a3 a3 a2 ? ? 2 ? a1 ? 2 ? a1
≥ ?2 ?

1? 2?

? 1? a a a a ? 1? a a a a ? a1a3 a1a2 ? ? 2a1 ? ? ? 2 2 3 ? 1 2 ? 2a2 ? ? ? 2 2 3 ? 1 3 ? 2a3 ? ? 2? ? 2? ? a2 a3 a1 a3 a1 a2 ? ? ? ? ?

=0, 所以,原不等式
a2 a3 a1a3 a1a2 ? ? ≥ a1 ? a2 ? a3 成立. a1 a2 a3

?????????4 分

(2)归纳的不等式为:
a1a2 a2 a3 ? ? a3 a4 ? an ? 2 an ?1 an ?1an an a1 ? + ≥ a1 ? a2 ? an a1 a2 ? ? an ( n ? N* 且 n ≥ 3 ) .?5 分 ? an ? ,

记 Fn ?

a1a2 a2 a3 ? ? a3 a4

an ? 2 an ?1 an ?1an an a1 ? + ? ? a1 ? a2 ? an a1 a2

当 n ? 3 ( n ? N* )时,由(1)知,不等式成立; 假设当 n ? k ( k ? N* 且 k ≥ 3 )时,不等式成立,即
Fk ? a1a2 a2 a3 ? ? a3 a4 ? ak ? 2 ak ?1 ak ?1ak ak a1 ? + ? ? a1 ? a2 ? ak a1 a2 ? ak ? ≥ 0 .

则当 n ? k ? 1 时,
Fk ?1 ? a1a2 a2 a3 ? ? a3 a4 ? ak ? 2 ak ?1 ak ?1ak ak ak ?1 ak ?1a1 ? ? + ? ? a1 ? a2 ? ak ak ?1 a1 a2 ? ak ? ak ?1 ?

= Fk ?

ak ?1ak ak ak ?1 ak ?1a1 ak ?1ak ak a1 ? + ? ? ? ak ?1 ak ?1 a1 a2 a1 a2

??????????7 分

? 1 ?a ? a 1? = Fk ? ak ?1ak ? ? ? ? ak ?1 ? k ? 1? + 1 ? ak ?1 ? ak ? ? a1 ? a2 ? ak ?1 a1 ?
2 ≥ 0 ? ak ?

? 1 ?a ? a 1? ? ? ? ak ?1 ? k ? 1? + 1 ? ak ?1 ? ak ? ? a1 ? ak ? ak ?1 a1 ? ? ?, ?

?a a a ? ak = ? ak ?1 ? ak ? ? k ? 1 ? k ?1 a a ak ?1 k ? 1

因为 ak ?1 ≥ ak , 所以 Fk ?1 ≥ 0 ,

ak a1 a ? ak a ? ak ?1 ? ≥ 2 , k ?1 ≤ k ?1 ? 2, a1 ak ak ?1 ak ?1

所以当 n ? k ? 1 ,不等式成立. 综上所述,不等式
a1a2 a2 a3 ? ? a3 a4 ?

??????????9 分
an ? 2 an ?1 an ?1an an a1 ? + ≥ a1 ? a2 ? an a1 a2 ? an ( n ? N* 且 n ≥ 3 )成立.?10 分

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