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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图 新人教A版


9-1 空间几何体的结构特征及其直观图、三视图
基础巩固强化 1.(文)(2011·合肥市质检)下图是一个几何体的三视图, 其中正(主)视图和侧(左)视图 都是一个两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( )

A.6π C.18π [答案] B

B.12π D.24π

[解

析] 由三视图知,该几何体是两底半径分别为 1 和 2,母线长为 4 的圆台,故其侧 面积 S=π (1+2)×4=12π . (理)一个几何体的三视图如图所示, 正视图上部是一个边长为 4 的正三角形, 下部是高 为 3 两底长为 3 和 4 的等腰梯形,则其表面积为( )

A. C.

31π 2 π (57+7 37) 4

B. D.

63π 2 π (41+7 37) 4

[答案] D [解析]

1

由三视图知,该几何体是一个组合体,上部是底半径为 2,高为 2 3的圆锥,下部是两 3 3 37 3 2 底半径分别为 2 和 ,高为 3 的圆台,其表面积 S=π ×2×4+π (2+ )× +π ·( ) 2 2 2 2 π = (41+7 37),故选 D. 4 2.如图所示是水平放置三角形的直观图,D 是△ABC 的 BC 边中点,AB、BC 分别与 y′ 轴、x′轴平行,则三条线段 AB、AD、AC 中

(

)

A.最长的是 AB,最短的是 AC B.最长的是 AC,最短的是 AB C.最长的是 AB,最短的是 AD D.最长的是 AC,最短的是 AD [答案] B [解析] 由条件知,原平面图形中 AB⊥AC,从而 AB<AD<AC. 3. (文)(2012·河南六市联考)如图为一个几何体的三视图, 正视图和侧视图均为矩形, 俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的全面积为( )

2

A.14 3 C.12+2 3 [答案] C

B.6+2 3 D.16+2 3

[解析] 该几何体是一个正三棱柱,设底面正三角形边长为 a,则 又其高为 2,故其全面积 S=2×( 3 2 ×2 )+3×(2×2)=12+2 3. 4

3 a= 3,∴a=2, 2

(理)(2011·北京西城模拟)一个简单几何体的正视图、 侧视图如图所示, 则其俯视图不 可能为:①长方形;②正方形;③圆;④椭圆. 其中正确的是( )

A.①② C.③④ [答案] B

B.②③ D.①④

[解析] 根据三视图画法规则“长对正,高平齐、宽相等”,俯视图应与正视图同长为 3,与侧视图同宽为 2,故一定不可能是圆和正方形. 4.(文)(2011·广东文,9)如下图,某几何体的正视图(正视图),侧视图(侧视图)和俯 视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

3

A.4 3 C.2 3 [答案] C

B.4 D.2

1 [解析] 由三视图知该几何体是四棱锥,底面是菱形,其面积 S= ×2 3×2=2 3, 2 高 h=3, 1 1 所以 V= Sh= ×2 3×3=2 3. 3 3 (理)(2012·保定市一模)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的体 积是(单位:m ).(
3

)

A.4+2 6 C. 2 3

B.4+ 6 D. 4 3

[答案] D [解析] 由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形, 及正视图为等腰直角三角形可知, 该 几何体可看作边长 AB=BC= 3,AC=1 的△ABC 绕 AC 边转动到与平面△PAC 位置(平面 PAC 1 1 4 ⊥平面 ABC)所形成的几何体,故其体积 V= ×( ×2×2)×2= . 3 2 3
4

5.(文)(2011·广东省东莞市一模)一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积 8 5 为 12π + ,则正视图与侧视图中 x 的值为( 3 )

A.5 [答案] C

B.4

C.3

D.2

[解析] 根据题中的三视图可知, 该几何体是圆柱和正四棱锥的组合体, 圆柱的底半径 为 2,高为 x,四棱锥的底面正方形对角线长为 4,四棱锥的高 h= 3 -2 = 5,其体积为
2 2

V= ×8× 5+π ×22×x=12π +

1 3

8 5 ,解得 x=3. 3

(理)(2011·新课标全国理,6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示, 则相应的侧视图可以为( )

5

[答案] D [解析]

由正视图知该几何体是锥体, 由俯视图知, 该几何体的底面是一个半圆和一个等腰三角 形,故该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组成的,两锥体有公共顶点,圆锥的两条母线为 棱锥的两侧棱,其直观图如图,在侧视图中,O、A 与 C 的射影重合,侧视图是一个三角形 △PBD,OB=OD,PO⊥BD,PO 为实线,故应选 D. 6.(文)(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示,若该几何体 1 的体积为 ,则该几何体的俯视图不可以是( 3 )

6

[答案] D 1 [解析] 由正视图及俯视图可知该几何体的高为 1,又∵其体积为 ,故为锥体,∴S 底 3 1 1 π =1,A 中为三角形,此时其底面积为 ,舍去;B 为 个圆,底面积为 ,也舍去,C 为圆, 2 4 4 其面积为 π 舍去,故只有 D 成立. 1 [点评] 如果不限定体积为 , 则如图(1)在三棱锥 P-ABC 中, ⊥BC, ⊥平面 ABC, AC PC 3

AC=BC=PC=1,则此三棱锥满足题设要求,其俯视图为等腰直角三角形 A;如图(2),底半
径为 1,高为 1 的圆锥,被截面 POA 与 POB 截下一角,OA⊥OB,则此时几何体满足题设要求, 其俯视图为 B;如图(3),这是一个四棱锥,底面是边长为 1 的正方形,PA⊥平面 ABCD,此 几何体满足题设要求,其俯视图为 D.

(理)(2012·大同市调研)已知一个棱长为 2 的正方体, 被一个平面截后所得几何体的三 视图如图所示,则该几何体的体积是( )

7

A.8 C. 17 3

B. D.

20 3 14 3

[答案] C [解析] 由题可知, 原正方体如图所示, 被平面 EFB1D1 截掉的几何体为棱台 AFE-A1B1D1, 1 1 3 3 则所求几何体的体积 V=2 -VA B D -AEF=2 - ×(2+ + 1 1 1 3 2 1 17 2× )×2= ,故选 C. 2 3

7. 已知一个几何体的三视图如图所示(单位: cm), 其中正(主)视图是直角梯形, 侧(左) 视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是________cm .
3

[答案]

3 2

[解析] 依据三视图知, 该几何体的上、 下底面均为矩形, 上底面是边长为 1 的正方形, 下底面是长为 2,宽为 1 的矩形,左侧面是与底面垂直的正方形,其直观图如图所示,易知 该几何体是四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,其体积 V=

8

S 梯形 ABCD·AA1=

?

1+2? 2

×1 3 3 ×1= cm . 2

8.(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如下,俯视图是边 长为 2 的正三角形,侧视图是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为 ________.

[答案] 2 [解析] 由条件知,该三棱锥底面为正三角形,边长为 2,一条侧棱与底面垂直,该侧 1 棱长为 2,故正视图为一直角三角形,两直角边的长都是 2,故其面积 S= ×2×2=2. 2 9.(2011·安徽知名省级示范高中联考)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过对角 线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E,交 CC1 于 F,得四边形 BFD1E,给出下列结论: ①四边形 BFD1E 有可能为梯形; ②四边形 BFD1E 有可能为菱形; ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D; ⑤四边形 BFD1E 面积的最小值为 6 . 2

其中正确的是________.(请写出所有正确结论的序号) [答案] ②③④⑤ [解析] ∵平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1,平面 BFD1E∩平面 ADD1A1=D1E,平面 BFD1E∩平面

BCC1B1=BF,∴D1E∥BF;同理 BE∥FD1,∴四边形 BFD1E 为平行四边形,①显然不成立;当 E、
9

F 分别为 AA1、CC1 的中点时,易证 BF=FD1=D1E=BE,∴EF⊥BD1,又 EF∥AC,AC⊥BD,∴EF
⊥BD,∴EF⊥平面 BB1D1D,∴平面 BFD1E⊥平面 BB1D1E,∴②④成立,四边形 BFD1E 在底面的 投影恒为正方形 ABCD.当 E、F 分别为 AA1、CC1 的中点时,四边形 BFD1E 的面积最小,最小值 为 6 . 2 10.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E、G、

F 分别为 MB、PB、PC 的中点,且 AD=PD=2MA.

(1)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (2)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比. [解析] (1)证明:∵MA⊥平面 ABCD,PD∥MA, ∴PD⊥平面 ABCD, 又 BC? 平面 ABCD,∴PD⊥BC, ∵四边形 ABCD 为正方形,∴BC⊥DC. ∵PD∩DC=D,∴BC⊥平面 PDC. 在△PBC 中,因为 G、F 分别为 PB、PC 的中点, ∴GF∥BC,∴GF⊥平面 PDC. 又 GF? 平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PDC. (2)不妨设 MA=1,∵四边形 ABCD 为正方形,∴PD=AD=2, 又∵PD⊥平面 ABCD, 1 8 所以 VP-ABCD= S 正方形 ABCD·PD= . 3 3 由于 DA⊥平面 MAB,且 PD∥MA, 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 1 ?1 2 ? 三棱锥 VP-MAB= ×? ×1×2?×2= . 3 ?2 3 ?
10

所以 VP-MAB:VP-ABCD=1:4. 能力拓展提升 11.(2011·湖南六市联考)一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图中△ABC 是边 长为 2 的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( )

A.

3 2

B.

1 2

C.1 [答案] A

D.2

[解析] 由三视图知,该几何体是正六棱锥,底面正六边形的边长为 1,侧棱长为 2, 1 故侧视图为一等腰三角形, 底边长 3, 高为正六棱锥的高 3, 故其面积为 S= × 3× 3= 2 3 . 2 12.(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为( )

11

[答案] B [解析]

由三视图间的关系,易知其侧视图是一个底边为 3,高为 2 的直角三角形,故选 B. [点评] 由题设条件及正视图、俯视图可知,此三棱锥 P-ABC 的底面是正△ABC,侧棱

PB⊥平面 ABC,AB=2,PB=2.
13. (2012·内蒙包头市模拟)一个空间几何体的三视图如图所示, 且这个空间几何体的 所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是________.

[答案] 16π [解析] 由三视图知,该几何体是一个正三棱柱,底面正三角形边长为 3,高为 2,故 2 2 2 3 2 2 其外接球半径 R 满足 R =( ) +( × ×3) =4,∴R=2, 2 3 2 ∴S 球=4π R =16π .
2

12

14. (2011·南京市调研)如图, 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2cm, 高为 5cm, 则一质点自点 A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为________cm.

[答案] 13 [解析] 如图,将三棱柱侧面 A1ABB1 置于桌面上,以 A1A 为界,滚动两周(即将侧面展 开两次),则最短线长为 AA″1 的长度,∴AA1=5,AA″=12,∴AA″1=13.

15.圆台侧面的母线长为 2a,母线与轴的夹角为 30°,一个底面的半径是另一个底面 半径的 2 倍.求两底面的半径长与两底面面积的和.

[解析] 如图所示,设圆台上底面半径为 r,则下底面半径为 2r,

13

且∠ASO=30°, 在 Rt△SA′O′中, ∴SA′=2r, 2r 在 Rt△SAO 中, =sin30°,

r =sin30°, SA′

SA

∴SA=4r. ∵SA-SA′=AA′,即 4r-2r=2a,r=a. ∴S=S1+S2=π r +π (2r) =5π r =5π a . ∴圆台上底面半径为 a,下底面半径为 2a,两底面面积之和为 5π a . 16. (文)(2011·青岛质检)如下的三个图中, 上面是一个长方体截去一个角所得多面体 的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).
2 2 2 2 2

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积. [解析] (1)如图.

14

(2)所求多面体体积 V=V 长方体-V 正三棱锥 1 ?1 284 3 ? =4×4×6- ×? ×2×2?×2= (cm ). 2 3 ? 3 ? (理)多面体 PABCD 的直观图及三视图如图所示,E、F 分别为 PC、BD 的中点.

15

(1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:PA⊥平面 PDC. [解析] 由多面体 PABCD 的三视图知, 该几何体是四棱锥, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD 是等腰直角三角形,PA=PD= 2,且平面 PAD⊥平面 ABCD.

(1)连接 AC,则 F 是 AC 的中点, 又∵E 是 PC 的中点, ∴在△CPA 中,EF∥PA, 又 PA? 平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PA. π ∵△PAD 是等腰直角三角形,且∠APD= . 2 即 PA⊥PD.又 CD∩PD=D,∴PA⊥平面 PDC.

1.(2011·宁夏银川一中检测)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,

16

容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是(

)

[答案] B [分析] 可以直接根据变化率的含义求解,也可以求出函数的解析式进行判断. [解析] 容器是一个倒置的圆锥, 由于水是均匀注入的, 故水面高度随时间变化的变化 率逐渐减少,表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小,故选 B. [点评] 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制, 重点是对函数变化率的 考查,这种在知识交汇处命制题目考查对基本概念的理解与运用的命题方式值得重视. 2.(2011·惠州模拟)用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体, 其正视图、 侧视图都 是如图所示的图形,则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )

A.6 [答案] A

B.7

C.8

D.9

17

3.(2011·河源模拟)如图所示,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的正视图是( )

[答案] B [解析] 箭头所指正面的观察方向与底面直角三角形边长为 4 的边平行, 故该边的射影 为一点,与其垂直的直角边的长度 3 不变,高 4 不变,故选 B. 4.(2011·辽宁文,8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的三视 图中的俯视图如右图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的面积是( )

A.4 C.2 [答案] B

B.2 3 D. 3

[解析] 由题意可设棱柱的底面边长为 a,则其体积为

3 2 a ·a=2 3,得 a=2. 4

由俯视图易知,三棱柱的侧视图是以 2 为长, 3为宽的矩形.

18

∴其面积为 2 3.故选 B. 5.(2011·天津理,10)一个几何体的三视图如下图所示(单位:m),则该几何体的体积 为________m .
3

[答案] π +6 [解析] 根据三视图知该几何体是一个长方体上面放一个圆锥.因而 V=V 长方体+V 圆锥, 又知长方体长、宽、高分别为 3、2、1,圆锥的底面半径为 1,高为 3,从而求出体积为(π +6)m . 6.下图是一几何体的直观图和三视图.
3

(1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥平面 PCD; (2)求几何体 BEC-APD 的体积. [解析] (1)证明:由几何体的三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PA⊥平面

ABCD,PA∥EB,PA=2EB=4.
∵PA=AD,F 为 PD 的中点,∴PD⊥AF. 又∵CD⊥DA,CD⊥PA,∴CD⊥AF.

19

∴AF⊥平面 PCD. 1 1 1 1 80 (2)VBEC-APD=VC-APEB+VP-ACD= × ×(4+2)×4×4+ × ×4×4×4= . 3 2 3 2 3

20


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