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向量方法证平行和垂直


向量方法证平行和垂直
【学习目标】 熟练掌握向量方法证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题; 【基础回顾】 知识点一、方向向量:若非零向量 a // l ,则称 a 是直线 l 的方向向量。 方向向量的求法:若直线 l 过点 A 和 B ,则向量 AB 即为直线 l 的方向向量。

【针对训练】 1.已知 a=(2,4,5), b=(

3,x,y),若 a∥b A.x=6, y=15 B。x=3, y= 15 2 ( ) D。x=6, y= 15 2

C。x=3, y=15

? ? 知识点二、平面的法向量:如果 a ? ? ,那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量。
注意: (1)法向量一定是非零向量; (2)一个平面的所有法向量都互相平行。 2、求法:①设平面的法向量为 n ? ( x, y, z) ; ② 找 出 ( 求 出 ) 平 面 内 两 个 不 共 线 的 向 量 的 坐 标 v1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

2. 已知 A(-1, 0, 1 ),B(x, y, 4 ),C(1 ,4 ,7 ) ,且 A,B,C 三点在同一直线上,则实 数 x, y 分别为 ( ) A.x=0, y=1 B x=0, y=2 C x=1, y=1 D x=1, y=2 3.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,D 为 AB 的中点. (1)求异面直线 AC1 与 B1 B 所成的角的余弦值; (2)求证: AC1 / /面B1CD ; (3)求证: A1 B ? 面B1CD

v2 ? ( x2 , y 2 , z 2 ) ;
?n ? v ? 0 ? ③根据向量的定义建立关于 x, y, z 的方程组 ? 1 ; ?n ? v 2 ? 0 ?
④解方程组取其中的一个解,即得法向量。 知识点三、用向量证明平行和垂直 ? ? 已知 : l 和 m 的方向向量为 a ? ( x1, y1, z1 ) 和 b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,平面 ? , ? 的法向量为

? ? u ? ( x3 , y3 , z3 )和 v ? ( x4 , y4 , z4 ) ,则
? ? 1、线线平行: l / / m ? a / /b ? ? ? ? ? 2、线面平行: l / /? ? a ? u ? a ? u ? 0 ?
。 。 。

4.如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,其他四个侧面都是等边三角形, AC 与

BD 的交点为 O , E 为侧棱 SC 上一点.
(Ⅰ)当 E 为侧棱 SC 的中点时,求证: SA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 SAC ; D

S

E

? ? ? ? 3、面面平行: ? / / ? ? u / /v ? u ? kv ?

C O

注意:这里的线线平行包括线线重合;线面平行包括线在面内;面面平行包括面面重合。

? ? ? ? 4、线线垂直: l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0 ?
5、线面垂直: l ? ? ? a / /u ? a ? ku ? 6、面面垂直: ? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0 ?

A

B

。 。 。

?

?

?

?

?

?

? ?

高三数学练习案

班级

姓名

日期

制作人:吕 波

组长







课 5.如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AB ? 5 ,AA1=4,点 D 是 AB 的中点 (Ⅰ)求证:AC⊥BC1; (Ⅱ)求二面角 D ? CB1 ? B 的平面角的正切值.

课时作业

向量证平行和垂直

【训练目标】 熟练掌握向量方法证明点共线、点共面、线共面及线线、线面的平行与垂直问题;

练习过程: (25 分钟)独立完成注意规范答题,卷面整洁。
1、直线 l1 ,l 2 的方向向量分别为 A、 l1 ∥ l 2 B、 l1 ? l 2

a ? (2,4,?4),b ? (?6,9,6) 则(
C、 l1 与 l 2 相交但不垂直

) D、以上都不正确

2、已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个法向量.

3 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1C⊥A1B. 求证:AC1⊥A1B.

6. (2009 ? 山东) 如图, 在直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD, AB=4, BC=CD=2, AA ? 2 ,E, E1 分别是棱 AD, AA1 的中点。 1 (1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1 ∥平面 FCC1 ; (2)证明:平面 D1 AC ⊥平面 BB1C1C 4. 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 底面ABCD, PA ? AB ? 2 ,点 E 是棱 PB 的中点. (1)证明: AE ? 平面PBC ; (2)若 AD=1,求二面角 B ? EC ? D 的大小. P A1 D1 C1 B1 D E A F B

E1

C

E A B C D


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